2021-2022学年人教版数学九年级上册24.3 正多边形和圆 课件(34张PPT)

(共34张PPT)
24.3
正多边形和圆
第二十四章
圆
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
(重点)
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
学习目标
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
观察下列图形他们有什么特点？
新课导入
讲授新课
典例精讲
归纳总结
1
知识点
正多边形的概念
三条边相等，三个角相等（60度）.
四条边相等，四个角相等（900）.
正三角形
正方形
讲授新课
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边
形叫做正n边形.
定义
讲授新课
思考:
菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢?
菱形、矩形都不是正多边形
讲授新课
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
B
C
D
思考1:
把一个圆4等分,
并依次连
接这些点,得到正多边形吗?
弧相等
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
多边形是正多边形
讲授新课
下列说法中，不正确的是(　　)
A．正多边形一定有一个外接圆和一个内切圆
B．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
C．正多边形的内切圆和外接圆是同心圆
D．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D
讲授新课
E
F
C
D
.
O
中心角
半径R
边心距r
正多边形的中心:
一个正多边形的
外接圆的圆心.
正多边形的半径:
外接圆的半径
正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
中心到正多边形的
一边的距离.
正多边形有关的概念
2
知识点
圆内接正多边形的有关概念
讲授新课
证明：如图，把⊙O分成相等的5段弧，
依次连接各分点得到五边形
ABCDE.∵AB=BC=CD=DE=EA,
∴AB=BC=CD=DE=EA,
BCE=3AB=CDA.
∴∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形
ABCDE的外接圆.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
讲授新课
例题1
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.请以圆内接正五边形为例进行证明.
O
A
B
C
D
问题1
以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.
GH是边AD、BC的垂直平分线，
∴OA=OD；OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
2
知识点
圆内接正多边形的性质
讲授新课
O
A
B
C
D
E
F
G
H
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
讲授新课
所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
想一想
讲授新课
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
知识要点
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
讲授新课
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
正多边
形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
60
°
120
°
120
°
90
°
90
°
90
°
120
°
60
°
60
°
正多边形的外角=中心角
练一练
完成下面的表格：
讲授新课
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于
度
；
②
OC
BC
(填＞、＜或＝）；
③△OBC是
三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
探究归纳
2
知识点
圆内接正多边形有关计算
讲授新课
正多边形的有关计算：
名称
公式
说明
中心角
α为中心角，n为边数
边心距、边长、半径间的关系式
R为半径，r为边心距，α为边长
周长
P为正n边形的周长，α为边长
面积
S为正多边形的面积，P为正多边形的周长，r为边心距
讲授新课
有一个亭子,它的地基是半径为4
m的正六边形,求地基的周长和面积
(精确到0.1
m2).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
典例精析
讲授新课
例题1
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OMB中,OB＝4,
MB＝2
4m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点O作OM⊥BC于M.
讲授新课
想一想
问题1
正n边形的中心角怎么计算？
C
D
O
B
E
F
A
P
问题2
正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
a
R
r
问题3
边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
讲授新课
如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是
（
）
A．60°
B．45°
C．
36°
D．
30°
·
A
B
C
D
E
O
练一练
C
讲授新课
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
方法归纳
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
讲授新课
当堂练习
当堂反馈
即学即用
正多边形边数
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
1.
填表
2
1
2
8
4
2
2
12
2.
若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是
.
3
当堂练习
4.
要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为
___度.（不取近似值）
当堂练习
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
则半径为
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
当堂练习
A
B
C
D
E
F
P
6.如图，正六边形ABCDEF的边长为
，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.
G
H
K
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6.
当堂练习
拓广探索
如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON=
;
图③中∠MON=
;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
90
°
72
°
120
°
图①
图②
图③
当堂练习
课堂小结
归纳总结
构建脉络
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
课堂小结
Thanks
侵权必究