初中数学湘教版九年级上册2.3一元二次方程的根的判别式 同步练习
一、单选题
1．（2021·丽水模拟）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是（ ）
A．-2 B．0 C． D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，
∴，
解得且k≠1，
故答案为：C.
【分析】根据判别式和一元二次方程的定义即可列出方程组，求出k的取值范围即可得出答案.
2．（2021·金牛模拟）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.方程 判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.方程 判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C.方程 判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D.方程 判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再根据，原方程有两个不相等的实数根，，原方程有两个相等的实数根，，原方程无实数根可判断原方程的根的情况.
3．（2021·永州模拟）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，
∵△= ，
∴原方程没有实数根；
故答案为：C.
【分析】先算出一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，再根据b2-4ac＞0方程有两个不相等的实数根b2-4ac=0方程有两个相等的实数根，b2-4ac＜0方程没有实数根，可作出判断.
4．（2021·庆阳模拟）已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 ，
，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程的判别式△进行判断，因为△=b2+8恒大于0，可知方程有两个不相等的实数根.
5．（2021·邢台模拟）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=（-m）2-4×1×2=m2-8＞0，
当m=3时，m2-8=9-8=1＞0，A符合题意；
当m=2时，m2-8=4-8=-4<0，B不符合题意；
当m=1时，m2-8=1-8=-7<0，C不符合题意；
当m=0时，m2-8=0-8=-8<0，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
6．（2021·河南）若方程 没有实数根，则 的值可以是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知：“△＜0”，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据根的判别式可得：(-2)2-4m<0，求解即可.
7．（2021·信阳模拟）当 时，关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：△＝b2＋4×2a，
∵ ，
∴b2＋4×2a
=b2+8a
=b2+8(4-b)
= b2-8b+32
＝（b 4）2＋16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】先计算b2-4ac的值，结合a+b=4判断b2-4ac的符号，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
8．（2021·南皮模拟）下列关于 的方程中，一定有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A. ，不能判断大小，不符合题意；
B. ，此选项符合题意；
C. ，不能判断大小，不符合题意；
D. ，不能判断大小，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出的值，再比较其与0的大小即可求解。
二、填空题
9．（2020九上·长春月考）关于x的一元二次方程 的根的判别式的值为 ．
【答案】28
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程中 ， ， ，
，
故答案为： ．
【分析】利用根的判别式求解即可。
10．（2020九上·蔡甸月考）一元二次方程 的根的判别式是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程 的根的判别式是 ，
故答案是： .
【分析】根据根的判别式是 解答即可.
11．（2020·南充模拟）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意可知：△＝4m2 2（1 4m）＝4m2＋8m 2＝0，
∴m2＋2m＝ ，
∴（m 2）2 2m（m 1）＝ m2 2m＋4＝ ＋ = ，
故答案为 .
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
12．（2021·黄冈）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式 ，
解得 ，
则 的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）.
【分析】先计算b2-4ac，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式可求得m的范围，写出范围内的一个m的值即可.
13．（2021·曹县模拟）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式求出k﹣1）2+4＞0，最后求解即可。
14．（2021·东城模拟）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
则c的最小值是0，
故答案为：0．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可。
三、计算题
15．若方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，化简 ．
【答案】解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2m+2）]2-4×1×（m2+5）＞0，即2m-4＞0，
解得，m＞2；
∴ =m- -m+2= ，即 = ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可求出m的取值范围，再根据m＞2化简代数式，即可解答。
16．（2017·七里河模拟）解方程：3x2+2x+1=0．
【答案】解：∵a=3，b=2，c=1，
∴b2﹣4ac=4﹣4×3×1=﹣8＜0．
∴原方程没有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据△＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；△=b2﹣4ac=4﹣4×3×1=﹣8＜0，所以原方程没有实数根．
四、解答题
17．（2020九上·宁城期末）已知关于x的一元二次方程方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根求整数k的最小值
【答案】解：由题意知△=4-4（k-1）×（-2）>0，且k-1≠0
∴k> ，且k≠1
∴k的最小整数值为2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】若一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值．
18．（2020九上·昭阳期末）已知关于x的方程 ，求证：不论m为何值时，方程总有实数根．
【答案】证明：情况一：当 时， ．得 ，有实数根．
情况二：当 时，此方程为一元二次方程．
∵ ．
∴不论m为何值时， ，即 ，
∴方程总有实数根．
综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】分类讨论，再利用根的判别式，计算求解即可。
19．（2020九上·厦门月考）小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a 的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现符合题意吗？请你先举实例验证一下是否符合题意，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．
【答案】解：小明的发现正确，如x2+x﹣2＝0，a＝1，c＝﹣2，
解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，
若 a，c 异号，则△＝b2﹣4ac＞0，
故这个方程一定有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系求解证明即可。
五、综合题
20．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
21．（2021·平谷模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
【答案】（1）解： ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得k＜3 ；
（2）取k＝2，得
，
解得： ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解不等式即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
22．（2021·海淀模拟）关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】（1）证明： ，
∵无论m取何值时， ，
∴此方程总有两个实数根
（2）解： ，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且 ．
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根，列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）利用求根公式得到x的两个值，即可求出m的值。
23．（2021·东城模拟）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个 的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
【答案】（1）证明： ，
∴该方程总有实数根
（2）解：当 时，原方程为 ，解得， ，
代入原方程得， ．即 ．
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）取x的值代入，再求解一元二次方程即可。
24．（2021·燕山模拟）已知，关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．
【答案】（1）证明： ，
无论a为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
方程有一个根是负数，
，
解得， ．
的取值范围为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）求出方程的判别式 的值，利用配方法得出 ，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，解不等式求得a的取值范围即可．
1 / 1初中数学湘教版九年级上册2.3一元二次方程的根的判别式 同步练习
一、单选题
1．（2021·丽水模拟）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，则k的取值可能是（ ）
A．-2 B．0 C． D．1
2．（2021·金牛模拟）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·永州模拟）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．（2021·庆阳模拟）已知关于x的一元二次方程 ，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
5．（2021·邢台模拟）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2021·河南）若方程 没有实数根，则 的值可以是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
7．（2021·信阳模拟）当 时，关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．（2021·南皮模拟）下列关于 的方程中，一定有两个不相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2020九上·长春月考）关于x的一元二次方程 的根的判别式的值为 ．
10．（2020九上·蔡甸月考）一元二次方程 的根的判别式是 .
11．（2020·南充模拟）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
12．（2021·黄冈）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是 .（写出一个即可）
13．（2021·曹县模拟）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是 ．
14．（2021·东城模拟）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的最小值是 ．
三、计算题
15．若方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，化简 ．
16．（2017·七里河模拟）解方程：3x2+2x+1=0．
四、解答题
17．（2020九上·宁城期末）已知关于x的一元二次方程方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根求整数k的最小值
18．（2020九上·昭阳期末）已知关于x的方程 ，求证：不论m为何值时，方程总有实数根．
19．（2020九上·厦门月考）小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a 的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现符合题意吗？请你先举实例验证一下是否符合题意，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．
五、综合题
20．（2021·北京）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
21．（2021·平谷模拟）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．
22．（2021·海淀模拟）关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
23．（2021·东城模拟）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有实数根；
（2）写出一个 的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
24．（2021·燕山模拟）已知，关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根，
∴，
解得且k≠1，
故答案为：C.
【分析】根据判别式和一元二次方程的定义即可列出方程组，求出k的取值范围即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A.方程 判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B.方程 判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C.方程 判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D.方程 判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再根据，原方程有两个不相等的实数根，，原方程有两个相等的实数根，，原方程无实数根可判断原方程的根的情况.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程 ，
∵△= ，
∴原方程没有实数根；
故答案为：C.
【分析】先算出一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，再根据b2-4ac＞0方程有两个不相等的实数根b2-4ac=0方程有两个相等的实数根，b2-4ac＜0方程没有实数根，可作出判断.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 ，
，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程的判别式△进行判断，因为△=b2+8恒大于0，可知方程有两个不相等的实数根.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△=（-m）2-4×1×2=m2-8＞0，
当m=3时，m2-8=9-8=1＞0，A符合题意；
当m=2时，m2-8=4-8=-4<0，B不符合题意；
当m=1时，m2-8=1-8=-7<0，C不符合题意；
当m=0时，m2-8=0-8=-8<0，D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知：“△＜0”，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据根的判别式可得：(-2)2-4m<0，求解即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：△＝b2＋4×2a，
∵ ，
∴b2＋4×2a
=b2+8a
=b2+8(4-b)
= b2-8b+32
＝（b 4）2＋16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】先计算b2-4ac的值，结合a+b=4判断b2-4ac的符号，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A. ，不能判断大小，不符合题意；
B. ，此选项符合题意；
C. ，不能判断大小，不符合题意；
D. ，不能判断大小，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】先求出的值，再比较其与0的大小即可求解。
9．【答案】28
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程中 ， ， ，
，
故答案为： ．
【分析】利用根的判别式求解即可。
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程 的根的判别式是 ，
故答案是： .
【分析】根据根的判别式是 解答即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意可知：△＝4m2 2（1 4m）＝4m2＋8m 2＝0，
∴m2＋2m＝ ，
∴（m 2）2 2m（m 1）＝ m2 2m＋4＝ ＋ = ，
故答案为 .
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
12．【答案】0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式 ，
解得 ，
则 的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）.
【分析】先计算b2-4ac，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式可求得m的范围，写出范围内的一个m的值即可.
13．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式求出k﹣1）2+4＞0，最后求解即可。
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
则c的最小值是0，
故答案为：0．
【分析】由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可。
15．【答案】解：∵方程x2-（2m+2）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-（2m+2）]2-4×1×（m2+5）＞0，即2m-4＞0，
解得，m＞2；
∴ =m- -m+2= ，即 = ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可求出m的取值范围，再根据m＞2化简代数式，即可解答。
16．【答案】解：∵a=3，b=2，c=1，
∴b2﹣4ac=4﹣4×3×1=﹣8＜0．
∴原方程没有实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据△＞0方程有两个不相等的两个实数根，△=0，方程有两个相等的实数根，△＜0，方程没有实数根；△=b2﹣4ac=4﹣4×3×1=﹣8＜0，所以原方程没有实数根．
17．【答案】解：由题意知△=4-4（k-1）×（-2）>0，且k-1≠0
∴k> ，且k≠1
∴k的最小整数值为2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】若一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值．
18．【答案】证明：情况一：当 时， ．得 ，有实数根．
情况二：当 时，此方程为一元二次方程．
∵ ．
∴不论m为何值时， ，即 ，
∴方程总有实数根．
综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】分类讨论，再利用根的判别式，计算求解即可。
19．【答案】解：小明的发现正确，如x2+x﹣2＝0，a＝1，c＝﹣2，
解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，
若 a，c 异号，则△＝b2﹣4ac＞0，
故这个方程一定有两个不相等的实数根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系求解证明即可。
20．【答案】（1）证明：由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
21．【答案】（1）解： ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得k＜3 ；
（2）取k＝2，得
，
解得： ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解不等式即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可。
22．【答案】（1）证明： ，
∵无论m取何值时， ，
∴此方程总有两个实数根
（2）解： ，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且 ．
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根，列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
（2）利用求根公式得到x的两个值，即可求出m的值。
23．【答案】（1）证明： ，
∴该方程总有实数根
（2）解：当 时，原方程为 ，解得， ，
代入原方程得， ．即 ．
解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）取x的值代入，再求解一元二次方程即可。
24．【答案】（1）证明： ，
无论a为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
方程有一个根是负数，
，
解得， ．
的取值范围为 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）求出方程的判别式 的值，利用配方法得出 ，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，解不等式求得a的取值范围即可．
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