初中数学湘教版九年级上册2.2一元二次方程的解法 同步练习
一、单选题
1．（2020·深圳模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（ ）
A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1
2．（2021·绥宁模拟）一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．9
3．（2021·泸县模拟）已知关于 的方程 的一个根是-1，则 的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．（2021九上·扶风期末）一元二次方程x2-6x+5=0配方可变形为（ ）
A．(x-3)2=14 B．(x-3)2=4 C．(x+3)2=14 D．(x+3)2=4
5．（2021·临沂）方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
6．（人教版初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.1配方法 同步训练）把一元二次方程 化成 的形式，则 的值（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
二、填空题
7．（2021九下·大洼开学考）方程 的根为 ．
8．（2021九上·建平期末）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，配方后的方程可以是 .
9．（2021·广东）若一元二次方程 （b，c为常数）的两根 满足 ，则符合条件的一个方程为 ．
10．（2021·淄川模拟）用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程 ．
11．（2021·二道模拟）关于x的方程 有实数根，则a的取值范围为 ．
12．（华师大版数学九年级上册第22章一元二次方程22.2.3公式法 同步练习）如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 ．
三、计算题
13．（2021·齐齐哈尔）解方程： ．
14．（2021·北部湾模拟）解方程：x2-4x+2=0
15．（2021·武汉模拟）解方程：2x2﹣5x+1=0
四、解答题
16．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
17．（2021·建华模拟）解方程： ．
五、综合题
18．（2021九下·海淀月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
19．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C．
【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
2．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程x2﹣9＝0得a＝3，b＝﹣3，
所以2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9.
故答案为：D.
【分析】运用直接开平方法解方程得到a和b的值，然后计算2a﹣b的值.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入方程 ，得： ，
解得： .
故答案为：D.
【分析】将x=-1代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先将常数项5移到方程右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可.
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解——十字相乘法解方程即可.
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】易得 ，所以 ，即 =8.
【分析】此题考查根据配方法把一般式转化为直接开平方形．
7．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
，
，
或 ，
或 ，
即 ，
故答案为： ．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
8．【答案】（x﹣2）2＝7
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣4x﹣3＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7＝0
故答案为：（x﹣2）2＝7
【分析】根据配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
9．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】
解：∵方程的 两根 满足 ，
∴在范围内任选两个值，比如x1=-2，x2=2，
然后代入方程得
解得
所以方程可以写为x -4=0
【分析】考查一元二次方程的根，根据题目两个根的范围，任意选择合适的两个根，代入原方程求出系数的值，即可写出方程。
10．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设该方程为 ，
由 得： ，
则该方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴a-1≥0，
解得a≥1，
故答案为a≥1．
【分析】一元二次方程x2=P，当p≥0时，方程有实数根，据此解答即可.
12．【答案】-1＜a＜-
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】根据方程的求根公式可得：
x= ，
则方程的两根为-1或-2a-1，
∵-1＜0，∴小于1的正数根只能为-2a-1，
即0＜-2a-1＜1，
解得-1＜a＜- ．
所以答案为-1＜a＜- ．
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．
13．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
14．【答案】解：由方程可得：a=1，b=-4，c=2
x=
=
=2±
∴x1=2+ ，x2=2-
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用一元二次方程的求根公式x=，把a，b，c的值代入进行计算，即可求解.
15．【答案】解：∵2x2-5x=-1，
∴ ，
∴ ，即 ，
则 ，
∴x=
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可.
16．【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
17．【答案】解：原方程可化为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法求解一元二次方程即可。
18．【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝ ，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0的解为x＝1或x＝ ，
∵方程的根都为正整数，
∴ 为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论；
（2）由（1）的方程的解，即可得出结论．
19．【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
1 / 1初中数学湘教版九年级上册2.2一元二次方程的解法 同步练习
一、单选题
1．（2020·深圳模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（ ）
A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
故答案为：C．
【分析】先移项，再利用因式分解求解一元二次方程即可。
2．（2021·绥宁模拟）一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．9
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程x2﹣9＝0得a＝3，b＝﹣3，
所以2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9.
故答案为：D.
【分析】运用直接开平方法解方程得到a和b的值，然后计算2a﹣b的值.
3．（2021·泸县模拟）已知关于 的方程 的一个根是-1，则 的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入方程 ，得： ，
解得： .
故答案为：D.
【分析】将x=-1代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
4．（2021九上·扶风期末）一元二次方程x2-6x+5=0配方可变形为（ ）
A．(x-3)2=14 B．(x-3)2=4 C．(x+3)2=14 D．(x+3)2=4
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先将常数项5移到方程右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可.
5．（2021·临沂）方程 的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴x+7=0，x-8=0，
∴x1=-7，x2=8．
故答案为：C．
【分析】利用因式分解——十字相乘法解方程即可.
6．（人教版初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程21.2.1配方法 同步训练）把一元二次方程 化成 的形式，则 的值（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】易得 ，所以 ，即 =8.
【分析】此题考查根据配方法把一般式转化为直接开平方形．
二、填空题
7．（2021九下·大洼开学考）方程 的根为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
，
，
或 ，
或 ，
即 ，
故答案为： ．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
8．（2021九上·建平期末）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0，配方后的方程可以是 .
【答案】（x﹣2）2＝7
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2﹣4x﹣3＝（x2﹣4x+4）﹣4﹣3＝（x﹣2）2﹣7＝0
故答案为：（x﹣2）2＝7
【分析】根据配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
9．（2021·广东）若一元二次方程 （b，c为常数）的两根 满足 ，则符合条件的一个方程为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】
解：∵方程的 两根 满足 ，
∴在范围内任选两个值，比如x1=-2，x2=2，
然后代入方程得
解得
所以方程可以写为x -4=0
【分析】考查一元二次方程的根，根据题目两个根的范围，任意选择合适的两个根，代入原方程求出系数的值，即可写出方程。
10．（2021·淄川模拟）用公式法解一元二次方程，得y＝ ，请你写出该方程 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设该方程为 ，
由 得： ，
则该方程为 ，
故答案为： ．
【分析】根据公式法可得出a、b、c的值，由此即可得出答案。
11．（2021·二道模拟）关于x的方程 有实数根，则a的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴a-1≥0，
解得a≥1，
故答案为a≥1．
【分析】一元二次方程x2=P，当p≥0时，方程有实数根，据此解答即可.
12．（华师大版数学九年级上册第22章一元二次方程22.2.3公式法 同步练习）如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是 ．
【答案】-1＜a＜-
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】根据方程的求根公式可得：
x= ，
则方程的两根为-1或-2a-1，
∵-1＜0，∴小于1的正数根只能为-2a-1，
即0＜-2a-1＜1，
解得-1＜a＜- ．
所以答案为-1＜a＜- ．
【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于1的正数根”这一条件确定a的取值范围．
三、计算题
13．（2021·齐齐哈尔）解方程： ．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出 ， 再计算求解即可。
14．（2021·北部湾模拟）解方程：x2-4x+2=0
【答案】解：由方程可得：a=1，b=-4，c=2
x=
=
=2±
∴x1=2+ ，x2=2-
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用一元二次方程的求根公式x=，把a，b，c的值代入进行计算，即可求解.
15．（2021·武汉模拟）解方程：2x2﹣5x+1=0
【答案】解：∵2x2-5x=-1，
∴ ，
∴ ，即 ，
则 ，
∴x=
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】利用配方法解一元二次方程即可.
四、解答题
16．（2021·嘉兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：小敏：×，小霞：×；
移项：得3（x-3）-（x-3）2=0，
提取公因式，得(x-3)[3-(x-3)]=0，
法括号，得(x-3)(3-x+3)=0，
则x-3=0或6-x=0，
解得x1=3，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】小敏的错误在于：等式两边要同除以一个不为0的数；小霞的错误在于脱括号时未变号；先移项，再提取公因式，利用因式法解二元一次方程即可.
17．（2021·建华模拟）解方程： ．
【答案】解：原方程可化为： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法求解一元二次方程即可。
五、综合题
18．（2021九下·海淀月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0
（1）求证：无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）若此方程的根都为正整数，求整数m的值．
【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0，
∴（mx﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x＝1或x＝ ，
∴无论m为何值，x＝1都是该方程的一个根；
（2）解：由（1）知，一元二次方程mx2﹣（m＋3）x＋3＝0的解为x＝1或x＝ ，
∵方程的根都为正整数，
∴ 为正整数，
∴m＝1或m＝3．
即整数m的值为1或3．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论；
（2）由（1）的方程的解，即可得出结论．
19．（2021·石家庄模拟）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了不符合题意，解答过程如下：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）
∴ （第三步）
∴ ， （第四步）
（1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．
（2）写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）一；原方程没有化简为一般形式
（2）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其不符合题意原因是原方程没有化简为一般形式．
故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案。
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