第11讲 角的相关概念和大小比较 讲义（含答案）

教师讲义
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
角的相关概念和大小比较
教学目的
理解并掌握有关角的相关概念
对于比较两角的大小和角度的计算能够熟练掌握
教学内容
一、日校回顾
二、上节课知识点回顾
三、知识梳理
1、角的概念：
（1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。
（2）角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法：
角用“∠”符号表示
（1）分别用两条边上的两个点和顶点来表示。（顶点必须在中间）
（2）在角的内部写上阿拉伯数字，然后用这个阿拉伯数字来表示角。
（3）在角的内部写上小写的希腊字母，然后用这个希腊字母来表示角。
（4）直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量：会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位：角的单位有度、分、秒，用°、′、″表示，角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小
（1）平角：角的两边成一条直线时，这个角叫平角。
（2）周角：角的一边旋转一周，与另一边重合时，这个角叫周角。
（3）0°<锐角<90°，直角=90°，90°<钝角<180°，平角=180°，周角=360°。
6、画两个角的和，以及画两个角的差
（1）用量角器量出要画的两个角的大小，再用量角器来画。
（2）三角板的每个角的度数，30°、60°、90°、45°。
7、角的平分线
从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
若BD是∠ABC的平分线，则有：∠ABD=∠CBD=false∠ABC；∠ABC=2∠ABD=2∠CBD
8、角的计算。
四、典型例题
【例1】在下列说法中，正确的是（　　）
①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；
③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线．
A、①② B、②④
C、②③ D、③④
【例2】如图所示，下列说法错误的是（　　）
A、∠DAO就是∠DAC B、∠COB就是∠O
C、∠2就是∠OBC D、∠CDB就是∠1
【例3】下列说法正确的是（　　）
A、平角的始边与终边在一条直线上 B、一条射线是一个周角
C、两条射线组成的图形叫做角 D、两边在一直线上的角是平角
【例4】下列对角的表示方法理解错误的是（　　）
A、角可用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，每边上的点写在两旁
B、任何角都可以用一个字母表示
C、记角时可靠近顶点处加上弧线，注上数字表示
D、记角时可靠近顶点处加上弧线，注上希腊字母来表示
【例5】如图，钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（　　）
A、30° B、60°
C、75° D、90°
【例6】下图中表示∠ABC的图是（　　）
A、 B、 C、 D、
【例7】如图所示，OC，OD分别是∠AOB，∠AOC的平分线，且∠COD=25°，则∠AOB为（　　）
A、100° B、120°
C、135° D、150°
【例8】已知点P和∠MAN，现有四个等式：①∠PAM=∠NAP；②∠PAN=∠MAN；③∠MAP=∠MAN；④∠MAN=2∠MAP，其中一定能推出AP是角平分线的等式有（　　）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
【例9】现在的时间是9时20分，此时钟面上时针与分针夹角的度数是　_________　度．
【例10】如图所示，直线AB，CD交于点O，OB平分∠DOE，若∠BOE=40°，则∠COE=　_________　度．
【例11】（1）18°15′=　_________　度，（2）18.15°=　_________　度　_________　分　_________　秒．
【例12】分针1分钟转动了　_________　度的角，15分钟时针转了　_________　个小格为　_________　度．
【例13】如图所示，O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=70°，则∠EOC=　_________　度．
【例14】如图所示2×2正方形格中，连接AB，AC，AD，则∠1+∠2+∠3的度数　_________　度．
【例15】如图所示，已知OE是∠AOC的平分线，OD是∠BOC的平分线．
（1）若∠AOC=120°，∠BOC=β，求∠DOE；　_________　；
（2）若∠AOC=α，∠BOC=β（α＞β），求∠BOE．　_________　．
【例16】如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC等于多少　_________　度．
【例17】如图所示，已知∠AOB=90°，∠AOC是锐角，ON平分∠AOC，OM平分∠BOC，求∠MON的度数．
五、课堂练习
1、如图，下列说法：（1）∠ECG和∠C是同一个角；（2）∠OGF和∠OGB是同一个角；（3）∠DOF和∠EOG是同一个角；（4）∠ABC和∠ACB不是同一个角，其中正确的说法有（　　）
A、1个 B、2个
C、3个 D、∠4个
2、如图，图中小于180°的角共有（　　）
A、7个 B、9个
C、8个 D、10个
3、如图是一块手表，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是（　　）
A、60° B、80°
C、120° D、150°
4、下列说法正确的个数有（　　）
（1）直线是平角，（2）射线是周角，（3）平角是一条直线，（4）周角是一条直线．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
5、下列语句正确的是（　　）
A、由两条射线组成的图形叫做角 B、如图，∠A就是∠BAC
C、在∠BAC的边AB延长线上取一点D D、对一个角的表示没有要求，可任意书定
6、下图中，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（　　）
A、 B、 C、 D、
7、已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列结论正确的是（　　）
A、∠α=∠β B、∠α＜∠β C、∠α=∠γ D、∠β＞∠γ
8、如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是（　　）
A、∠COD＞∠AOB B、∠AOB＞∠COD
C、∠COD=∠AOB D、∠AOB与∠COD的大小关系不能确定
9、如图所示，OC是∠AOB平分线，OD平分∠AOC，且∠AOB=60°，则∠COD为（　　）
A、15° B、30°
C、45° D、20°
10、如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A、图（1）的方位角是南偏西20°
B、图（2）的方位角是西偏北60°
C、图（3）的方位角是北偏东45°
D、图（4）的方位角是南偏西45°
11、时钟共12格，每格度数为　_________　度，3时时针所转角度为　_________　度．
12、如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=　_________　度．
13、如图，O是直线AB上的一点，OD是∠COA的平分线，OE是∠BOC的平分线，则∠AOD+∠BOE=　_________　度．
14、已知∠AOB=3∠BOC，若∠BOC=30°，则∠AOC=　_________　度．
15、计算下列各题：
（1）153°19′42″+26°40′28″； （2）90°3″﹣57°21′44″；
16、如图所示，OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠BOE=20°，∠AOD=40°，求∠DOE的度数．
17、在下列说法中，正确的个数是　_________　个．
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上十二点整时，时针和分针形成的角是周角；
④钟表上差﹣刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
⑤钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角
六、课堂小结
学生总结,老师补充
七、课后作业
1、如图，下列说法正确的是（　　）
A、∠1就是∠ABC
B、∠2就是∠ADB
C、以B为顶点的角有三个，它们是∠1，∠2，∠ABC
D、∠ADB也可表示为∠D
2、下列说法中正确的是（　　）
A、角是两条射线组成的图形 B、延长一个角的两边
C、周角是一条射线 D、反向延长射线OM得到一个平角
3、下列关于角的说法正确的是（　　）
A、两条射线组成的图形叫做角 B、延长一个角的两边
C、角的两边是射线，所以角不可以度量 D、角的大小与这个角的两边长短无关
4、从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（　　）
A、28 B、21
C、15 D、6
5、下列各角中，是钝角的是（　　）
A、周角 B、周角
C、平角 D、平角
6、下列关于平角、周角的说法正确的是（　　）
A、平角是一条直线 B、周角是一条射线
C、反向延长射线OA，就形成一个平角 D、两个锐角的和不一定小于平角
7、在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（　　）
A、∠AOB＞∠AOC B、∠AOB＞∠BOC
C、∠BOC＞∠AOC D、∠AOC＞∠BOC
8、用一幅三角板可以画出的角共有（　　）
A、三个锐角，一个直角，两个钝角，一个平角 B、四个锐角，一个直角，三个钝角，一个平角
C、五个锐角，一个直角，五个钝角，一个平角 D、五个锐角，一个直角，四个钝角，一个平角
9、如图所示，∠AOB是直角，∠COD也是直角，∠AOC=α，则∠BOD等于（　　）
A、90°+α B、α+180°
C、180°﹣α D、90°﹣α
10、如图所示，下列说法错误的是（　　）
A、OA的方向是北偏西22° B、OB方向是西南方向
C、OC的方向是南偏东60° D、OD的方向是北偏东60°
11、轮船航行到B处测得小岛A的方向为北偏东32°，那么从A观测到B处的方向为（　　）
A、东偏南68° B、南偏西32°
C、南偏西68° D、东偏南32°
12、一天24小时中，时钟的分针和时针共组合成　_________　次平角，　_________　次周角．
13、若∠AOB=60°，OC平分∠AOB，则∠AOC=　_________　度．
14、如图所示，∠AOB：∠BOC：∠COD：∠DOA=1：2：3：x，若∠COD=108°，则∠AOB=　_________　度，∠BOC=　_________　度，∠DOA=　_________　度．
15、如图所示，∠AOC=90°，∠AOB=∠COD，则∠BOD=　_________　度．
16、已知∠A=132°15′18″，∠B=85°30′13″．求∠A+2∠B；
17、计算下列各题：
（1）33°15′16″×5； （2）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3．
18、（1）1点20分时，时钟的时针与分针的夹角是几度2点15分时，时钟的时针与分针的夹角又是几度？
（2）从1点15分到1点35分，时钟的分针与时针各转过了多大角度？
19、已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=50°，∠BOC=10°，求∠AOC的度数．
20、如图所示，∠AOB=70°，∠COD=80°，求∠AOD﹣∠BOC的度数．
21、如图所示，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成2：5的两部分，∠DBE=27°，求∠ABC的度数．
22、如图所示，OB，OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，试用α，β表示∠AOD．
23、如图所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=90°，∠BOC=26°，求∠AOD的度数．
附答案
典型例题
例1：B 例2：B 例3：A 例4：B 例5：C 例6：C 例7：A 例8：A
例9：解：∵“4”至“9”的夹角为30°×5=150°，时针偏离“9”的度数为30°×=10°，
∴时针与分针的夹角应为150°+10°=160°．
例10：解：利用角平分线的定义和平角的定义可求：
∵∠BOE=40，OB平分∠DOE
∴∠DOE=2×∠BOE=2×40°=80°
根据平角定义，∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣80°=100度．
故答案为100．
例11：解：（1）18°15′=18°（15÷60）°=18.25°；
（2）18.15°=18°（0.15×60）′=18度9分0秒．
例12：解：分针1分钟转动了6度的角，15分钟时针转了1.25个小格为7.5度．
例13：解：根据角平分线定义设∠EOC=x，
则得到2（70﹣x）+x=180°，
解得x=80．
故填80．
例14：解：∵∠2=45°，∠1+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3=135度．
故答案为135．
例15：解：（1）∠AOC=120°，
∴∠COE=60°（角平分线定义），
∵∠BOC=β，
∴∠COD=β（角平分线定义），
∴∠DOE=60°﹣β；
（2）∵∠AOC=α，OE是∠AOC的平分线，且∠BOC=β（α＞β），
∴∠COE=α（角平分线定义）．
∴∠BOE=∠COE﹣∠BOC=α﹣β．
例16:解：从图中我们发现向北的两条方向线平行，∠NAM=45°，∠MBC=15°，
根据平行线的性质：两直线平行内错角相等，可得∠ABM=∠NAB=45°，
所以∠ABC=45°+15°=60°．
例17:解：设∠AOC=2x°
则∠AON=∠NOC=x°，∠BOC=90°+2x°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=∠BOC﹣∠NOC=（90°+2x°）﹣x°=45°．
故答案为45°．
课堂练习
1、C 2、B 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、B 9、A 10、B
11、解：时钟共12格，每格度数为30度，3时时针所转角度为90度．
12、解：由图∵∠AOD=145°，
∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=145°﹣90°=55°，
则∠BOC=90°﹣55°=35度．
故填35．
13、解：∵∠AOB是平角，OD是∠COA的平分线，OE是∠BOC的平分线，
∴∠AOD+∠BOE=×180°=90°．
故答案为90．
14、解：∵∠BOC=30°，∠AOB=3∠BOC，
∴∠AOB=3×30°=90°
（1）当OC在∠AOB的外侧时，
∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120度；
（2）当OC在∠AOB的内侧时，
∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=90°﹣30°=60度．
故填60或120．
15、解：（1）153°19′42″+26°40′28″
=179°+59′+70″
=179°+60′+10″
=180°10″
（2）90°3″﹣57°21′44″
=89°59′63″﹣57°21′44″
=32°38′19″
16、解：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COE=20°，
∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD=40度．
∴∠DOE=∠COE+∠COD=20°+40°=60度．
故答案为60°．
17、解：①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是180°﹣30°÷4，不是平角，错误；
②钟表上六点整时，时针指向6，分针指向12，形成的角是平角，正确；
③钟表上十二点整时，时针和分针都指向12，形成的角是周角，正确；
④钟表上差﹣刻六点时，时针和分针形成的角是90+30°÷4，不是直角，错误；
⑤钟表上九点整时，时针指向9，分针指向12，形成的角是直角，正确．
∴正确的个数是3个．
课后作业
1.C 2.D 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.C 10.D 11.B
12.解：一天24小时中，时钟的分针和时针共组合成24次平角，24次周角．
13.解：∠AOC=×60°=30°．
14.解：∠AOB：∠BOC：∠COD：∠DOA=1：2：3：x，
若∠COD=108°；∴∠AOB=36°，∠BOC=72°，
∠DOA=360°﹣108°﹣36°﹣72°=144度．
故答案为36、72、144．
15.解：∠AOC=90°即∠AOB+∠BOC=90°
∵∠AOB=∠COD
∴∠COD+∠BOC=90°
即∠BOD=90度．
16.解：∠A+2∠B=132°15′18″+2×85°30′13″
=132°15′18″+171°26″
=303°15′44″．
17.（1）33°15′16″×5
=165°+75′+80″
=165°+76′+20″
=166°16′20″
（2）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3
=175°16′30″﹣330′÷6+12°36′150″
=175°16′30″﹣7°﹣55′+12°38′30″
=187°54′60″﹣7°55′
=180°
18.解：（1）∵分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格，
∴1点20分时，时针与分针的夹角是[20﹣（5+×20）]×=80°，
2点15分时，时针与分针的夹角是[15﹣（10+×15）]×=22.5°．
（2）从1点15分到1点35分，时钟的分针共走了20分钟，
∴分针转过的角度是（35﹣15）×=120°，
时针转过的角度是0.5×20=10度．
19.解：有两种情况：
第一种情况：如答图①所示：
∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+10°=60°
① ②
第二种情况：如答图②所示：
∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=50°﹣10°=40°
答：∠AOC的度数为60°或40度．
20.解：∠AOD﹣∠BOC=∠AOB+∠COD=80°+70°=150°． 故填150°．
21.解：设∠ABC=α，则∠ABD=，∠ABE=α
∵∠DBE=∠ABD﹣∠ABE
∴﹣α=27°
得α=126° 答：∠ABC=126°．
22.解：∠BOM+∠CON=∠MON﹣∠BOC=α﹣β，
由平角分线得：2（∠BOM+∠CON）=∠AOB+∠COD，
∴∠AOD=2（α﹣β）+β=2α﹣β．
故答案为2α﹣β．
23.解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD
设∠AOM=∠MOB=x，∠CON=∠NOD=y
∵∠MON=90°，∠BOC=26°
∴∠NOC+∠BOC+∠BOM=90°
∴x+y+26°=90°
∴x+y=64°
而∠AOD=2x+2y+26°=2×64°+26°=154°．
故答案为154°．