初中数学华师大版九年级上学期第24章 解直角三角形 单元测试

初中数学华师大版九年级上学期第24章 解直角三角形 单元测试
一、单选题
1．（2021七下·罗湖期末）下列各组数据是线段的长度，其中，能构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，3cm，6cm
2．（2021八上·民勤期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
3．（2021·青白江模拟）如图，在 中， ，则 （　　）
A． B． C． D．
4．（2021八下·鄞州期末）矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=v3，则对角线AC的长是（　　）
A．3 B．2 C．3 D．6
5．（2021·南关模拟）如图，在 中， 按以下步骤作图：分别以点 和 为圆心，大于 的边长为半径作圆弧，两弧相交于点 和 ；作直线 交 于点 ，连结 ．若 ，则 的长可能是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021·宜昌）如图， 的顶点是正方形网格的格点，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 .据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·金华）如图是一架人字梯，已知 米，AC与地面BC的夹角为 ，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
9．（2021·婺城模拟）如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（　　）
A． B．75sin80° C． D．
10．（2021·黄冈模拟）如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，使点 的对应点 落在 上， 交 于点 ，在 上取点 ，使 .若 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·北京模拟）如图所示的正方形网格中有 ，则 的值为　 　．
12．（2021·大冶模拟）如图，测高仪CD距建筑物底部5m，在测高仪D处观测建筑物顶端的仰角为50°，测高仪高度为1.5m，则建筑物AB的高度为　 　m.（精确到0.1m，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
13．（2021九上·泉州期末）将一副直角三角尺按如图所示放置， ， ， ，则 的长为　 　.
14．（2021·无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为　 　米.
15．（2021·仙桃）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为 ，从A处沿水平方向飞行至B处需 ，同时在地面C处分别测得A处的仰角为 ，B处的仰角为 .则这架无人机的飞行高度大约是　 　 （ ，结果保留整数）
16．（2021·广安）如图，将三角形纸片 折叠，使点 、 都与点 重合，折痕分别为 、 .已知 ， ， ，则 的长为　 　.
17．（2021·重庆模拟）如图，在 中， .点D为 边上一点，将 沿 翻折得到 交 于点E.已知 平分 ，则 　 　.
三、解答题
18．（2021八下·增城期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，求BC的长
19．（2021·湘西）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
20．（2021八下·番禺期末）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图为一个水平放置的千斤顶，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即 、 之间的距离）．若 ，当 从 变为 时，千斤顶升高了多少？（ ， ，结果保留整数）
四、作图题
21．（2020九上·德惠期末）按要求作图（必须用直尺连线）：
（1）在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△DEC，使△DEC与△ABC位似，且△DEC与△ABC的位似比为2：1，
（2）在图②中找到一个格点C，使∠ACB是锐角，且tan∠ACB＝1，并画出△ACB．
五、综合题
22．（2021·盐城）某种落地灯如图1所示， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可绕点 旋转，其中 长为 ； 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度.支杆 与悬杆 之间的夹角 为 .
（1）如图2，当支杆 与地面垂直，且 的长为 时，求灯泡悬挂点 距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，同时调节 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 到地面的距离为 ，求 的长.（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ）
23．（2021·丰润模拟）如图，在△ABC中，AB= ，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、1+2=3，故不能构成三角形，此项不符合题意；
B、2+3=5，故不能构成三角形，此项不符合题意；
C、3+4＞5，故能构成三角形，此项符合题意；
D、3+3=6，故不能构成三角形，此项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形中任意两边之和大于第三边，据此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
由题可知： ， ，
∴ ，
∴ 米；
故答案为：D.
【分析】由直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半得出AB的长，进而根据AB+AC即可算出树的高度.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△EFG中，∠F=90°，
∵GF=5，GE=13，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由勾股定理可得，可得EF的长度，根据正切函数可得可得结果.
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB，
∴∠OCB=∠AOB=30°，
∴AC=2AB=2，
故答案为：B.
【分析】根据题意作图，然后由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，然后由三角形的外角的性质推出∠OCB=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴CD+BD=DA+DB=AB=5，
∵BC＜CD+DB，
∴BC＜5．
故答案为：D．
【分析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，根据三角形三边关系得到BC＜CD+DB，再对各项进行判断即可。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，
由图可知：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中， ，
∴ = ，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数的定义求出cos∠ABC的值.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】
，
.
故答案为：D.
【分析】利用即可求出AB.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质可证得BD=CD，再利用解直角三角形，可表示出DC的长；然后根据BC=2DC，可得到BC的长.
9．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵E、G是AB的三等分点，
∴AE=EG=GB=，
∴AE：EG：GB=1：1：1，
∵ AC∥EF∥GH，
∴，
∴CF=FH，
过E点作ME⊥GH于M，
∵EF∥GH，
∴EM即为EF与GH之间的距离，
在Rt△EMG中，
sin∠EGM=，
∵∠EGM=∠EGH=80°，
且EF与GH之间的距离为25cm，
∴EM=25cm，
∴sin∠EGM=sin80°=，
∴EG==（cm），
∵EG=AB，
∴AB=3EG=3×=（cm），
故答案为：C.
【分析】 利用E、G是AB的三等分点，可得到AE：EG：GB=1：1：1，利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH，过E点作ME⊥GH于M，可推出EM即为EF与GH之间的距离；在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=，根据EF与GH之间的距离可得到EM的长，利用解直角三角形可求出EG的长；然后根据AB=3EG，可求出AB的长.
10．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AF，过A作AM⊥BF，
∵在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，
∵AB=AB′，
∴△AB′B为等边三角形，
∴BB'=AB'=AB，
∵AB=B′F，
∴AB'=BB'=B'F，
∵∠AB′F=∠ABC=90°，
∴∠AFB′=45°，∠BB'F=90°+60°=150°，
∴∠BFB'=∠FBB'=15°，
∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，
∴在Rt△AMF中，AM=BM=AB cos∠ABM= ，
MF= ，
∴BF= ，
故答案为：A.
【分析】连接AF，过A作AM⊥BF，易得∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，推出△AB′B为等边三角形，由等边三角形的性质以及已知条件可得AB'=BB'=B'F，然后求出∠AFB′、∠BB'F、∠BFB'、∠AFM、∠ABF的度数，由三角函数的概念求得AM、MF的值，进而求得BF的值.
11．【答案】1
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，在 中， ．
故答案为：1．
【分析】构造直接三角形，再利用正切的定义求解即可。
12．【答案】7.5
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝ ，
∴AE＝tan∠ADE DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE＋BE＝5.95＋1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5.
【分析】点D作DE⊥AB，构造直角三角形，所以四边形BCDE是矩形，DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m.在Rt△ADE中，根据∠ADE=50°，利用三角函数，可以求得AE=5.95米，所以AB＝AE＋BE＝5.95＋1.5≈7.5米.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ，
在 中，
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出BD的长.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x= ，
故答案为： .
【分析】设BC=x，则AB=7x，根据勾股定理建立方程，求出x值即可.
15．【答案】20
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作水平线的垂线，垂足为点 ，
由题意得： ， ，
，
在 中， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
即这架无人机的飞行高度大约是 ，
故答案为：20.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，由题意得：AB=30m，∠ACE=75°，∠BCE=30°，AB∥CE，据此可求得∠ACB、∠ABC的度数，然后分别在Rt△ABD、Rt△ACD中，求解可得AD、BD、CD的值，进而求得BC的值，最后在Rt△BCE中进行求解即可.
16．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，
∴∠AFE=30°，又AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°，
∴∠BAE=60°，
∵DE= ，
∴AE=BE=AB= =2，
∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，
∴FC=AF= = ，
∴BC=BF+FC= ，
故答案为： .
【分析】由折叠的性质得出BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，得出∠AFE＝30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠AFE＝30°，证出△ABE是等边三角形，求得∠BAE的度数，求出AE＝BE的值，易求得∠BAF＝90°，利用勾股定理求出AF，即CF，由线段的构成BC=BF+FC可求解．
17．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过B′作B′F∥AD，交AC的延长线于F，
∴∠F=∠DAC，又∠AED=∠FEB′，
∴△ADE∽△FB′E，
∴ ，
∵AC平分∠DAB′，
∴∠DAC=∠B′AF，
∴∠F=∠B′AF，
∴B′F=AB′，
又∵△AB′D由△ABD翻折得到，
∴AB=AB′，∠BAD=∠DAB′，
∴B′F=AB，
∴ ，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，
过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AG=x，
∵∠BAD=60°，
∴AD=2x，DG= x，
在△ABC中， ，
∴BC= ，
在△BDG中，tan∠B= ，
∴BG= DG= x，
∴AB=AG+BG= x= ，
∴x= ，
∴AD=2x= ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】过B′作B′F∥AD，交AC的延长线于F，过点D作DG⊥AB，垂足为G，证明△ADE∽△FB′E，得到 ，证明B′F=AB，推出 ，设AG=x，利用勾股定理和正切的定义得到BG，根据AB= 求出x值，代入比例式得到结果.
18．【答案】解：
方法一：
∵ ∠B=90°，∠C=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8
∴BC=
方法二：
∵ ∠B=90°，∠C=30°，AB=4，
sinC==
∴AB=8
cosC=
∴BC=
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理或三角函数的计算，有两种方法解决：
①在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半，计算出斜边AC，然后利用勾股定理再求BC ；
②利用三角函数的定义与30°角的正弦、余弦值结合进行计算。
19．【答案】解：由题意得： ，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有 m，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得CH=BH，设CH=BH=xm，则有 m，由 列出方程，求出x值即可.
20．【答案】解：连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO．
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形．
∴AC=AD=AB=40；
当∠ADC=120°时，∠ADO=60°，
则∠DAO=30°，
∴OD= AD=20，
∴AO= ，
∴AC=40 ，
因此增加的高度为40 -40=40×（ -1）≈29（cm）．
答：千斤顶升高了多少29cm．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先求出 AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO ，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
21．【答案】（1）解：如图①所示，△DEC即为所求；
（2）解：如图②所示，C点和△ACB即为所求．
【知识点】作图﹣位似变换；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质及网格特点，分别作出A、B以点C为位似中心，△DEC与△ABC的位似比为2：1的对应点D、E，然后顺次连接即可；
（2）利用网格特点作出∠ACB=45°即可.
22．【答案】（1）解：过点 作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
答：点 距离地面113厘米；
（2）解：过点 作 垂直于地面于点 ，
过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵ ，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴ ，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
答： 长为58厘米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点作交 于 ，利用求出FC， 根据FA=AB+BC-CF计算即得结论；
（2）过点 作 垂直于地面于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，由求出CN，根据线段的和差求出CG、MN、CM，由即可求出结论.
23．【答案】（1）解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中， = =4.
（2）解：①如图2，
∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，
由（1）可知：在Rt△ADC中， .
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AF＝ ,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝ ＝ .
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC= ，证明△AEF∽△ACB，推出 ，由此求出AF即可解决问题．
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第24章 解直角三角形 单元测试
一、单选题
1．（2021七下·罗湖期末）下列各组数据是线段的长度，其中，能构成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，5cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，3cm，6cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、1+2=3，故不能构成三角形，此项不符合题意；
B、2+3=5，故不能构成三角形，此项不符合题意；
C、3+4＞5，故能构成三角形，此项符合题意；
D、3+3=6，故不能构成三角形，此项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形中任意两边之和大于第三边，据此判断即可.
2．（2021八上·民勤期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
由题可知： ， ，
∴ ，
∴ 米；
故答案为：D.
【分析】由直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半得出AB的长，进而根据AB+AC即可算出树的高度.
3．（2021·青白江模拟）如图，在 中， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△EFG中，∠F=90°，
∵GF=5，GE=13，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由勾股定理可得，可得EF的长度，根据正切函数可得可得结果.
4．（2021八下·鄞州期末）矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=v3，则对角线AC的长是（　　）
A．3 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB，
∴∠OCB=∠AOB=30°，
∴AC=2AB=2，
故答案为：B.
【分析】根据题意作图，然后由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，然后由三角形的外角的性质推出∠OCB=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可.
5．（2021·南关模拟）如图，在 中， 按以下步骤作图：分别以点 和 为圆心，大于 的边长为半径作圆弧，两弧相交于点 和 ；作直线 交 于点 ，连结 ．若 ，则 的长可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴CD+BD=DA+DB=AB=5，
∵BC＜CD+DB，
∴BC＜5．
故答案为：D．
【分析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，根据三角形三边关系得到BC＜CD+DB，再对各项进行判断即可。
6．（2021·宜昌）如图， 的顶点是正方形网格的格点，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作AD⊥BC于D，
由图可知：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中， ，
∴ = ，
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数的定义求出cos∠ABC的值.
7．（2021·福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得 .据此，可求得学校与工厂之间的距离 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】
，
.
故答案为：D.
【分析】利用即可求出AB.
8．（2021·金华）如图是一架人字梯，已知 米，AC与地面BC的夹角为 ，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作 ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质可证得BD=CD，再利用解直角三角形，可表示出DC的长；然后根据BC=2DC，可得到BC的长.
9．（2021·婺城模拟）如图是一张高脚木凳，AC∥EF∥GH，AB=CD，点E，G是AB的三等分点，已知EF与GH之间的距离为25cm，∠EGH=80°，则椅脚AB的长度为 cm（　　）
A． B．75sin80° C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵E、G是AB的三等分点，
∴AE=EG=GB=，
∴AE：EG：GB=1：1：1，
∵ AC∥EF∥GH，
∴，
∴CF=FH，
过E点作ME⊥GH于M，
∵EF∥GH，
∴EM即为EF与GH之间的距离，
在Rt△EMG中，
sin∠EGM=，
∵∠EGM=∠EGH=80°，
且EF与GH之间的距离为25cm，
∴EM=25cm，
∴sin∠EGM=sin80°=，
∴EG==（cm），
∵EG=AB，
∴AB=3EG=3×=（cm），
故答案为：C.
【分析】 利用E、G是AB的三等分点，可得到AE：EG：GB=1：1：1，利用平行线分线等成比列定理可证得CF=FH，过E点作ME⊥GH于M，可推出EM即为EF与GH之间的距离；在Rt△EMG中，利用锐角三角函数的定义可证得sin∠EGM=，根据EF与GH之间的距离可得到EM的长，利用解直角三角形可求出EG的长；然后根据AB=3EG，可求出AB的长.
10．（2021·黄冈模拟）如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 旋转得到矩形 ，使点 的对应点 落在 上， 交 于点 ，在 上取点 ，使 .若 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AF，过A作AM⊥BF，
∵在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，
∵AB=AB′，
∴△AB′B为等边三角形，
∴BB'=AB'=AB，
∵AB=B′F，
∴AB'=BB'=B'F，
∵∠AB′F=∠ABC=90°，
∴∠AFB′=45°，∠BB'F=90°+60°=150°，
∴∠BFB'=∠FBB'=15°，
∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，
∴在Rt△AMF中，AM=BM=AB cos∠ABM= ，
MF= ，
∴BF= ，
故答案为：A.
【分析】连接AF，过A作AM⊥BF，易得∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，推出△AB′B为等边三角形，由等边三角形的性质以及已知条件可得AB'=BB'=B'F，然后求出∠AFB′、∠BB'F、∠BFB'、∠AFM、∠ABF的度数，由三角函数的概念求得AM、MF的值，进而求得BF的值.
二、填空题
11．（2021·北京模拟）如图所示的正方形网格中有 ，则 的值为　 　．
【答案】1
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，在 中， ．
故答案为：1．
【分析】构造直接三角形，再利用正切的定义求解即可。
12．（2021·大冶模拟）如图，测高仪CD距建筑物底部5m，在测高仪D处观测建筑物顶端的仰角为50°，测高仪高度为1.5m，则建筑物AB的高度为　 　m.（精确到0.1m，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】7.5
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
则DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，
在Rt△ADE中，
∵tan∠ADE＝ ，
∴AE＝tan∠ADE DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE＋BE＝5.95＋1.5≈7.5（米），
故答案为：7.5.
【分析】点D作DE⊥AB，构造直角三角形，所以四边形BCDE是矩形，DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m.在Rt△ADE中，根据∠ADE=50°，利用三角函数，可以求得AE=5.95米，所以AB＝AE＋BE＝5.95＋1.5≈7.5米.
13．（2021九上·泉州期末）将一副直角三角尺按如图所示放置， ， ， ，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在 中， ，
在 中，
故答案为： .
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出BC的长；再在Rt△CBD中，利用解直角三角形求出BD的长.
14．（2021·无锡）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为　 　米.
【答案】
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
设BC=x，则AB=7x，
由题意得： ，解得：x= ，
故答案为： .
【分析】设BC=x，则AB=7x，根据勾股定理建立方程，求出x值即可.
15．（2021·仙桃）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为 ，从A处沿水平方向飞行至B处需 ，同时在地面C处分别测得A处的仰角为 ，B处的仰角为 .则这架无人机的飞行高度大约是　 　 （ ，结果保留整数）
【答案】20
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作水平线的垂线，垂足为点 ，
由题意得： ， ，
，
在 中， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
即这架无人机的飞行高度大约是 ，
故答案为：20.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，由题意得：AB=30m，∠ACE=75°，∠BCE=30°，AB∥CE，据此可求得∠ACB、∠ABC的度数，然后分别在Rt△ABD、Rt△ACD中，求解可得AD、BD、CD的值，进而求得BC的值，最后在Rt△BCE中进行求解即可.
16．（2021·广安）如图，将三角形纸片 折叠，使点 、 都与点 重合，折痕分别为 、 .已知 ， ， ，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，
∴∠AFE=30°，又AE=EF，
∴∠EAF=∠AFE=30°，
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°，
∴∠BAE=60°，
∵DE= ，
∴AE=BE=AB= =2，
∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，
∴FC=AF= = ，
∴BC=BF+FC= ，
故答案为： .
【分析】由折叠的性质得出BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，得出∠AFE＝30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠AFE＝30°，证出△ABE是等边三角形，求得∠BAE的度数，求出AE＝BE的值，易求得∠BAF＝90°，利用勾股定理求出AF，即CF，由线段的构成BC=BF+FC可求解．
17．（2021·重庆模拟）如图，在 中， .点D为 边上一点，将 沿 翻折得到 交 于点E.已知 平分 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过B′作B′F∥AD，交AC的延长线于F，
∴∠F=∠DAC，又∠AED=∠FEB′，
∴△ADE∽△FB′E，
∴ ，
∵AC平分∠DAB′，
∴∠DAC=∠B′AF，
∴∠F=∠B′AF，
∴B′F=AB′，
又∵△AB′D由△ABD翻折得到，
∴AB=AB′，∠BAD=∠DAB′，
∴B′F=AB，
∴ ，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=60°，∠DAC=30°，
过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AG=x，
∵∠BAD=60°，
∴AD=2x，DG= x，
在△ABC中， ，
∴BC= ，
在△BDG中，tan∠B= ，
∴BG= DG= x，
∴AB=AG+BG= x= ，
∴x= ，
∴AD=2x= ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】过B′作B′F∥AD，交AC的延长线于F，过点D作DG⊥AB，垂足为G，证明△ADE∽△FB′E，得到 ，证明B′F=AB，推出 ，设AG=x，利用勾股定理和正切的定义得到BG，根据AB= 求出x值，代入比例式得到结果.
三、解答题
18．（2021八下·增城期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，求BC的长
【答案】解：
方法一：
∵ ∠B=90°，∠C=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8
∴BC=
方法二：
∵ ∠B=90°，∠C=30°，AB=4，
sinC==
∴AB=8
cosC=
∴BC=
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质、勾股定理或三角函数的计算，有两种方法解决：
①在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半，计算出斜边AC，然后利用勾股定理再求BC ；
②利用三角函数的定义与30°角的正弦、余弦值结合进行计算。
19．（2021·湘西）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
【答案】解：由题意得： ，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有 m，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得CH=BH，设CH=BH=xm，则有 m，由 列出方程，求出x值即可.
20．（2021八下·番禺期末）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图为一个水平放置的千斤顶，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即 、 之间的距离）．若 ，当 从 变为 时，千斤顶升高了多少？（ ， ，结果保留整数）
【答案】解：连接AC，与BD相交于点O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO．
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形．
∴AC=AD=AB=40；
当∠ADC=120°时，∠ADO=60°，
则∠DAO=30°，
∴OD= AD=20，
∴AO= ，
∴AC=40 ，
因此增加的高度为40 -40=40×（ -1）≈29（cm）．
答：千斤顶升高了多少29cm．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先求出 AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO ，再分类讨论，利用勾股定理计算求解即可。
四、作图题
21．（2020九上·德惠期末）按要求作图（必须用直尺连线）：
（1）在图①中以点C为位似中心，在网格中画出△DEC，使△DEC与△ABC位似，且△DEC与△ABC的位似比为2：1，
（2）在图②中找到一个格点C，使∠ACB是锐角，且tan∠ACB＝1，并画出△ACB．
【答案】（1）解：如图①所示，△DEC即为所求；
（2）解：如图②所示，C点和△ACB即为所求．
【知识点】作图﹣位似变换；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质及网格特点，分别作出A、B以点C为位似中心，△DEC与△ABC的位似比为2：1的对应点D、E，然后顺次连接即可；
（2）利用网格特点作出∠ACB=45°即可.
五、综合题
22．（2021·盐城）某种落地灯如图1所示， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可绕点 旋转，其中 长为 ； 为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度.支杆 与悬杆 之间的夹角 为 .
（1）如图2，当支杆 与地面垂直，且 的长为 时，求灯泡悬挂点 距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，同时调节 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 到地面的距离为 ，求 的长.（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】（1）解：过点 作 交 于 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
答：点 距离地面113厘米；
（2）解：过点 作 垂直于地面于点 ，
过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°，
∴四边形ABGN为矩形，
∴AB=GN=84(cm)，
∵ ，将支杆 绕点 顺时针旋转 ，
∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°，
∴ ，
，
，
∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
答： 长为58厘米.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过点作交 于 ，利用求出FC， 根据FA=AB+BC-CF计算即得结论；
（2）过点 作 垂直于地面于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，由求出CN，根据线段的和差求出CG、MN、CM，由即可求出结论.
23．（2021·丰润模拟）如图，在△ABC中，AB= ，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【答案】（1）解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中， = =4.
（2）解：①如图2，
∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，
由（1）可知：在Rt△ADC中， .
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AF＝ ,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝ ＝ .
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC= ，证明△AEF∽△ACB，推出 ，由此求出AF即可解决问题．
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