初中数学华师大版九年级上学期第24章 24.2 直角三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021七下·万州期末）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边的长的一组数是（ ）
A．5，6，7 B．5，7，13 C．5，8，8 D．5，12，13
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵5+6=11＞7，∴能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵5+7=12<13，∴不能组成三角形，故B符合题意；
C、∵5+8=13＞8，∴能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵5+12=17＞13，∴能组成三角形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形任意两边之和都大于第三边，据此逐一判断即可.
2．（2021·沙坪坝模拟）下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（ ）
A．2 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形，此项符合题意；
C、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
D、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，只要把两条较短的边相加，看其结果是不是大于最长的边，即可得出答案.
3．（2021·苏州模拟）图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，此时双翼的边缘AC、BD与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（ ）
A． cm B． cm C．27cm D．54cm
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，
∵点A与B之间的距离为10cm，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，
∴AE＝BF＝（64 10）÷2＝27（cm），
Rt△ACE中，∠PCA＝30°，AC＝2AE＝27×2＝54（cm），
故答案为：D.
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，由点A与B之间的距离为10cm，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，可得AE、BF的值，Rt△ACE中，∠PCA＝30°，由30°所对直角边等于斜边的一半的可得AC的长度.
4．（2021八下·白云期末）一个三角形的三边长分别为6，8，11，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：62+82＜112，不能构成直角三角形，是钝角三角形，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理和三边关系解答即可。
5．（2021七下·普洱期中）如图， 中， 于点D，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵AD=1，
∴AC=2AD=2，
∴AB=2AC=3，
∴BC= = ，
故答案为：B．
【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，再根据勾股定理计算出即可。
6．（2021八下·丽水期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=10，∠ACB=30°，则CD的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．5
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
∵AC=10，∠ACB=30°，
∴AB=5.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=5.
故答案为： A.
【分析】首先由矩形的性质可得∠ABC=90°，CD=AB，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行求解.
7．（2021八下·合肥期末）如图，在 中， 两顶点 在 轴、 轴上滑动，点 在第一象限内，连接 ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，取AB中点P，连接OP、CP，
则OP=AP= AB=4，
由勾股定理得，CP= =5，
利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC=9，OC的长的最大值为9，
故答案为：C．
【分析】先求出OP=AP= AB=4，再利用勾股定理求出CP=5，最后计算求解即可。
8．（2021八下·朝阳期中）已知 、 、为 的三边，且满足 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】
∵，
∴ a-b=0或a2+b2-c2=0，即：a=b，a2+b2=c2。
∴ABC的形状为等腰三角形或者直角三角形。
故答案为：A
【分析】由 可得，a-b=0，a=b，或者a2+b2-c2=0，a2+b2=c2，从而可以判断ABC的形状为等腰三角形或者直角三角形。
9．（2021·金华模拟）如图，直角三角板 中， ，一边平行于 的直尺将三角板 分成面积相等的三部分.若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题意知： ， ，
，
又∵ ，
，
又 ，
， ，
， ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
又 ，
.
故答案为：D
【分析】通过三角形相似，求得EH，FG的长度，分别在直角三角形中，由 所对的直角边是斜边的一半，求得AE、AF，从而得到EF.
10．（2021八下·武汉月考）四边形 中， ，则 的值为（ ）
A．15 B． C． D．20
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EM⊥CD于M，
则AC=AE= ，∠CAE=90°，∠ADE=∠ABC，DE=BC=12，
在Rt△ACE中，CE= ，
∵∠BAD=90°，∠BCD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-30°-90°=240°，
∴∠ADE+∠ADC=240°，
∴∠CDE=120°，即∠EDM=60°，
∴在Rt△EDM中，∠DEM=30°
∴ ，
在Rt△CEM中，设CD=x，则CM=6+x
∴ ，解得： （舍去），
∴CD=20
故答案为：D
【分析】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EM⊥CD于M，根据旋转的性质求得△ACE为等腰直角三角形，则由勾股定理求出EC，然后由角的关系求得∠DEM=30°，则可求出DM和ME的长，设CD=x，在Rt△EDM中，根据勾股定理列式求出CD长即可.
二、填空题
11．（2021·柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】5（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，
整数a可取2、3、4、5、6中的一个，
故答案为：5（答案不唯一）.
【分析】由三角形三边关系可得：1
12．（2021七下·相城月考）三角形三边长分别为3， ，7，则 的取值范围是 .
【答案】4【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，
得： 7-3＜a＜7+3.
∴4＜a＜10，
故答案为：4＜a＜10.
【分析】若a、b、c为三角形的三边长，则满足a-ba>b），据此解答.
13．（2021八上·天心期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝ cm.
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：根据含30°角的直角三角形的性质可知：BC＝ AB＝4cm.
故答案为：4.
【分析】根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案.
14．（2020八上·贵州期中）如右图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D.若△ABC的周长为12
cm，则CD = cm.
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC为等边三角形，所以∠CAB=60°，
因为DC∥AB所以∠ACD=∠CAB=60°，
∠CAD=90°-∠ACD =30°，
在Rt△ACD，CD= AC，又因为△ABC的周长为12 cm，
所以DC= AC=2
故答案为：2
【分析】根据等边三角形的性质可得∠CAB=60°，由平行线的性质和直角三角形的性质可求得∠CAD=90°-∠ACD =30°，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AC，再结合已知可求解.
15．（2021八下·乐清期末）一艘快艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后到达A地，若快艇的行驶速度保持不变，则快艇驶完AB这段路程的时间为 小时。
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∠AOB=180°-30°-60°=90°，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴
∴∠B=30°
∴AB=2AO；
∵从O港出发，1小时后到达A地，
∴快艇驶完AB这段路程的时间为2小时.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件可求出∠AOB=90°，再证明∠B=30°，利用30°的直角边等于斜边的一半可证得AB=2AO；再根据从O港出发，1小时后到达A地，就可求出快艇驶完AB这段路程的时间.
16．（2021·青羊模拟）如图，在 中， ， ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，直线 、 交于点D，则 的长为 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：延长DB，过点C作CE⊥BD交延长线于E，
∵ 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴∠B′AB=∠C′AC=30°，AB′=AB，AC′=AC，
∴∠B′BA=∠C′CA= ，
∵ ， ，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠DCB=90°-∠C′CA=15°，
∴∠CDE=180°-∠B′BA-∠ABC-∠DCB=180°-75°-45°-15°=45°
∴∠DCE=∠CDE=45°，DE=CE，
∴∠BCE=∠DCE-∠DCB=45°-15°=30°，
在Rt△BCE中，BC=4cm，∠BCE==30°，
∴BE= ，
∴CE= ，
∴CD= .
故答案为： .
【分析】延长DB，过点C作CE⊥BD交延长线于E，利用旋转的性质可得到∠B′AB=∠C′AC=30°，AB′=AB，AC′=AC，同时可求出∠B′BA，∠C′CA的度数；再求出∠BCE的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BE的长，利用勾股定理求出CE的长；然后利用勾股定理求出CD的长.
17．（2021八下·槐荫期末）如图，在菱形 和菱形 中，点A、B、E在同一直线上，P是线段 的中点，连接 、 ．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】延长 交 于点
四边形 ， 是菱形，点A、B、E在同一直线上
，
P是线段 的中点
又
即
P是线段 的中点
， 平分 （三线合一）
，
∴∠PCG=30°，
∴CG=2PC，
；
故答案为 ；
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
三、解答题
18．（2021八下·宜州期中）如图，已知 ， ， ， .求 的长.
【答案】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
＞
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】首先根据直角三角形两锐角互余得到∠ACB=30°，求出AC、BC2的值，然后在等腰Rt△BCD中应用勾股定理求解即可.
19．（2021八下·贺兰期中）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB= 60° ,
∵DE∥AB，
∴ ∠EDC=∠B= 60°,
∴△EDC是等边三角形，
∴DE= DC= 2 ，
在Rt△DEF中，∠DEF= 90° ,
∵DE=2，∠F= 30°,
∴DF= 2DE= 4，
∴ EF=== 2，
故答案为：2.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先证明△DEC为等边三角形，再在Rt△DEC中根据含30°角的等腰直角三角形的性质求出DF，最后由勾股定理求出EF即可.
四、综合题
20．（2021八下·利辛期末）如图，折叠矩形ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠，使点A落在BD上，得折痕DC。
（1）若AG=1，∠ABD=30°，求AD的长；
（2）若AB=4，BC=3，求AG的长。
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．
∵∠ABD=30°，∴∠ADB= 60°．
由折叠可知：DG平分∠ADB
∴∠ADG=∠BDG= ∠ADB=30°
∴DG=2AG=2，∴AD= -
（2）解：过点G作GE⊥BD于点E，则∠GDA=∠GDB，AG=EG，AD=ED
∵四边形ABCD是矩形，∠A=90°，AD=BC=3
∴AG=EG，DE=3．
∴AB=4，AD=3，∠A=90°，∴BD=5
设AG=x，则EG=x，BE=BD-DE=5-3=2，BG=AB-AG=4-x
在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2 ，
即x2+22=(4-x)2，解得x=
∴AG的长是
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）先求出∠ADB= 60°，再根据折叠的性质得出∠ADG=∠BDG=∠ADB=30°，从而求出
DG=2AG=2，再利用勾股定理即可求出AD的长；
（2）过点G作GE⊥BD于点E，设AG=x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，即可求出AG的长.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第24章 24.2 直角三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021七下·万州期末）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边的长的一组数是（ ）
A．5，6，7 B．5，7，13 C．5，8，8 D．5，12，13
2．（2021·沙坪坝模拟）下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（ ）
A．2 B．7 C．9 D．11
3．（2021·苏州模拟）图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，此时双翼的边缘AC、BD与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（ ）
A． cm B． cm C．27cm D．54cm
4．（2021八下·白云期末）一个三角形的三边长分别为6，8，11，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
5．（2021七下·普洱期中）如图， 中， 于点D，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八下·丽水期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=10，∠ACB=30°，则CD的长为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．5
7．（2021八下·合肥期末）如图，在 中， 两顶点 在 轴、 轴上滑动，点 在第一象限内，连接 ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．
8．（2021八下·朝阳期中）已知 、 、为 的三边，且满足 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
9．（2021·金华模拟）如图，直角三角板 中， ，一边平行于 的直尺将三角板 分成面积相等的三部分.若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021八下·武汉月考）四边形 中， ，则 的值为（ ）
A．15 B． C． D．20
二、填空题
11．（2021·柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 .（写出一个即可）
12．（2021七下·相城月考）三角形三边长分别为3， ，7，则 的取值范围是 .
13．（2021八上·天心期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝ cm.
14．（2020八上·贵州期中）如右图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D.若△ABC的周长为12
cm，则CD = cm.
15．（2021八下·乐清期末）一艘快艇的航线如图所示，从O港出发，1小时后到达A地，若快艇的行驶速度保持不变，则快艇驶完AB这段路程的时间为 小时。
16．（2021·青羊模拟）如图，在 中， ， ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，直线 、 交于点D，则 的长为 .
17．（2021八下·槐荫期末）如图，在菱形 和菱形 中，点A、B、E在同一直线上，P是线段 的中点，连接 、 ．若 ，则 的值为 ．
三、解答题
18．（2021八下·宜州期中）如图，已知 ， ， ， .求 的长.
19．（2021八下·贺兰期中）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
四、综合题
20．（2021八下·利辛期末）如图，折叠矩形ABCD，先折出折痕(对角线)BD，再折叠，使点A落在BD上，得折痕DC。
（1）若AG=1，∠ABD=30°，求AD的长；
（2）若AB=4，BC=3，求AG的长。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵5+6=11＞7，∴能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵5+7=12<13，∴不能组成三角形，故B符合题意；
C、∵5+8=13＞8，∴能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵5+12=17＞13，∴能组成三角形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形任意两边之和都大于第三边，据此逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形，此项符合题意；
C、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
D、 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，只要把两条较短的边相加，看其结果是不是大于最长的边，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，
∵点A与B之间的距离为10cm，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，
∴AE＝BF＝（64 10）÷2＝27（cm），
Rt△ACE中，∠PCA＝30°，AC＝2AE＝27×2＝54（cm），
故答案为：D.
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，由点A与B之间的距离为10cm，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，可得AE、BF的值，Rt△ACE中，∠PCA＝30°，由30°所对直角边等于斜边的一半的可得AC的长度.
4．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：62+82＜112，不能构成直角三角形，是钝角三角形，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理和三边关系解答即可。
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=60°，
∴∠ACD=∠B=30°，
∵AD=1，
∴AC=2AD=2，
∴AB=2AC=3，
∴BC= = ，
故答案为：B．
【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD=∠A=60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，再根据勾股定理计算出即可。
6．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
∵AC=10，∠ACB=30°，
∴AB=5.
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=5.
故答案为： A.
【分析】首先由矩形的性质可得∠ABC=90°，CD=AB，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，取AB中点P，连接OP、CP，
则OP=AP= AB=4，
由勾股定理得，CP= =5，
利用三角形两边之和大于点三边可知：OC≤OP+PC=9，OC的长的最大值为9，
故答案为：C．
【分析】先求出OP=AP= AB=4，再利用勾股定理求出CP=5，最后计算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】
∵，
∴ a-b=0或a2+b2-c2=0，即：a=b，a2+b2=c2。
∴ABC的形状为等腰三角形或者直角三角形。
故答案为：A
【分析】由 可得，a-b=0，a=b，或者a2+b2-c2=0，a2+b2=c2，从而可以判断ABC的形状为等腰三角形或者直角三角形。
9．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由题意知： ， ，
，
又∵ ，
，
又 ，
， ，
， ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
又 ，
.
故答案为：D
【分析】通过三角形相似，求得EH，FG的长度，分别在直角三角形中，由 所对的直角边是斜边的一半，求得AE、AF，从而得到EF.
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EM⊥CD于M，
则AC=AE= ，∠CAE=90°，∠ADE=∠ABC，DE=BC=12，
在Rt△ACE中，CE= ，
∵∠BAD=90°，∠BCD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-30°-90°=240°，
∴∠ADE+∠ADC=240°，
∴∠CDE=120°，即∠EDM=60°，
∴在Rt△EDM中，∠DEM=30°
∴ ，
在Rt△CEM中，设CD=x，则CM=6+x
∴ ，解得： （舍去），
∴CD=20
故答案为：D
【分析】把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EM⊥CD于M，根据旋转的性质求得△ACE为等腰直角三角形，则由勾股定理求出EC，然后由角的关系求得∠DEM=30°，则可求出DM和ME的长，设CD=x，在Rt△EDM中，根据勾股定理列式求出CD长即可.
11．【答案】5（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，
整数a可取2、3、4、5、6中的一个，
故答案为：5（答案不唯一）.
【分析】由三角形三边关系可得：112．【答案】4【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，
得： 7-3＜a＜7+3.
∴4＜a＜10，
故答案为：4＜a＜10.
【分析】若a、b、c为三角形的三边长，则满足a-ba>b），据此解答.
13．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：根据含30°角的直角三角形的性质可知：BC＝ AB＝4cm.
故答案为：4.
【分析】根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案.
14．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC为等边三角形，所以∠CAB=60°，
因为DC∥AB所以∠ACD=∠CAB=60°，
∠CAD=90°-∠ACD =30°，
在Rt△ACD，CD= AC，又因为△ABC的周长为12 cm，
所以DC= AC=2
故答案为：2
【分析】根据等边三角形的性质可得∠CAB=60°，由平行线的性质和直角三角形的性质可求得∠CAD=90°-∠ACD =30°，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AC，再结合已知可求解.
15．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∠AOB=180°-30°-60°=90°，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴
∴∠B=30°
∴AB=2AO；
∵从O港出发，1小时后到达A地，
∴快艇驶完AB这段路程的时间为2小时.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件可求出∠AOB=90°，再证明∠B=30°，利用30°的直角边等于斜边的一半可证得AB=2AO；再根据从O港出发，1小时后到达A地，就可求出快艇驶完AB这段路程的时间.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：延长DB，过点C作CE⊥BD交延长线于E，
∵ 绕点A顺时针旋转 得到 ，
∴∠B′AB=∠C′AC=30°，AB′=AB，AC′=AC，
∴∠B′BA=∠C′CA= ，
∵ ， ，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠DCB=90°-∠C′CA=15°，
∴∠CDE=180°-∠B′BA-∠ABC-∠DCB=180°-75°-45°-15°=45°
∴∠DCE=∠CDE=45°，DE=CE，
∴∠BCE=∠DCE-∠DCB=45°-15°=30°，
在Rt△BCE中，BC=4cm，∠BCE==30°，
∴BE= ，
∴CE= ，
∴CD= .
故答案为： .
【分析】延长DB，过点C作CE⊥BD交延长线于E，利用旋转的性质可得到∠B′AB=∠C′AC=30°，AB′=AB，AC′=AC，同时可求出∠B′BA，∠C′CA的度数；再求出∠BCE的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BE的长，利用勾股定理求出CE的长；然后利用勾股定理求出CD的长.
17．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】延长 交 于点
四边形 ， 是菱形，点A、B、E在同一直线上
，
P是线段 的中点
又
即
P是线段 的中点
， 平分 （三线合一）
，
∴∠PCG=30°，
∴CG=2PC，
；
故答案为 ；
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
18．【答案】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
＞
∴
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】首先根据直角三角形两锐角互余得到∠ACB=30°，求出AC、BC2的值，然后在等腰Rt△BCD中应用勾股定理求解即可.
19．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB= 60° ,
∵DE∥AB，
∴ ∠EDC=∠B= 60°,
∴△EDC是等边三角形，
∴DE= DC= 2 ，
在Rt△DEF中，∠DEF= 90° ,
∵DE=2，∠F= 30°,
∴DF= 2DE= 4，
∴ EF=== 2，
故答案为：2.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先证明△DEC为等边三角形，再在Rt△DEC中根据含30°角的等腰直角三角形的性质求出DF，最后由勾股定理求出EF即可.
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．
∵∠ABD=30°，∴∠ADB= 60°．
由折叠可知：DG平分∠ADB
∴∠ADG=∠BDG= ∠ADB=30°
∴DG=2AG=2，∴AD= -
（2）解：过点G作GE⊥BD于点E，则∠GDA=∠GDB，AG=EG，AD=ED
∵四边形ABCD是矩形，∠A=90°，AD=BC=3
∴AG=EG，DE=3．
∴AB=4，AD=3，∠A=90°，∴BD=5
设AG=x，则EG=x，BE=BD-DE=5-3=2，BG=AB-AG=4-x
在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2 ，
即x2+22=(4-x)2，解得x=
∴AG的长是
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）先求出∠ADB= 60°，再根据折叠的性质得出∠ADG=∠BDG=∠ADB=30°，从而求出
DG=2AG=2，再利用勾股定理即可求出AD的长；
（2）过点G作GE⊥BD于点E，设AG=x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，即可求出AG的长.
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