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第二章
等式与不等式
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列变形错误的是（
）
A．如果，则
B．如果，则
C．如果，则
D．如果，则
【答案】B
【分析】
A．等式两边同时加上或减去一个相同数，等号保持不变，据此分析；
B．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；
C．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；
D．等式两边同时乘以一个数，等号保持不变，据此分析.
【详解】
A、，两边都加，得，故A正确；
B、时，两边都除以无意义，故B错误；
C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；
D、两边都乘以，故D正确；
故选：B．
2．已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于0，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
两个实数根的倒数和等于0，即两个实根的和为0，且实根不为0，结合韦达定理可得．注意方程有实解．
【详解】
由题意方程有两根且两根不为0，设为，则，所以，
，，
时，方程为，无实根，舍去，
时，方程为，满足题意．
故选：C．
3．在上定义运算，则满足的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
不等式可以化为，再解不等式得解.
【详解】
由题得不等式可以化为，
所以，
所以.
故选：A
4．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（
）
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－3【答案】C
【分析】
本题先根据一元二次方程的两根因式分解，再根据a<0求一元二次不等式的解集即可.
【详解】
解析：由二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，知不等式ax2＋bx＋c>0可化为a(x＋2)(x－3)>0，即(x＋2)(x－3)<0，方程(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，则不等式(x＋2)(x－3)<0的解集是{x|－2故选：C.
【点睛】
本题考查根据一元二次方程的根求对应一元二次不等式的解集，是基础题.
5．关于x的不等式的解集为，则的最小值是（
）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】
根据不等式的解集为，得到，然后代入，利用基本不等式求解.
【详解】
因为关于x的不等式的解集为，
所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是，
故选：B
6．若相异两实数x，y满足，则之值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】
根据已知条件求得，由此求得所求表达式的值.
【详解】
两式作差消元得：，反代回去得：
，同理可得：，由同构及韦达定理有：
继而有：
.
故选：D
7．已知，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由已知可分析出符号，再用基本不等式，然后放缩可得的符号.
【详解】
因为，，所以中两负一正，不妨设，
，，
，
故选:
B.
【点睛】
本题考查不等式的性质及基本不等式的运用，属于中档题.
8．在上定义运算，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由题可知原不等式等价于恒成立，利用即可求出.
【详解】
由定义可得，
则原不等式等价于恒成立，
即恒成立，
，解得，
故的最大值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】
利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于A：由可得，故选项A正确；
对于B：由可得，所以，故选项B不正确；
对于C：当时，由可得，故选项C不正确；
对于D：由可得，所以，所以，故选项D正确；
故选：AD.
10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（
）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】AC
【分析】
根据一元二次不等式的解集可判断A；根据不等式的解集可得，代入不等式可判断B、C、D.
【详解】
对于A，关于的不等式的解集为，
由不等式的解集为两根之外，则吗，故A正确；
对于B，由不等式的解集可得，解得，
所以，解得，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，
或，
所以不等式的解集为或，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：AC
11．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】
由，并展开右式即可判断各选项的正误.
【详解】
由题设知：，
∴，
∴，
∴，，，.
故选：AC
12．记，已知，则（
）
A．的最大值为18
B．的最大值为12
C．的最小值为
D．的最小值为8
【答案】ACD
【分析】
根据已知条件：结合基本不等式有，应用换元思想可求的最大值，进而由知的最值情况；又，即得可求其最小值，而可确定最小值，进而判断各项的正误.
【详解】
由题意，，当且仅当时等号成立，令，则，解得，即有，故A正确；而，故B错误；
由知：当且仅当时等号成立，故C正确；
，所以当时，其有最小值为8，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：由已知参数的等量关系，利用基本不等式、一元二次不等式、的性质，结合换元法及等量代换的应用，求代数式的最值.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式的解集是_________.
【答案】或
【分析】
转化为，根据二次不等式求解即可.
【详解】
由可得：，
即，
解得或，
所以不等式的解集为或，
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
14．已知整数满足是方程的两根，则______.
【答案】
【分析】
通分，并利用根与系数的关系可得,解方程组，求得整数的值，代入计算.
【详解】
,
由消去a并整理得,解得或,
又为整数，,∴，
，
故答案为：7.
【点睛】
本题考查二次方程根与系数的关系，和消元法解方程组，属基础题，解方程组中要注意认真准确运算，化简中要注意配方法的应用.
15．若ax2+bx+2>0的充要条件是，则a+b的值为___________.
【答案】-14.
【分析】
根据ax2+bx+2>0的充要条件是，由-和为方程ax2+bx+2=0的两根求解.
【详解】
因为ax2+bx+2>0的充要条件是，
所以ax2+bx+2=0的两根为-和，且a<0.
所以，且a<0，
解得a=-12，b=-2.
∴a+b=-14.
故答案为：-14
16．已知正实数x，y满足，则的最小值是_________．
【答案】
【分析】
把给定等式两边都除以xy，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】
因为，则，
所以，当且仅当时“=”，
由解得，
所以时，有最小值．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）关于x的不等式：.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）求出方程的实数根即可得出；
（2）利用即可求解.
【详解】
解：（1）当时，原不等式化为，
∵方程的实数根为，
∴原不等式的解集为或．
（2）∵不等式对一切实数恒成立，
∴，
即
，解得，
所以的取值范围为.
18．比较大小.
（1）比较与的大小；
（2），，比较与的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系；
（2）采用作差法比较大小：将减去的结果与比较大小，即可比较出大小关系.
【详解】
（1）因为，
又，
所以，
所以；
（2）因为，
又，，
所以，
所以.
19．已知a，b为正实数，且.
（1）求a2＋b2的最小值；
（2）若，求ab的值．
【答案】（1）1；（2）1.
【分析】
（1）根据和可得结果；
（2）由得，将化为解得结果即可.
【详解】
（1）因为a，b为正实数，且，
所以，即ab≥
(当且仅当a＝b时等号成立)．
因为
(当且仅当a＝b时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
（2）因为，所以，
因为，所以，即，
所以(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0，
因为，所以ab＝1.
【点睛】
本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
20．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）用二次不等式的解集与对应二次方程的根的关系；
（2）“1”的巧用.
【详解】
（1），解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.
（2），则，
当，即时取等号，即时有最小值.
【点睛】
二次函数的零点二次方程的根二次不等式的解集；，构造“1”，巧用“1”.
21．已知是的三边长,关于的方程的解集中只有一个元素,方程的根为.
(1)判断的形状；
(2)若为方程的两个实数根,求实数的值.
【答案】(1)等边三角形；(2)-12
【分析】
（1）方程的解集中只有一个元素,即，方程的根为，即，即可判定三角形形状；
（2）根据为方程的两个相等实数根,即，即可求解，检验得值.
【详解】
解:(1)由题意知,方程有两个相等的实数根,
,整理得.①
又方程的根为.②
把②代入①得，
为等边三角形.
(2)是方程的两个实数根,
方程有两个相等的实数根,
,即,解得或.
当时,原方程的解为(不符合题意,舍去).
.
【点睛】
此题考查根据方程的根的个数求参数的关系，判定三角形的形状，易错点在于第二问求出的值之后漏掉讨论根的实际意义导致产生增根.
22．已知关于的方程.
（1）若方程在区间上有实根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两个实根，且，求实数最大值；
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据一元二次方程根的分布进行分类讨论，注意分析的情况；
（2）令，结合韦达定理将的关系式找到，再利用基本不等式求解出的最大值.
【详解】
（1）当时，方程变为，此时，符合条件；
当时，若方程在时仅有一个实根，则，所以，
此时方程为，所以且，所以不符合条件；
若方程有两个根，则，所以，
当两个根都在内时，，此时，与矛盾，所以无解；
当只有一个根在内时，则或，解得
综上可知：；
（2）据题意设方程的两个根为，所以，
令，则，联立，所以，
又因为，所以，所以，
当时，有最小值为，所以的最大值为.
【点睛】
思路点睛：已知一元二次方程根的分布，求解参数范围的一般思路：
（1）先看二次项是否含有参数，若含有参数需要分析参数为零的情况；
（2）分析方程在所给区间内的根的个数，利用与的关系，结合二次函数的对称轴、二次函数的开口方向得到关于参数的不等式组；
（3）求解出不等式组的解集即为参数的最终范围.
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第二章
等式与不等式
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列变形错误的是（
）
A．如果，则
B．如果，则
C．如果，则
D．如果，则
2．已知关于的方程的两个实数根的倒数和等于0，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．在上定义运算，则满足的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（
）
A．{x|x>3或x<－2}
B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2D．{x|－35．关于x的不等式的解集为，则的最小值是（
）
A．4
B．
C．2
D．
6．若相异两实数x，y满足，则之值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．已知，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．在上定义运算，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（
）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
11．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．记，已知，则（
）
A．的最大值为18
B．的最大值为12
C．的最小值为
D．的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式的解集是_________.
14．已知整数满足是方程的两根，则______.
15．若ax2+bx+2>0的充要条件是，则a+b的值为___________.
16．已知正实数x，y满足，则的最小值是_________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）关于x的不等式：.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围.
18．（12分）比较大小.
（1）比较与的大小；
（2），，比较与的大小.
19．（12分）已知a，b为正实数，且.
（1）求a2＋b2的最小值；
（2）若，求ab的值．
20．（12分）已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
21．（12分）已知是的三边长,关于的方程的解集中只有一个元素,方程的根为.
（1）判断的形状；
（2）若为方程的两个实数根,求实数的值.
22．（12分）已知关于的方程.
（1）若方程在区间上有实根，求实数的取值范围；
（2）若方程有两个实根，且，求实数最大值；
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