4.1对数的概念课件（共37张PPT）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.1对数的概念
北师大（2019）必修1
1.了解对数的概念.
教学目标
2.弄清指数与对数之间的关系,并对它们进行灵活的转化,对于常用对数、自然对数的简记方法要熟悉.
3. 了解对数、常用对数、自然对数的概念,并体会将指数式化为对数式,将对数式化为指数式的含义与作用.
对数的概念与指数关系
重点
难点
对数的基本性质
环节一
对数的来源
感受指数
英国数学家卡斯纳（E.Kasner）的侄子创造了单词“googol”
——大数，10100
指数的指数——超指数
象征无与伦比的搜索能力
很多巨大的数可以用指数来表示
1光年为9 460 730 472 580 800米
一个人走完一光年需要 大约196,362,193年，约2亿年
在16至17世纪，天文学开始迅速发展，天文学家为了计算一个行星的位置，时常需要耗费几个月甚至几年的时间，问题主要就集中在“大数”运算上. 因此，改进运算方法成为了天文学家们的当务之急.
对数的产生

数学家们也在试图改进运算方法，他们发现借助指数幂是有效的方法.
在不使用计算器的前提下，计算256×4096=????????×????????????=????????????=1048576.
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????????????×????????????=????????×????????
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????????????×????????????=????????×????????
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????????????×????????????=????????????×????????????
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????????????×????????????=????????×????????
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不太好解决
m
138
2????=138
这样的m确实存在，可就是写不出来！
?
引入减法
x=N-a
引入除法
引入开方
引入什么？
对数！
（1）已知a+x=N，求 x
（2）已知ax=N ， 求 x
（3）已知 ????????=???? ，求 x
?
（4）已知 ????????=???? （????>????,????≠????），求 x
?
环节二
对数的概念
对数的定义：
一般地，如果 ，那么数x叫做以a
为底N的对数(logarithm)，记作 .
其中a叫做对数的底数，N叫做真数，读作：以a为底N的对数.
表示一种运算
阅读教材思考交流
1.????????=????，????????????????????=????，有什么关系，????，????，????各代表什么含义？
?
2.为什么规定????>????，????≠????？
?
3.为什么零和负数没对数？
?
底数
底数
指数
对数
幂
真数
？
关系图
2.在对数的定义中为什么规定a>0,且a≠1?
因为对数概念源出于指数,对数式logaN=b是由指数式ab=N转化而来,对数的底数就是指数的底数,而ab=N中要使它对任意实数b都有意义,必须a>0,且a≠1,所以对数式中也必须要求a>0,且a≠1.
请判断“因为(-2)4=16,所以log(-2)16=4”这个说法正确吗?

不正确.因为要求底数大于0,否则指数式与对数式不能互化.
为什么零和负数没有对数？
由对数的定义：ax＝N(a＞0且a≠1)，则总有N＞0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．
例1.已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．
[解]　由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有，解得－2 所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(0，1).
若对数log3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是________
微练
解：根据题意可得
解得?2????+1>0，3????>0,3a≠1.所以a的取值范围是(0，13)∪(13，12).]
?
环节三
两种特殊对数
两种特殊的对数
(1)常用对数:当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,并将log10N简记为lg N .?
(2)自然对数:在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.718 28
…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为ln N .?

环节四
对数的基本性质
对数基本性质
(1)负数和零没有对数;
(2)若a>0,且a≠1,则loga1=　　　,logaa=　　　;?
(3)????????????????????????=　　　.?
?
答案:(2)0　1　(3)N
1.判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)1的对数是1.( × )
(2)2log22-1=-1.( × )
(3)对数运算的实质是求幂指数.( √ )
微练
？
？
？
2.若????????????????????(?????????????)有意义,求x的取值范围
?
解:由题意,有?????????????>????,????????????????(?????????????)≠????,
解得x>10,且x≠11.
故x的取值范围是{x|x>10,且x≠11}.

?
环节五
对数和指数互化
例2.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)2-7= ????????????????; (2)33=27;
(3)lo????????????32= -5; (4)lg 0.001=-3.
?
解:(1)因为2-7=????????????????,所以log2????????????????=-7.
(2)因为33=27,所以log327=3.
(3)因为lo????????????32=-5,所以?????????????=32.
(4)因为lg 0.001=-3,所以10-3=0.001.
?
1.将下列指数式与对数式互化，并指出对数式中的底数、真数和对数：

（1）?????????=???????????? （2）????????????=????.????????

（3） ????????????????.????????????=????? （4）????????????????=????

（5）????????????.????????=?????
?
微练
微练
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7

[根据ab＝N?b＝logaN可知，A，B，D均正确，C不正确．
互化经验
1.对数式与指数式关系图
?

对数式logaN=b是由指数式ab=N变换而来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N,而对数值b是指数式中的幂指数.
2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有当a>0,且a≠1,N>0时,才有ax=N?x=logaN.
环节六
对数性质的应用
角度一 式子求值
例3.求下列各式的值:1log264?;??2log927?.
?
解?1由26=64,?得?log264=6.
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?2设????=log927,则根据对数的定义知， 9????=27,?即32????=33,得2????=3，????=32,所以??log927=32.
?
求下列对数的值：
1. log2116=? 2.????????????.????????=

3.lne= 4. log2.56.25=
5. log55= 6. log33?2=
7. 6log67= 8. log93=
?
快问快答
角度二 解方程
例4.求下列各式的值:1(????)已知????????????????(????????????????(?????????????))=????,则????=　　　　　;
?
解析:(1)由log3(log2(lg x))=0,可得log2(lg x)=1,
所以lg x=2,所以x=100.
（2）已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值.
解:因为log2[log3(log4x)]=0,
所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.同理可得y=24=16所以x+y=80.
求下列各式中x的值
(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；
(3)log3(log4(log5x))＝0.
微练
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.
求值经验
利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去

（3）求解形如“????????????????????????±????(a>0,且a≠1)”的值的一般步骤
(1)借助指数幂的运算,使其变形为????????????????????????±????=????????????????????????·a±m.
(2)借助恒等式????????????????????????=N及指数幂的运算求值.
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课堂小结
1．核心要点
1.对数函数概念；
2.对数的基本性质
2．数学素养
通过指数式与对数式的互化及对数的基本性质的学习，培养逻辑推理素养与数学运算素养．
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