初中数学湘教版九年级上册第二章 一元二次方程 章末检测
一、单选题
1．（2021·黄冈模拟）方程 化为一般形式后， 的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·辉模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2020
3．（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·武汉）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
5．（2021·赤峰）一元二次方程 ，配方后可形为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·聊城）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
7．（2021·贵港）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·柳州模拟）广西北部湾某中学为了使学生能够更好地进行体育活动，决定修建一个长方体形状的游泳池，其底面周长为100 m，设游泳池的底面长方形的长为x m，要使游泳池的底面面积为400 m2，则可列方程为（ ）
A．x（100-x）=400 B．2x（100-2x）=400
C．x（100-2x）=400 D．x（50-x）=400
9．（2021·河西模拟）要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）=15 B．x（x+1）=15
C． =15 D． =15
10．（2021·滨江模拟）用一条长60cm的绳子怎样围成一个面积为200cm2的矩形？设矩形的一边为xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（30+x）＝200 B．x（30﹣x）＝200
C．x（x+60）＝200 D．x（60﹣x）＝200
二、填空题
11．（2021·雅安）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为 .
12．（2021·岳阳）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 .
13．（2021·成都）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 .
14．（2021·吉林）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
15．（2021·枣庄）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为 ．
16．（2021·青山模拟）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为 米．
17．（2021·江干模拟）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 .
18．（2021·松北模拟）哈尔滨市某楼盘以每平方米10000元的均价对外销售，经过连续两次降价后，均价为每平方米8100元，则平均每次降价的百分率为 ．
19．（2021·黄冈模拟）已知 是方程 的两个实数根，则式子 的值为 .
20．（2021九上·锦州期末） 2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有 名同学则可列方程为 .
三、解答题
21．（2021·龙沙模拟）解方程：（2x﹣1）2＝3x2+6．
22．（2021九上·犍为期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0的常数项为0，求m的值及此方程的解.
23．（2021九上·舞钢期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣3＝0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围.
24．（2021·巨野模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
25．（2021·漳浦模拟）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
四、综合题
26．（2019九上·台州月考）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 ？若存在，
求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
27．（2019九上·中原月考）随着生活水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过网上平台购票，既快捷又能享受更多优惠.某电影城2019年从网上购买 张电影票的费用比现场购买 张电影票的费用少 元:从网上购买 张电影票的费用和现场购买 张电影票的费用共 元.
（1）求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元
（2）2019年五一当天，该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票，当天售出的总票数为 张.五一假期过后，观影人数出现下降，于是电影城决定从5月5日开始调整票价：现场购票价格下调，网上购票价格不变，结果发现，现场购票每张电影票的价格每降低 元，售出总票数就比五一当天增加 张.经统计，5月5日售出的总票数中有 的电影票通过网上售出，其余通过现场售出，且当天票房总收入为 元，试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元
28．（2019九上·萧山开学考）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程 的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由原方程移项，得
，
所以 .
故答案为：C.
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程的一般形式，其中a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c为常数项，据此即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
∴判别式
又∵ ， ，
∴
解得
故答案为：A.
【分析】由于关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得判别式 ，据此解答即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知 ， 是方程 的两根
∴ ， ，a+b=3
∴ =0+5+30+1=36.
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程的根的定义和根与系数的关系可得：a2-3a-5=0，b2-3b-5=0，a+b=3，然后用整体的代换计算即可求解.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x2-8x=2，
x2-8x+16=18，
（x-4）2=18．
故答案为：A．
【分析】先求出x2-8x=2，再求出x2-8x+16=18，最后配方计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得到： ，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：B.
【分析】根据2018年的蔬菜产量×（1+平均增长率）2=2020年的蔬菜产量，列出方程即可.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m
由题意可得：x（50-x）=400.
故答案为：D.
【分析】设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m，然后根据“游泳池的底面面积为400 m2”的等量关系列方程即可.
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得， =15，
故答案为：C．
【分析】根据要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，列方程求解即可。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设矩形的一边为xcm，则另一边长为（30-x）cm，
根据题意得：x（30-x）=200.
故答案为：B.
【分析】设矩形的一边为xcm，根据周长为60cm得出另一边长为（30-x）cm，再根据矩形的面积为200cm2，列出方程即可.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
12．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知：“△=0”，即 ；
∴ ；
故答案为：9.
【分析】 由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根 ，可得△=0，据此解答即可.
13．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3.
【分析】由一元二次方程的根的意义和根与系数的关系可得，，即，再整体代换即可求解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
15．【答案】8或9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，解得另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根，
因此，根的判别式 ，
解得n=9，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
综上， 的值为8或9，
故答案为：8或9．
【分析】当4为等腰三角形的腰长时，将x=4代入原一元一次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=4符合题意；当4为等腰三角形的底边长时，利用等腰三角形的性质可得出的判别式 ，解之可得n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意。
16．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，由题意有：
（20﹣2x）（15﹣x）=208，
解得x1=23（舍去），x2=2．
答：道路的宽为2米．
故答案为：2．
【分析】设道路的宽为x米，根据图形列出方程求解即可。
17．【答案】m＞0且m≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得1-m≠0且△=（-2）2-4（1-m）＞0，
解得m＞0且m≠1.
故答案为：m＞0且m≠1.
【分析】利用一元二次方程的定义可知1-m≠0，利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
18．【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：10000(1-x)2=8100，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【分析】先求出10000(1-x)2=8100，再解方程即可作答。
19．【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程的根与根与系数的关系，可得 ，根据一元二次方程解得定义得出，将原代数式变形为，然后整体代入计算即可.
20．【答案】x(x-1)=190
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】由题意得 ，
故答案为： .
【分析】根据题意x名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程.
21．【答案】解：
化简得：
因式分解得：
所以， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
22．【答案】解：由题意，得m2 9＝0，且m 3≠0，
解得m＝－3.
当m＝－3时，代入（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0，
得－6x2－6x＝0，
－6x（x＋1）＝0
解得x1＝0，x2＝ 1.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式，计算后可求出m的值，利用所求m的值则求出方程的解.
23．【答案】解：∵关于x的一元二次方程（m 1）x2＋2mx＋m 3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m 1≠0，即 且m≠1，
解得m＞ 且m≠1，
∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为：m＞ 且m≠1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式的值应该大于0，从而得到关于m的不等式，可求得m的取值范围.
24．【答案】解：由根与系数的关系，得
x1+x2=4 ，
x1 x2=k﹣3
又∵x1=3x2
∴x1=3，x2=1；
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
答：方程两根为x1=3，x2=1；k=6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
25．【答案】解：设矩形田地的宽为 步，则长为 步，
依题意，得：
解得： ， ，
由 得：
∴ ， ，
∴矩形田地的长比宽多4步.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设矩形田地的宽为 步，则长为 步 ，根据长方形的面积=长×宽，列出方程，求解并检验即可.
26．【答案】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 CQ=t；PB=AB-AP=6-2t S四边形PBCQ= (CQ+PB)BC= (t+6-2t)×2=6-t= ×6×2= . t=6- = (秒）
答：（1）两动点运动2/3秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
（2）解：设两动点运动t秒使点P与点Q之间的距离为 ，
①当0解得 .
②当3得方程5t2-32t+59=0.
△=322-4×5×59=-156<0，
此方程无实根，即点P在BC上运动时，不存在！使点P与点Q之间的距离为 .综上所得，当点P运动s或了s时，点P与点Q之间的距离为 .
答：两动点经过5/3秒或7/3秒，使得点P与点Q之间的距离为
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1） 设两动点运动t秒， 则CQ=t，PB=6-2t， 再根据四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的列式求出t即可；
（2）分两种情况求解， ①当027．【答案】（1）解：设网上每张电影票价格为 元，现场每张电影票价格为 元.
解得：
答：网上购票价格30元，现场购票价格50元
（2）解：设现场购票每张电影票的价格下降 元
解得 （舍去），
答：5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）由题意可知等量关系为：3×网上每张电影票的价格-2×现场每张电影票的价格=-10；5×网上每张电影票的价格+1×现场每张电影票的价格=200，设未知数，列方程组，然后求出方程组的解。
（2）抓住关键的已知条件，根据当天票房总收入=17680，设未知数，列方程，求出符合题意的x的值即可。
28．【答案】（1）证明：△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：当k=2时，
∴原方程化为：x2-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
∴32+42=52，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：当BC是等腰三角形的腰时，
∴x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解，
∴25-5（2k+3）+k2+3k+2=0，
解得：k2-7k+12=0，
∴k=3或k=4，
若k=3时，
则方程为：x2-9x+20=0，
∴x=4或x=5，满足三角形三边关系，
此时周长为14；
若k=4时，
则方程：x2-11x+30=0，
∴x=5或x=6，满足三角形三边关系，
此时周长为16；
当BC是等腰三角形的底边时，
此时方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意，
综上所述，△ABC的周长为14或16.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算法则算出方程根的判别式的值为1，由该值大于0得出无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将k=2代入关于x的一元二次方程 ，利用因式分解法求解得出方程的两个根，得出三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判断出 △ABC是直角三角形 ；
（3）分类讨论： 当BC是等腰三角形的腰时， x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解， 将x=5代入即可求出k的值，将k的值再代入方程求出方程的两根，从而得出三条线段的长度，进而根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法即可算出答案； 当BC是等腰三角形的底边时， 此时方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意， 综上所述即可得出答案。
1 / 1初中数学湘教版九年级上册第二章 一元二次方程 章末检测
一、单选题
1．（2021·黄冈模拟）方程 化为一般形式后， 的值分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由原方程移项，得
，
所以 .
故答案为：C.
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程的一般形式，其中a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，c为常数项，据此即可得出答案.
2．（2021·辉模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．2020
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根
∴判别式
又∵ ， ，
∴
解得
故答案为：A.
【分析】由于关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得判别式 ，据此解答即可.
3．（2021·玉林）已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，
∴ ，解得： ，
∴由韦达定理可得： ，
∴只有D选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果.
4．（2021·武汉）已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ）
A．-25 B．-24 C．35 D．36
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵已知 ， 是方程 的两根
∴ ， ，a+b=3
∴ =0+5+30+1=36.
故答案为：D.
【分析】由一元二次方程的根的定义和根与系数的关系可得：a2-3a-5=0，b2-3b-5=0，a+b=3，然后用整体的代换计算即可求解.
5．（2021·赤峰）一元二次方程 ，配方后可形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
x2-8x=2，
x2-8x+16=18，
（x-4）2=18．
故答案为：A．
【分析】先求出x2-8x=2，再求出x2-8x+16=18，最后配方计算求解即可。
6．（2021·聊城）关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得到： ，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
7．（2021·贵港）某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：B.
【分析】根据2018年的蔬菜产量×（1+平均增长率）2=2020年的蔬菜产量，列出方程即可.
8．（2021·柳州模拟）广西北部湾某中学为了使学生能够更好地进行体育活动，决定修建一个长方体形状的游泳池，其底面周长为100 m，设游泳池的底面长方形的长为x m，要使游泳池的底面面积为400 m2，则可列方程为（ ）
A．x（100-x）=400 B．2x（100-2x）=400
C．x（100-2x）=400 D．x（50-x）=400
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m
由题意可得：x（50-x）=400.
故答案为：D.
【分析】设游泳池的底面长方形的长为x m，则宽为（50-x）m，然后根据“游泳池的底面面积为400 m2”的等量关系列方程即可.
9．（2021·河西模拟）要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）=15 B．x（x+1）=15
C． =15 D． =15
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得， =15，
故答案为：C．
【分析】根据要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，列方程求解即可。
10．（2021·滨江模拟）用一条长60cm的绳子怎样围成一个面积为200cm2的矩形？设矩形的一边为xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（30+x）＝200 B．x（30﹣x）＝200
C．x（x+60）＝200 D．x（60﹣x）＝200
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： 设矩形的一边为xcm，则另一边长为（30-x）cm，
根据题意得：x（30-x）=200.
故答案为：B.
【分析】设矩形的一边为xcm，根据周长为60cm得出另一边长为（30-x）cm，再根据矩形的面积为200cm2，列出方程即可.
二、填空题
11．（2021·雅安）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
12．（2021·岳阳）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 .
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题可知：“△=0”，即 ；
∴ ；
故答案为：9.
【分析】 由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根 ，可得△=0，据此解答即可.
13．（2021·成都）若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=1+2×（-2）
=-3
故答案为：-3.
【分析】由一元二次方程的根的意义和根与系数的关系可得，，即，再整体代换即可求解.
14．（2021·吉林）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
15．（2021·枣庄）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为 ．
【答案】8或9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于 的方程 的一个根，
因此有 ，
解得 ，
则方程为 ，解得另一个根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于 的方程 有两个相等的实数根，
因此，根的判别式 ，
解得n=9，
则方程为 ，解得方程的根为 ，
此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理；
综上， 的值为8或9，
故答案为：8或9．
【分析】当4为等腰三角形的腰长时，将x=4代入原一元一次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=4符合题意；当4为等腰三角形的底边长时，利用等腰三角形的性质可得出的判别式 ，解之可得n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n=9符合题意。
16．（2021·青山模拟）如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为 米．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，由题意有：
（20﹣2x）（15﹣x）=208，
解得x1=23（舍去），x2=2．
答：道路的宽为2米．
故答案为：2．
【分析】设道路的宽为x米，根据图形列出方程求解即可。
17．（2021·江干模拟）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 .
【答案】m＞0且m≠1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得1-m≠0且△=（-2）2-4（1-m）＞0，
解得m＞0且m≠1.
故答案为：m＞0且m≠1.
【分析】利用一元二次方程的定义可知1-m≠0，利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
18．（2021·松北模拟）哈尔滨市某楼盘以每平方米10000元的均价对外销售，经过连续两次降价后，均价为每平方米8100元，则平均每次降价的百分率为 ．
【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：10000(1-x)2=8100，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
故答案为：10%．
【分析】先求出10000(1-x)2=8100，再解方程即可作答。
19．（2021·黄冈模拟）已知 是方程 的两个实数根，则式子 的值为 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】根据一元二次方程的根与根与系数的关系，可得 ，根据一元二次方程解得定义得出，将原代数式变形为，然后整体代入计算即可.
20．（2021九上·锦州期末） 2021年元旦联欢会上，某班同学之间互赠新年贺卡，共赠贺卡190张，设全班有 名同学则可列方程为 .
【答案】x(x-1)=190
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】由题意得 ，
故答案为： .
【分析】根据题意x名同学，每个人送出（x-1）张贺卡，由此列出方程.
三、解答题
21．（2021·龙沙模拟）解方程：（2x﹣1）2＝3x2+6．
【答案】解：
化简得：
因式分解得：
所以， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
22．（2021九上·犍为期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0的常数项为0，求m的值及此方程的解.
【答案】解：由题意，得m2 9＝0，且m 3≠0，
解得m＝－3.
当m＝－3时，代入（m﹣3）x2﹣6x+m2﹣9＝0，
得－6x2－6x＝0，
－6x（x＋1）＝0
解得x1＝0，x2＝ 1.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式，计算后可求出m的值，利用所求m的值则求出方程的解.
23．（2021九上·舞钢期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣3＝0，求：当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围.
【答案】解：∵关于x的一元二次方程（m 1）x2＋2mx＋m 3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m 1≠0，即 且m≠1，
解得m＞ 且m≠1，
∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为：m＞ 且m≠1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根可知根的判别式的值应该大于0，从而得到关于m的不等式，可求得m的取值范围.
24．（2021·巨野模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．
【答案】解：由根与系数的关系，得
x1+x2=4 ，
x1 x2=k﹣3
又∵x1=3x2
∴x1=3，x2=1；
∴k=x1x2+3=3×1+3=6
答：方程两根为x1=3，x2=1；k=6．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可。
25．（2021·漳浦模拟）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积九十六步，只云长阔共二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为96平方步，只知道它的长与宽共20步，问它的长比宽多了多少步？
【答案】解：设矩形田地的宽为 步，则长为 步，
依题意，得：
解得： ， ，
由 得：
∴ ， ，
∴矩形田地的长比宽多4步.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设矩形田地的宽为 步，则长为 步 ，根据长方形的面积=长×宽，列出方程，求解并检验即可.
四、综合题
26．（2019九上·台州月考）如图，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．
（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ；
（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为 ？若存在，
求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 CQ=t；PB=AB-AP=6-2t S四边形PBCQ= (CQ+PB)BC= (t+6-2t)×2=6-t= ×6×2= . t=6- = (秒）
答：（1）两动点运动2/3秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
（2）解：设两动点运动t秒使点P与点Q之间的距离为 ，
①当0解得 .
②当3得方程5t2-32t+59=0.
△=322-4×5×59=-156<0，
此方程无实根，即点P在BC上运动时，不存在！使点P与点Q之间的距离为 .综上所得，当点P运动s或了s时，点P与点Q之间的距离为 .
答：两动点经过5/3秒或7/3秒，使得点P与点Q之间的距离为
【知识点】一元二次方程的其他应用；勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1） 设两动点运动t秒， 则CQ=t，PB=6-2t， 再根据四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的列式求出t即可；
（2）分两种情况求解， ①当027．（2019九上·中原月考）随着生活水平的不断提高，越来越多的人选择到电影院观看电影，体验视觉盛宴，并且更多的人通过网上平台购票，既快捷又能享受更多优惠.某电影城2019年从网上购买 张电影票的费用比现场购买 张电影票的费用少 元:从网上购买 张电影票的费用和现场购买 张电影票的费用共 元.
（1）求该电影城2019年在网上购票和现场购票每张电影票的价格为多少元
（2）2019年五一当天，该电影城按照2019年网上购票和现场购票的价格销售电影票，当天售出的总票数为 张.五一假期过后，观影人数出现下降，于是电影城决定从5月5日开始调整票价：现场购票价格下调，网上购票价格不变，结果发现，现场购票每张电影票的价格每降低 元，售出总票数就比五一当天增加 张.经统计，5月5日售出的总票数中有 的电影票通过网上售出，其余通过现场售出，且当天票房总收入为 元，试求出5月5日当天现场购票每张电影票的价格为多少元
【答案】（1）解：设网上每张电影票价格为 元，现场每张电影票价格为 元.
解得：
答：网上购票价格30元，现场购票价格50元
（2）解：设现场购票每张电影票的价格下降 元
解得 （舍去），
答：5月5日当天现场购票每张电影票的价格为40元
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）由题意可知等量关系为：3×网上每张电影票的价格-2×现场每张电影票的价格=-10；5×网上每张电影票的价格+1×现场每张电影票的价格=200，设未知数，列方程组，然后求出方程组的解。
（2）抓住关键的已知条件，根据当天票房总收入=17680，设未知数，列方程，求出符合题意的x的值即可。
28．（2019九上·萧山开学考）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程 的两个实数根。
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
【答案】（1）证明：△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：当k=2时，
∴原方程化为：x2-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
∴32+42=52，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：当BC是等腰三角形的腰时，
∴x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解，
∴25-5（2k+3）+k2+3k+2=0，
解得：k2-7k+12=0，
∴k=3或k=4，
若k=3时，
则方程为：x2-9x+20=0，
∴x=4或x=5，满足三角形三边关系，
此时周长为14；
若k=4时，
则方程：x2-11x+30=0，
∴x=5或x=6，满足三角形三边关系，
此时周长为16；
当BC是等腰三角形的底边时，
此时方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意，
综上所述，△ABC的周长为14或16.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算法则算出方程根的判别式的值为1，由该值大于0得出无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将k=2代入关于x的一元二次方程 ，利用因式分解法求解得出方程的两个根，得出三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判断出 △ABC是直角三角形 ；
（3）分类讨论： 当BC是等腰三角形的腰时， x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解， 将x=5代入即可求出k的值，将k的值再代入方程求出方程的两根，从而得出三条线段的长度，进而根据三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法即可算出答案； 当BC是等腰三角形的底边时， 此时方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意， 综上所述即可得出答案。
1 / 1
