初中数学湘教版九年级上册2.4一元二次方程的根与系数关系 同步练习
一、单选题
1．（2021·覃塘模拟）若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为
A．-3 B．3 C．-4 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0，
∴ x1x2=.
故答案为：C.
【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案.
2．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
3．（2021·黄梅模拟）已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 的值为（ ）
A．2 B．－1 C．－ D．－2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意得，
， ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】通分，可得.根据韦达定理，代入求值.
4．（2021九上·秦淮期末）关于x的方程 （p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．根的符号与p的值有关
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-3）（x-2）=p2（p为常数），
∴x2-5x+6-p2=0，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为6-p2，
∴根的符号与p的值有关，
故答案为：D.
【分析】先把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0）的形式，根据一元二次方程根与系数的关系得出两个根的积为6-p2，即可得出根的符号与p的值有关.
5．（2020九上·官渡期末）关于 的方程 的一个根是 ，则它的另一个根 是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系可知：x1x2＝ 3，
∴x2＝ 1，
故答案为：C．
【分析】先求出x1x2＝ 3，再根据关于 的方程 的一个根是 ，进行计算求解即可。
6．（2021·眉山）已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A．-7 B．-3 C．2 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，即： ， + =3，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与，然后将其代入变形后的代数式求值即可.
7．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
8．（2021·泸县）关于x的一元二次方程 的两实数根 ，满足 ，则 的值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．16或40
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：一元二次方程
或
当 时，
原一元二次方程为
，
，
当 时，原一元二次方程为
原方程无解，不符合题意，舍去，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可求出两根之积为2，建立关于m的方程，解方程求出m的值；分别将m的值代入方程，可求出方程的两根之和和两根之积；然后将代数式转化为含有两根之和和两根之积的代数式，整体代入求值即可.
9．（2021·阳西模拟）关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根为x1和x2．
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
当m=1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系再结合倒数的定义求出m的值，再根据根的判别式求解即可。
10．（2021·河东模拟）设 ， 是方程 的两根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ ， 是方程 的两个实数根
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
11．（2021·南海模拟）已知Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，那么 的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程 的两个实数根分别是： ，
∴ ，
∵Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，
∴ 的面积=32÷2=16．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，进而即可求解．
二、填空题
12．（2021·仙桃）关于x的方程 有两个实数根 .且 .则 .
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
化成整式方程为 ，
解得 或 ，
经检验， 是所列分式方程的增根， 是所列分式方程的根，
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得：α+β=2m，αβ=m2-m，根据可得m2-3m=0，求解可得m的值，最后进行检验即可.
13．（2021·南京）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.
14．（2021·随县）已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2，x1x2的值；再将已知方程组转化为 ，然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值.
15．（2021·南通模拟）已知 、 是方程 的两个实数根，则代数式 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ， 和 是方程的两个根
∴ ， ，
∴
故答案为：-2
【分析】利用韦达定理可得出 ， ，再通过代入移项可得到 ，分别代入 运算即可.
16．（2021九下·乳山期中）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ，那么 的最大值是 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两个实数根是 ，
∴ =k+1， =2，
∴
=-2-(k+1)2，
∵-1<0，
∴当k=-1时， 取得最大值-2．
故答案为：-2．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 =k+1， =2，再计算求解即可。
17．（2021·南昌模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＝b时，
由a2﹣8a+5＝0解得a＝ ，
∴a+b＝ ；
当a≠b时，
a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8．
故答案为：8或8±2 ．
【分析】分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝ ；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
三、计算题
18．（2020九上·呼和浩特期中）已知 、 满足 ， ，求 的值．
【答案】解：∵ 、 满足 ， ，
∴若 ，则 ；
若 ，则a，b是关于x的方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 值为2或-47．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由a，b满足 ， ，可分别从 与 去分析求解，注意当 ，则a，b是关于x的方程 的两根，再利用根与系数的关系求解即可；
19．先化简，再求值：
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．
【答案】解：原式=a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+ab
=﹣ab，
∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴ab=﹣2，
则原式=﹣ab=2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】首先用平方差公式和完全平方公式将所求的代数式化简；由题意根据一元二次方程的根与系数的关系可得ab=-2，代入化简后的代数式即可求解。
20．（2015九上·句容竞赛）要使关于x的方程 的一根在-1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a的值。
【答案】解：令f（x）=ax2－(a+1)x－4，∵ f（x）=0在（－1，0）之间有一根，∴ f（－1）·f（0）=（2a－3）·（－4）<0, ①∵ f（x）=0在（2，3）之间有一根，∴ f（2）·f（3）=（2a－b）·（6a－7）<0。②解不等式组 解得 。∵a为整数∴ a=2时，二次方程a=2时，二次方程 的一根在—1和0之间，另一根在2和3之间.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】可数形结合，x=-1和0的函数值符号相反，x=2和3的函数值之积为负，列出不等式，求出a的范围.
四、解答题
21．（2021·汝阳模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，由根与系数的关系可得m+n=2，再整体代入即可得出a的值.
22．（2020九上·旬阳期末）已知关于x的方程 的两根为 满足： ，求实数k的值
【答案】解：∵关于x的方程 ，
∴ ，
∴ ， ，
将其代入 可得：
，
解得： ，
∵经检验可得当 或 时方程均有两个实数根，
∴ 均满足题意.
故答案为: 或 .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得 ， ，将其代入 ，可得与k有关的方程，可解出k的值，最后验证方程是否有实数根即可.
23．（2019九上·成都月考）已知 是一元二次方程 的两个实数根，求使 的值为整数的实数k的整数值.
【答案】解：∵原方程有两个实数根，
∴△= ，
即： ，解得： ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
根据根与系数关系可得： ， ，
∴ = = = = ，
∵其为整数，且 ，
∴k取的值为： ， ， .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】通过原方程有两个实数根，所以△≥0，从而得到k的范围，之后再由 是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系表示出 与 ，将 进行变形，然后代入整理，结合之前k的范围进一步求解即可.
五、综合题
24．（2020九上·永定期中）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由．
【答案】（1）解：方程 有两个不相等的实数根 ，
可得k 1≠0，
∴k≠1且
可解得 且k≠1；
（2）解：假设存在两根的值互为相反数,设为
∵
∴
∴
又∵ 且k≠1，
∴k不存在.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据根的判别式求出k的取值范围，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0求出k的取值范围即可；（2）根据相反数的性质列出关于k的方程，再根据（1）中k的取值范围进行判定即可。
25．（2019九上·天台月考）一元二次方程mx -2mx+m-2=0
（1）若方程有两实数根,求m的取值范围.
（2）设方程两实根为x1,x2且▏x1-x2▕=1,求m的值。
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，
即（-2m）2-4·m·（m-2）≥0，
解得m≠0且m≥0，
∴m的取值范围为m＞0.
（2）解：由题意得：x1+x2=2, x1x2=,
▏x1-x2▕= ,
解得m=8.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=2, x1x2=, 然后把 ▏x1-x2▕ 恒等变形，配方，代值求解m即可.
1 / 1初中数学湘教版九年级上册2.4一元二次方程的根与系数关系 同步练习
一、单选题
1．（2021·覃塘模拟）若一元二次方程x2-3x=4的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2的值为
A．-3 B．3 C．-4 D．4
2．（2021九下·广州开学考）方程 的两根之和为（ ）
A．-6 B．5 C．-5 D．1
3．（2021·黄梅模拟）已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 的值为（ ）
A．2 B．－1 C．－ D．－2
4．（2021九上·秦淮期末）关于x的方程 （p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．根的符号与p的值有关
5．（2020九上·官渡期末）关于 的方程 的一个根是 ，则它的另一个根 是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
6．（2021·眉山）已知一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值为（ ）
A．-7 B．-3 C．2 D．5
7．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
8．（2021·泸县）关于x的一元二次方程 的两实数根 ，满足 ，则 的值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．16或40
9．（2021·阳西模拟）关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则 的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
10．（2021·河东模拟）设 ， 是方程 的两根，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2000 D．4000000
11．（2021·南海模拟）已知Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，那么 的面积为（ ）
A．16 B．32 C． D．
二、填空题
12．（2021·仙桃）关于x的方程 有两个实数根 .且 .则 .
13．（2021·南京）设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 .
14．（2021·随县）已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 .
15．（2021·南通模拟）已知 、 是方程 的两个实数根，则代数式 .
16．（2021九下·乳山期中）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ，那么 的最大值是 ．
17．（2021·南昌模拟）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值 ．
三、计算题
18．（2020九上·呼和浩特期中）已知 、 满足 ， ，求 的值．
19．先化简，再求值：
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．
20．（2015九上·句容竞赛）要使关于x的方程 的一根在-1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数a的值。
四、解答题
21．（2021·汝阳模拟）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
22．（2020九上·旬阳期末）已知关于x的方程 的两根为 满足： ，求实数k的值
23．（2019九上·成都月考）已知 是一元二次方程 的两个实数根，求使 的值为整数的实数k的整数值.
五、综合题
24．（2020九上·永定期中）已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由．
25．（2019九上·天台月考）一元二次方程mx -2mx+m-2=0
（1）若方程有两实数根,求m的取值范围.
（2）设方程两实根为x1,x2且▏x1-x2▕=1,求m的值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2-3x=4化为一般式为x2-3x-4=0，
∴ x1x2=.
故答案为：C.
【分析】先把一元二次方程x2-3x=4化为一般式，再根据一元二次方程根与系数的关系： x1x2=，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可得：
一元二次方程的两根之和为： ，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意得，
， ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】通分，可得.根据韦达定理，代入求值.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（x-3）（x-2）=p2（p为常数），
∴x2-5x+6-p2=0，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为6-p2，
∴根的符号与p的值有关，
故答案为：D.
【分析】先把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0）的形式，根据一元二次方程根与系数的关系得出两个根的积为6-p2，即可得出根的符号与p的值有关.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系可知：x1x2＝ 3，
∴x2＝ 1，
故答案为：C．
【分析】先求出x1x2＝ 3，再根据关于 的方程 的一个根是 ，进行计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根为 ， ，
∴ ，即： ， + =3，
∴ = -2( + )=-1-2×3=-7.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与，然后将其代入变形后的代数式求值即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：一元二次方程
或
当 时，
原一元二次方程为
，
，
当 时，原一元二次方程为
原方程无解，不符合题意，舍去，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可求出两根之积为2，建立关于m的方程，解方程求出m的值；分别将m的值代入方程，可求出方程的两根之和和两根之积；然后将代数式转化为含有两根之和和两根之积的代数式，整体代入求值即可.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根为x1和x2．
∵ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
当m=1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程没有实数根；
当m=-1时，原方程为 ．
判别式 ．
此时原方程有两个不相等的实数根．
∴符合条件的m=-1．
故答案为：B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系再结合倒数的定义求出m的值，再根据根的判别式求解即可。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ ， 是方程 的两个实数根
∴
∴
故答案为：D.
【分析】先求出，再代入计算求解即可。
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程 的两个实数根分别是： ，
∴ ，
∵Rt 的两条直角边的长度恰好是一元二次方程 的两个实数根，
∴ 的面积=32÷2=16．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，进而即可求解．
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
化成整式方程为 ，
解得 或 ，
经检验， 是所列分式方程的增根， 是所列分式方程的根，
故答案为：3.
【分析】根据根与系数的关系可得：α+β=2m，αβ=m2-m，根据可得m2-3m=0，求解可得m的值，最后进行检验即可.
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：2.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意， ， ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2，x1x2的值；再将已知方程组转化为 ，然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值.
15．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ ， 和 是方程的两个根
∴ ， ，
∴
故答案为：-2
【分析】利用韦达定理可得出 ， ，再通过代入移项可得到 ，分别代入 运算即可.
16．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两个实数根是 ，
∴ =k+1， =2，
∴
=-2-(k+1)2，
∵-1<0，
∴当k=-1时， 取得最大值-2．
故答案为：-2．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 =k+1， =2，再计算求解即可。
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：当a＝b时，
由a2﹣8a+5＝0解得a＝ ，
∴a+b＝ ；
当a≠b时，
a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8．
故答案为：8或8±2 ．
【分析】分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝ ；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．
18．【答案】解：∵ 、 满足 ， ，
∴若 ，则 ；
若 ，则a，b是关于x的方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ 值为2或-47．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由a，b满足 ， ，可分别从 与 去分析求解，注意当 ，则a，b是关于x的方程 的两根，再利用根与系数的关系求解即可；
19．【答案】解：原式=a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+ab
=﹣ab，
∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴ab=﹣2，
则原式=﹣ab=2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】首先用平方差公式和完全平方公式将所求的代数式化简；由题意根据一元二次方程的根与系数的关系可得ab=-2，代入化简后的代数式即可求解。
20．【答案】解：令f（x）=ax2－(a+1)x－4，∵ f（x）=0在（－1，0）之间有一根，∴ f（－1）·f（0）=（2a－3）·（－4）<0, ①∵ f（x）=0在（2，3）之间有一根，∴ f（2）·f（3）=（2a－b）·（6a－7）<0。②解不等式组 解得 。∵a为整数∴ a=2时，二次方程a=2时，二次方程 的一根在—1和0之间，另一根在2和3之间.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】可数形结合，x=-1和0的函数值符号相反，x=2和3的函数值之积为负，列出不等式，求出a的范围.
21．【答案】解：存在，理由如下：
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，
∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2，
∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）
＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7]
＝﹣2×（7+a）（3﹣7）
＝8（7+a），
由8（7+a）＝8得a＝﹣6，
∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，由根与系数的关系可得m+n=2，再整体代入即可得出a的值.
22．【答案】解：∵关于x的方程 ，
∴ ，
∴ ， ，
将其代入 可得：
，
解得： ，
∵经检验可得当 或 时方程均有两个实数根，
∴ 均满足题意.
故答案为: 或 .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据根与系数的关系可得 ， ，将其代入 ，可得与k有关的方程，可解出k的值，最后验证方程是否有实数根即可.
23．【答案】解：∵原方程有两个实数根，
∴△= ，
即： ，解得： ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
根据根与系数关系可得： ， ，
∴ = = = = ，
∵其为整数，且 ，
∴k取的值为： ， ， .
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】通过原方程有两个实数根，所以△≥0，从而得到k的范围，之后再由 是一元二次方程 的两个实数根，利用根与系数的关系表示出 与 ，将 进行变形，然后代入整理，结合之前k的范围进一步求解即可.
24．【答案】（1）解：方程 有两个不相等的实数根 ，
可得k 1≠0，
∴k≠1且
可解得 且k≠1；
（2）解：假设存在两根的值互为相反数,设为
∵
∴
∴
又∵ 且k≠1，
∴k不存在.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据根的判别式求出k的取值范围，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0求出k的取值范围即可；（2）根据相反数的性质列出关于k的方程，再根据（1）中k的取值范围进行判定即可。
25．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，
即（-2m）2-4·m·（m-2）≥0，
解得m≠0且m≥0，
∴m的取值范围为m＞0.
（2）解：由题意得：x1+x2=2, x1x2=,
▏x1-x2▕= ,
解得m=8.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=2, x1x2=, 然后把 ▏x1-x2▕ 恒等变形，配方，代值求解m即可.
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