初中数学华师大版九年级上学期第24章 24.3 锐角三角形函数 同步练习
一、单选题
1．（2021·河西模拟） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 ．
故答案为：A．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
2．（2021·云岩模拟）如图， 的顶点位于正方形网格的格点上，若 ，则满足条件的 是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】A. ，故该选项不符合题意，
B. ，故该选项符合题意，
C. ，故该选项不符合题意，
D. ，故该选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据网格特点分别求出各选项中tanα的值，然后判断即可.
3．（2021·玉州模拟）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∴cosA＝ .
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由cosA＝计算即得 .
4．（2021·桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴ ，
故答案为：D
【分析】作PM⊥x轴于点M，根据勾股定理求出OP，然后根据正弦三角函数定义计算即可.
5．（2021·东营）如图，在 中， ， ， ，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由 ，得：
，
故答案为：D．
【分析】先由 ， ， 可运用角B的正切值得到，再将的表达式进行变形即可求解。
6．（2021·深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即 米，在点E处看点D的仰角为64°，则 的长用三角函数表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠EDF=∠DEC-∠F=64°-32°=32°=∠F，
∴DE=EF=15，
在Rt△DCE中，，
∴CD=.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的外角性质求出∠EDF=32°=∠F，得出DE=EF=15，再根据锐角三角函数的定义得出，即可得出答案.
7．（2021·连云港）如图， 中， ， 、 相交于点D， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点C作 的延长线于点 ，
与 是等高三角形，
设
，
故答案为：A.
【分析】过点C作 的延长线于点，根据等高三角形可，从而得出，证明，利用相似三角形的性质得出，从而求出AE、BE的长，求出∠CBE=30°，从而求出，设 ，可得，根据三角形的面积公式建立方程，求出x值即可.
8．（2021·白银模拟）如图①，AB＝5，射线AM BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ AB.设AP＝x，QD＝y.若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ=x，
由图②可得当x=9时，y=2，
此时点Q在点D下方Q'处，且BQ'=x=9时，y=2，如图①所示，
∴BD=BQ'-Q'D=x-y=7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴ ，AC⊥BD，
∴cosB= ，
故答案为：D.
【分析】易得四边形ABQP是平行四边形，故AP=BQ=x，由图②可得当x=9时，y=2，此时点Q在点D下方Q'处，由图①可得BD=BQ'-Q'D=x-y=7，由折叠性质可得BC的长度，根据锐角三角函数可得结果.
二、填空题
9．（2021·崆峒模拟）计算2sin30°= .
【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=2× =1.故答案为1.
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可.
10．（2021·湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，则sinB的值是
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出sinB的值.
11．（2021九上·建德期末）tanA=1，则锐角∠A= .
【答案】45°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： 为锐角，
故答案为： 45°.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得结果.
12．（2021八下·罗湖期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点于E，且AP= ，∠BAC＝60°，有一点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则AF＝ ．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点P作PH⊥AB于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，∠BAC=60°，
∴PE=PH，∠PAE=∠PAF=30°，
在Rt△PEA中，AE=AP·cos∠EAP=3，
∵△FAP的面积是△△EAP面积的2倍，PH=PE，
∴AF=2AE=6.
【分析】过点P作PH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得PE=PH，∠PAE=∠PAF=30°，在Rt△PEA中，可得AE=AP·cos∠EAP=3，由△FAP的面积是△△EAP面积的2倍且PH=PE，可得AF=2AE=6.
13．（2021·邳州模拟）如图，在 中， 是 边上的高， ， ， ，则 的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×AC AC 3，
∴AD 3 ，
在Rt△ADB中，BD ，
∴BC＝CD+BD＝ ，
故答案为： .
【分析】利用cosC 、AC＝6，计算出CD的长，再利用勾股定理计算出AD和BD的长，利用BC＝CD+BD即可求出答案.
14．（2021·新疆）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 按逆时针方向旋转得 ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 ，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1， .
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°.
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x.
∵AB∥DC，
∴ .
∴ .
∴ .
整理得， .
解得， ， （不合题意，舍去）.
∴ .
∴ .
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，
设DP=y，则 .
∵ ，
∴ .
解得， .
∴ .
∴在Rt△DEP中，
.即 .
故答案为：
【分析】根据旋转的性质，可设AE=CF=2x，DN=5x，证明，可得，据此求出x值即得AE、BE，利用勾股定理求出DE，过点E作EP⊥BD于点P，设DP=y，则 由 建立y方程，求出y值即得DP，利用勾股定理求出EP，在Rt△DEP中，由计算即得.
三、解答题
15．（2021·曾都模拟）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
，
当 时，
原式 .
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂得到a的值，继而将a的值代入计算可得.
16．（2021·安徽）学生到工厂劳动实践，学习机械零件，零件的截面如图所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC为90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC=6cm，求零件的截面面积.
参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60.
【答案】解：∵∠BAD=53°；
∴∠EAB=37°；
∴∠EBA=53°；
∴AE=ABxsin∠EBA=10x0.8=8cm；
∴BE= cm；
∵∠ABC=90°；
∴∠CBF=37°；
∴∠BCF=53°；
∴BF=BCxsin∠BCF=6x0.8=4.8cm；
∴CF= 3.6cm；
=8x10.8- x8x6- x4.8x3.6
=53.76cm2
【知识点】矩形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据矩形的性质、特殊角的三角函数值求出AE和BE的长度，同理求出BF和CF的长度，求出答案即可。
四、综合题
17．（2021·上海）已知在 中， ， ， 为 边上的中线．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1）∵ ，
∴
∴AB=10
∴ = ；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵ 为 边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG= 3
CG=
∴在Rt△BFG中， = ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 利用 可求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）过点F作FG⊥BD，由AC⊥BD可得FG∥AC，可得FG是△ACD的中位线，从而可得FG= 3，CG= ，在Rt△BFG中，由 = 即可得出结论.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第24章 24.3 锐角三角形函数 同步练习
一、单选题
1．（2021·河西模拟） 的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·云岩模拟）如图， 的顶点位于正方形网格的格点上，若 ，则满足条件的 是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·玉州模拟）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·桂林）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·东营）如图，在 中， ， ， ，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即 米，在点E处看点D的仰角为64°，则 的长用三角函数表示为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·连云港）如图， 中， ， 、 相交于点D， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·白银模拟）如图①，AB＝5，射线AM BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ AB.设AP＝x，QD＝y.若y关于x的函数图象（如图②）经过点E（9，2），则cosB的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·崆峒模拟）计算2sin30°= .
10．（2021·湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，则sinB的值是
11．（2021九上·建德期末）tanA=1，则锐角∠A= .
12．（2021八下·罗湖期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点于E，且AP= ，∠BAC＝60°，有一点F在边AB上运动，当运动到某一位置时△FAP面积恰好是△EAP面积的2倍，则AF＝ ．
13．（2021·邳州模拟）如图，在 中， 是 边上的高， ， ， ，则 的长为 .
14．（2021·新疆）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将 按逆时针方向旋转得 ，连接EF，分別交BD，CD于点M，N.若 ，则 .
三、解答题
15．（2021·曾都模拟）先化简，再求值： ，其中 .
16．（2021·安徽）学生到工厂劳动实践，学习机械零件，零件的截面如图所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC为90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC=6cm，求零件的截面面积.
参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60.
四、综合题
17．（2021·上海）已知在 中， ， ， 为 边上的中线．
（1）求 的长；
（2）求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 ．
故答案为：A．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】A. ，故该选项不符合题意，
B. ，故该选项符合题意，
C. ，故该选项不符合题意，
D. ，故该选项不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据网格特点分别求出各选项中tanα的值，然后判断即可.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∴cosA＝ .
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由cosA＝计算即得 .
4．【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴ ，
故答案为：D
【分析】作PM⊥x轴于点M，根据勾股定理求出OP，然后根据正弦三角函数定义计算即可.
5．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由 ，得：
，
故答案为：D．
【分析】先由 ， ， 可运用角B的正切值得到，再将的表达式进行变形即可求解。
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠F=32°，∠DEC=64°，
∴∠EDF=∠DEC-∠F=64°-32°=32°=∠F，
∴DE=EF=15，
在Rt△DCE中，，
∴CD=.
故答案为：C.
【分析】根据三角形的外角性质求出∠EDF=32°=∠F，得出DE=EF=15，再根据锐角三角函数的定义得出，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点C作 的延长线于点 ，
与 是等高三角形，
设
，
故答案为：A.
【分析】过点C作 的延长线于点，根据等高三角形可，从而得出，证明，利用相似三角形的性质得出，从而求出AE、BE的长，求出∠CBE=30°，从而求出，设 ，可得，根据三角形的面积公式建立方程，求出x值即可.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∴AP=BQ=x，
由图②可得当x=9时，y=2，
此时点Q在点D下方Q'处，且BQ'=x=9时，y=2，如图①所示，
∴BD=BQ'-Q'D=x-y=7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴ ，AC⊥BD，
∴cosB= ，
故答案为：D.
【分析】易得四边形ABQP是平行四边形，故AP=BQ=x，由图②可得当x=9时，y=2，此时点Q在点D下方Q'处，由图①可得BD=BQ'-Q'D=x-y=7，由折叠性质可得BC的长度，根据锐角三角函数可得结果.
9．【答案】1
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】原式=2× =1.故答案为1.
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可.
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义可求出sinB的值.
11．【答案】45°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： 为锐角，
故答案为： 45°.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得结果.
12．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过点P作PH⊥AB于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，∠BAC=60°，
∴PE=PH，∠PAE=∠PAF=30°，
在Rt△PEA中，AE=AP·cos∠EAP=3，
∵△FAP的面积是△△EAP面积的2倍，PH=PE，
∴AF=2AE=6.
【分析】过点P作PH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得PE=PH，∠PAE=∠PAF=30°，在Rt△PEA中，可得AE=AP·cos∠EAP=3，由△FAP的面积是△△EAP面积的2倍且PH=PE，可得AF=2AE=6.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×AC AC 3，
∴AD 3 ，
在Rt△ADB中，BD ，
∴BC＝CD+BD＝ ，
故答案为： .
【分析】利用cosC 、AC＝6，计算出CD的长，再利用勾股定理计算出AD和BD的长，利用BC＝CD+BD即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1， .
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°.
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x.
∵AB∥DC，
∴ .
∴ .
∴ .
整理得， .
解得， ， （不合题意，舍去）.
∴ .
∴ .
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，
设DP=y，则 .
∵ ，
∴ .
解得， .
∴ .
∴在Rt△DEP中，
.即 .
故答案为：
【分析】根据旋转的性质，可设AE=CF=2x，DN=5x，证明，可得，据此求出x值即得AE、BE，利用勾股定理求出DE，过点E作EP⊥BD于点P，设DP=y，则 由 建立y方程，求出y值即得DP，利用勾股定理求出EP，在Rt△DEP中，由计算即得.
15．【答案】解：原式
，
当 时，
原式 .
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂得到a的值，继而将a的值代入计算可得.
16．【答案】解：∵∠BAD=53°；
∴∠EAB=37°；
∴∠EBA=53°；
∴AE=ABxsin∠EBA=10x0.8=8cm；
∴BE= cm；
∵∠ABC=90°；
∴∠CBF=37°；
∴∠BCF=53°；
∴BF=BCxsin∠BCF=6x0.8=4.8cm；
∴CF= 3.6cm；
=8x10.8- x8x6- x4.8x3.6
=53.76cm2
【知识点】矩形的性质；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据矩形的性质、特殊角的三角函数值求出AE和BE的长度，同理求出BF和CF的长度，求出答案即可。
17．【答案】（1）∵ ，
∴
∴AB=10
∴ = ；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵ 为 边上的中线．
∴F是AD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG= 3
CG=
∴在Rt△BFG中， = ．
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1） 利用 可求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）过点F作FG⊥BD，由AC⊥BD可得FG∥AC，可得FG是△ACD的中位线，从而可得FG= 3，CG= ，在Rt△BFG中，由 = 即可得出结论.
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