初中数学华师大版九年级上学期第24章 24.4 解直角三角形 同步练习

初中数学华师大版九年级上学期第24章 24.4 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021·长春模拟）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为（　　）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
2．（2021九上·邵阳期末）如图，某河堤迎水坡AB的坡比 ，堤高 ，则坡面AB的长是（　　）
A．5m B．10m C． m D．8m
3．（2021九上·崇左期末）关于直角三角形，下列说法正确的是（　　）
A．所有的直角三角形一定相似
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
4．（2020九上·路南期末）如图，从点 观测建筑物 的视角是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（　　）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
6．（2021·温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 .若 . ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
9．（2021·天桥模拟）小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角 已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（　　）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
A．13.6 B．18.1 C．17.3 D．16.8
二、填空题
10．（2021·永州模拟）小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为　 　度
11．（2021·南通模拟）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　 　m.（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.
12．（2021·绍兴模拟）如图，有一个小山坡 ，坡比 .已知小山坡的水平距离 ，则小山坡的高度 是　 　.
13．（2021·南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　 　海里（结果保留根号）.
14．（2021·娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形 表示一个“鱼骨”， 平行于车辆前行方向， ，过B作 的垂线，垂足为 （A点的视觉错觉点），若 ，则 　 　 .
15．（2021·荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， ， 可分别绕点A，B转动，测量知 ， .当 ， 转动到 ， 时，点C到 的距离为　 　cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
16．（2021·鹿城模拟）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶， cm， cm， cm，侧面如图1所示， 为隔板，等分上下两层.下方内桶 绕底部轴 旋转打开，若点 恰好能卡在原来点 的位置，则内桶边 的长度应设计为　 　cm；现将 调整为25cm，打开最大角度时，点 卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于　 　cm.
三、解答题
17．（2021·泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
18．（2021·娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 为 ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 ，取 ）
四、综合题
19．（2021·徐州）如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线 ，垂足为点 为 与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 .
参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 .后排光伏板的前端 在 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的最小值为多少（结果取整数）？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∴BC=.
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的定义得出，得出BC=，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ m，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用，求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为 ，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
【分析】A、 所有的直角三角形只有一个直角，不能判定相似；
B、直角三角形中最长的边是斜边，所以4也可以是斜边；
C、解直角三角形至少有一条边，所以已知直角三角形两个元素（直角除外），这个直角三角形不一定可解；
D、根据题意结合勾股定理可知：已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，直角三角形的三边之比一定确定.
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图所示，根据视角的定义，建筑物 两端发出的光线在眼球内交叉的角为 ，
故答案为：A．
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵在 中， ，
∴
在 中， ，
故答案为：A.
【分析】在 中，利用正弦三角函数定义求出OB，然后在 中，根据勾股定理求OC2即可.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
9．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
由题意可知：
∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，
∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD，DE=AB=4.5米，
设CE=x米，则CD=BC+BD=（x+4.5）米，
在Rt△CEB中，BE= =x米，
在Rt△ADC中，CD=AD tan53°，
即x+4.5=x tan53°，
∴x≈13.64，
∴CE=13.64（米），
∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1（米）．
答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．
故答案为：B．
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，根据已知条件求出BE=AD，设CE=x，则，CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x的值，即可得出CD的值。
10．【答案】30
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得坡角的正弦值为：
则斜坡的坡角的度数为30°.
故答案为：30.
【分析】利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得到斜坡的坡角的度数.
11．【答案】1.1
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴在直角 中，sinA＝ ，
则BC＝AB sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6，
＝1.101≈1.1（m），
故答案为：1.1.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.
12．【答案】45m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡比 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：45m.
【分析】根据坡比i=可求解.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴ 海里， 海里，
在Rt△PCB中，PC= 海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC= 海里，
∴ 海里，
故答案为： .
【分析】如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，求出∠APC=90°-60°=30°，可得 海里，由勾股定理求出PC=海里，由于△PCB为等腰直角三角形，可得PC=BC= 海里，利用勾股定理求出PB即可.
14．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
∵ 且四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ mm.
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可求出，由于，即可求出结论.
15．【答案】6.3
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，则四边形CDGF是矩形，
∴CD=FG，
在直角△ABG中， ， ，
∴ （cm），∠ABG=30°，
∵ ，
∴∠CBF=20°，
∴∠BCF=70°，
在直角△BCF中， ，∠BCF=70°，
∴ （cm），
∴CD=FG= （cm），
即点C到 的距离为6.3cm；
故答案为：6.3.
【分析】作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，得出四边形CDGF是矩形，得出CD=FG，解直角△ABG，再根据已知条件求出∠BCF，解直角△BCF，求出BF，最后根据线段间的和差关系求出CD即可解答.
16．【答案】；21
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，连接CH，
∵点 恰好能卡在原来点 的位置，
∴CH=CG= AB=35(cm)，
∴BH= (cm)；
∠ =45 ，
由题意得 =BC=25 cm，
∴CH= (cm)，HG= (cm)，
∴∠ ∠ =45 ，
过 作 ⊥CH于I，交CG于J，过J作 ⊥ 于K，
∵ (cm)，
∴CI= = (cm)，
∴ ， ，
∴ (cm)，
∴ (cm)，
，
∴ (cm)，
(cm)，
∴ ，
过H作HL⊥ 于L，过G作GM⊥ 于M，
∵∠JCK=∠GCL=∠GHM，
∴ ， ，
∴ (cm)，
∴ (cm)，
∴球体的直径不大于 cm
故答案为： ；21.
【分析】（1）连接CH，由旋转的性质可得CH=CG，由勾股定理可得BH的长度；
（2）由“ 现将BH调整为25cm”可得△B'CH为等腰直角三角形，由勾股定理可得CG的长度，即得HG的长度，过G'作G'I⊥CH于I，交CG于J，过J作JK⊥CG' 于K，解直角三角形得 ，过H作HL⊥ 于L，过G作GM⊥ 于M，由∠JCK=∠GCL=∠GHM，可解直角三角形即可得HM的长度，故可得ML的长度，即为球体的最大直径.
17．【答案】解：过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示
在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m
则BF= (m)
∴CF=BC+BF=30+25=55(m)
在Rt△DCE中，∠DCE ，CD=180m
∴ (m)
∵四边形CFGE是矩形
∴EG=CF
∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)
即山顶D的高度为114m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，在Rt△BAF中，可求出BF= (m)， 从而可得CF=BC+BF=55m，在Rt△DCE中 ，可求出DE=CDsin∠DCE≈
59m， 由矩形的性质可得EG=CF ， 利用DG=DE+EG=DE+CF即可求出结论.
18．【答案】解：根据在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米知；
在 中， ，
(千米)，
，
又由在P处测得B点的仰角 为 ，
为等腰直角三角形，
，
（千米），
天舟二号从A处到B处的平均速度为： ，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度为 .
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得出 (千米)，由勾股定理求出DP的长，求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP，由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程÷时间=平均速度计算即得结论.
19．【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为 。
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由求出AF， 在Rt△AEF中，由求出AE即可；
（2） 设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG， 由AG=AF+FG求出AG， 由求出AN， 在Rt△ANM中，由求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得结论.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第24章 24.4 解直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021·长春模拟）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为（　　）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴，
∴BC=.
故答案为：B.
【分析】根据锐角三角函数的定义得出，得出BC=，即可得出答案.
2．（2021九上·邵阳期末）如图，某河堤迎水坡AB的坡比 ，堤高 ，则坡面AB的长是（　　）
A．5m B．10m C． m D．8m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ m，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】利用，求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可.
3．（2021九上·崇左期末）关于直角三角形，下列说法正确的是（　　）
A．所有的直角三角形一定相似
B．如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5
C．如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解
D．如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】∵因为等腰直角三角形和一般直角三角形是不相似的，
∴选项A错误；
若斜边长为4，则第三边长为 ，
∴选项B错误；
已知两个角分别为45°，45°，这个直角三角形是无法求解的，
缺少解直角三角形需要的边元素，
∴选项C错误；
∵已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，
∴就能确定斜边与直角边的比或两直角边的比，
根据勾股定理可以确定第三边的量比，
∴直角三角形的三边之比一定确定，
故答案为：D.
【分析】A、 所有的直角三角形只有一个直角，不能判定相似；
B、直角三角形中最长的边是斜边，所以4也可以是斜边；
C、解直角三角形至少有一条边，所以已知直角三角形两个元素（直角除外），这个直角三角形不一定可解；
D、根据题意结合勾股定理可知：已知直角三角形的一个锐角的三角函数值，直角三角形的三边之比一定确定.
4．（2020九上·路南期末）如图，从点 观测建筑物 的视角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】如图所示，根据视角的定义，建筑物 两端发出的光线在眼球内交叉的角为 ，
故答案为：A．
【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断．
5．（2021·衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 ，大厅两层之间的距离 为6米，则自动扶梯 的长约为（ ）（　　）.
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得：
∵ 米
∴ 米
故答案为：D.
【分析】由求出AB即可.
6．（2021·温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 .若 . ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】∵在 中， ，
∴
在 中， ，
故答案为：A.
【分析】在 中，利用正弦三角函数定义求出OB，然后在 中，根据勾股定理求OC2即可.
7．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
8．（2021·随县）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 处，底端落在水平地面的点 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 ，已知 ，则梯子顶端上升了（　　）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示标记字母，
根据题意得AB=CE=10米，
∵sinβ ，
在Rt△ECD中，sin ，
∴CD= ，
在Rt△ABD中，sin ，
∴ ，
∴AC=CD-AD=8-6=2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件可得到AB，CE的长；利用同角三角函数，可求出sinβ的值；在Rt△ECD中，利用解直角三角形求出CD的长，再求出AD的长；然后根据AC=CD-AD，可求出AC的长.
9．（2021·天桥模拟）小明使用测角仪在甲楼底端A处测得熊猫C处的仰角为53°，在甲楼B处测得熊猫C处的仰角 已知AB＝4.5米，则熊猫C处距离地面AD的高度为（　　）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
A．13.6 B．18.1 C．17.3 D．16.8
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
由题意可知：
∵∠CBE=45°，∠CAD=53°，AB=4.5米，
∵∠ABE=∠BED=∠ADE=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD，DE=AB=4.5米，
设CE=x米，则CD=BC+BD=（x+4.5）米，
在Rt△CEB中，BE= =x米，
在Rt△ADC中，CD=AD tan53°，
即x+4.5=x tan53°，
∴x≈13.64，
∴CE=13.64（米），
∴CD=CE+DE=13.64+4.5=18.14≈18.1（米）．
答：熊猫C处距离地面AD的高度为18.1米．
故答案为：B．
【分析】过点B作BE⊥CD于点E，根据已知条件求出BE=AD，设CE=x，则，CD=BC+BD=x+4.5，根据锐角三角函数求出x的值，即可得出CD的值。
二、填空题
10．（2021·永州模拟）小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为　 　度
【答案】30
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由题意得坡角的正弦值为：
则斜坡的坡角的度数为30°.
故答案为：30.
【分析】利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可得到斜坡的坡角的度数.
11．（2021·南通模拟）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是　 　m.（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.
【答案】1.1
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴在直角 中，sinA＝ ，
则BC＝AB sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6，
＝1.101≈1.1（m），
故答案为：1.1.
【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.
12．（2021·绍兴模拟）如图，有一个小山坡 ，坡比 .已知小山坡的水平距离 ，则小山坡的高度 是　 　.
【答案】45m
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡比 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为：45m.
【分析】根据坡比i=可求解.
13．（2021·南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　 　海里（结果保留根号）.
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，
∴ 海里， 海里，
在Rt△PCB中，PC= 海里，∠BPC=90°-45°=45°，
∴PC=BC= 海里，
∴ 海里，
故答案为： .
【分析】如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，求出∠APC=90°-60°=30°，可得 海里，由勾股定理求出PC=海里，由于△PCB为等腰直角三角形，可得PC=BC= 海里，利用勾股定理求出PB即可.
14．（2021·娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形 表示一个“鱼骨”， 平行于车辆前行方向， ，过B作 的垂线，垂足为 （A点的视觉错觉点），若 ，则 　 　 .
【答案】15
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
∵ 且四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ mm.
故答案为：15.
【分析】根据平行四边形的性质，可求出，由于，即可求出结论.
15．（2021·荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图， ， 可分别绕点A，B转动，测量知 ， .当 ， 转动到 ， 时，点C到 的距离为　 　cm.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
【答案】6.3
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，则四边形CDGF是矩形，
∴CD=FG，
在直角△ABG中， ， ，
∴ （cm），∠ABG=30°，
∵ ，
∴∠CBF=20°，
∴∠BCF=70°，
在直角△BCF中， ，∠BCF=70°，
∴ （cm），
∴CD=FG= （cm），
即点C到 的距离为6.3cm；
故答案为：6.3.
【分析】作CD⊥AE于点D，作BG⊥AE于点G，作CF⊥BG于点F，得出四边形CDGF是矩形，得出CD=FG，解直角△ABG，再根据已知条件求出∠BCF，解直角△BCF，求出BF，最后根据线段间的和差关系求出CD即可解答.
16．（2021·鹿城模拟）某厂家设计一种双层长方体垃圾桶， cm， cm， cm，侧面如图1所示， 为隔板，等分上下两层.下方内桶 绕底部轴 旋转打开，若点 恰好能卡在原来点 的位置，则内桶边 的长度应设计为　 　cm；现将 调整为25cm，打开最大角度时，点 卡在隔板上，如图2所示，可完全放入下方内桶的球体的直径不大于　 　cm.
【答案】；21
【知识点】勾股定理；解直角三角形的应用；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图1，连接CH，
∵点 恰好能卡在原来点 的位置，
∴CH=CG= AB=35(cm)，
∴BH= (cm)；
∠ =45 ，
由题意得 =BC=25 cm，
∴CH= (cm)，HG= (cm)，
∴∠ ∠ =45 ，
过 作 ⊥CH于I，交CG于J，过J作 ⊥ 于K，
∵ (cm)，
∴CI= = (cm)，
∴ ， ，
∴ (cm)，
∴ (cm)，
，
∴ (cm)，
(cm)，
∴ ，
过H作HL⊥ 于L，过G作GM⊥ 于M，
∵∠JCK=∠GCL=∠GHM，
∴ ， ，
∴ (cm)，
∴ (cm)，
∴球体的直径不大于 cm
故答案为： ；21.
【分析】（1）连接CH，由旋转的性质可得CH=CG，由勾股定理可得BH的长度；
（2）由“ 现将BH调整为25cm”可得△B'CH为等腰直角三角形，由勾股定理可得CG的长度，即得HG的长度，过G'作G'I⊥CH于I，交CG于J，过J作JK⊥CG' 于K，解直角三角形得 ，过H作HL⊥ 于L，过G作GM⊥ 于M，由∠JCK=∠GCL=∠GHM，可解直角三角形即可得HM的长度，故可得ML的长度，即为球体的最大直径.
三、解答题
17．（2021·泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）
【答案】解：过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示
在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m
则BF= (m)
∴CF=BC+BF=30+25=55(m)
在Rt△DCE中，∠DCE ，CD=180m
∴ (m)
∵四边形CFGE是矩形
∴EG=CF
∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m)
即山顶D的高度为114m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，在Rt△BAF中，可求出BF= (m)， 从而可得CF=BC+BF=55m，在Rt△DCE中 ，可求出DE=CDsin∠DCE≈
59m， 由矩形的性质可得EG=CF ， 利用DG=DE+EG=DE+CF即可求出结论.
18．（2021·娄底）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心.当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升75秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角 为 ，求天舟二号从A处到B处的平均速度.（结果精确到 ，取 ）
【答案】解：根据在P处测得A点的仰角 为 且A与P两点的距离为6千米知；
在 中， ，
(千米)，
，
又由在P处测得B点的仰角 为 ，
为等腰直角三角形，
，
（千米），
天舟二号从A处到B处的平均速度为： ，
答：天舟二号从A处到B处的平均速度为 .
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用含30°角的直角三角形的性质得出 (千米)，由勾股定理求出DP的长，求出△BDP为等腰直角三角形，可得BD=DP，由AB=BD-AD可求出AB的长，由路程÷时间=平均速度计算即得结论.
四、综合题
19．（2021·徐州）如图，斜坡 的坡角 ，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点 ，过其另一端 安装支架 ， 所在的直线垂直于水平线 ，垂足为点 为 与 的交点.已知 ，前排光伏板的坡角 .
参考数据：
三角函数锐角 13° 28° 32°
0.22 0.47 0.53
0.97 0.88 0.85
0.23 0.53 0.62
（1）求 的长（结果取整数）；
（2）冬至日正午，经过点 的太阳光线与 所成的角 .后排光伏板的前端 在 上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则 的最小值为多少（结果取整数）？
【答案】（1）解：在Rt△ADF中，
∴
=
=
=88cm
在Rt△AEF中，
∴
（2）解：设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，如图，
则
∴
在Rt△ADF中，
在Rt△DFG中，
∴
∴AG=AF+FG=88+75.8=
∵AN⊥GD
∴∠ANG=90°
∴
在Rt△ANM中，
∴
∴
∴ 的最小值为 。
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△ADF中，由求出AF， 在Rt△AEF中，由求出AE即可；
（2） 设DG交AB一直在点M，作AN⊥GD延长线于点N，由三角形外角的性质可得=45°，利用解直角三角形分别求出DF、FG， 由AG=AF+FG求出AG， 由求出AN， 在Rt△ANM中，由求出AM，利用EM=AM-AE求出EM即得结论.
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