第12讲 平面图形的应用 讲义（含答案）

教师讲义
年 级： 辅导科目： 数学 课时数：
课 题
平面图形的应用
教学目的
通过七巧板的制作、拼摆等活动，对平行、垂直及角的有关内容有了加深的概念.
对基础知识系统回顾.
教学内容
一、日校回顾
二、上节课知识点回顾
三、知识梳理
1.经过两点 一条直线.
2.两点之间的所有连线中, .两点之间 ,叫做这两点之间的距离.
3.如图,点M把线段AB分成 的两条线段AM与BM, 点M叫做线
段AB的 .这时 .
4.角由两条 的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的 .角通常用 字母及符号 来表示.
5. 1°= ′，1′= ″
6.从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个 的角,这条射线叫做这个角的 .
7.在同一个平面内, 的两条直线叫做 .我们通常用 表示平行.
8.经过直线外一点, 一条直线与这条直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行,那么 .
9.如果两条直线 ,那么这两条直线互相垂直.我们通常用 表示垂直.
10.平面内,经过一点 一条直线与已知直线垂直.
11.如图,过A点作直线L的垂线,垂足为B点. 叫做点A到直线L的距离.
12.七巧板是有 、 和 组成.
四、典型例题
（一）、七巧板
1、如图所示的七巧板中，三角形有　_________　块，正方形有　_________　块，45°角的有　_________　个，90°的角有　_________　个，135°的角有　_________　个．
2、如图，回答下列问题：
（1）G是线段　_________　中点，O既是线段　_________　的中点，又是线段　_________　的中点，E，F，H，K分别是线段　_________　，　_________　，　_________　，　_________　的中点．
（2）图中，EK　_________　BK，EK　_________　AG，HG　_________　AB（填“⊥”或“∥”）
3、在一副七巧板中，有　_________　个锐角，　_________　个直角，　_________　个钝角．
4、若七巧板中，小正方形的面积为2cm2，那么制作该七巧板的原正方形的面积是　_________　cm2．
5、如图，用边长为1的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积为　_________　．
同步练习
1、如图，有一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：作图①，作对角线AC，分别取AB，BC中点E，F，连接EF作DG⊥EF于G，交AC于H，过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K，将正方形ABCD沿画出的线剪开，现由它拼出一座桥（如图②），这座桥的阴影部分的面积是（　　）
A、8 B、6
C、5 D、4
典型例题
（二）单元综合
1、如图，直线AB、CD、EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠DOF、∠BOF的度数．
2、在图中，
（1）分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来．
（2）找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来．
3、如图，已知∠AOB=∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．
4、已知线段AB=8cm，回答下列问题：
（1）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm，为什么？
（2）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，点C的位置应该在哪里？为什么？这样的点C有多少个？
同步练习
1、一个钝角与一个锐角的差是（　　）
A、锐角 B、钝角
C、直角 D、不能确定
2、下列各直线的表示法中，正确的是（　　）
A、直线A B、直线AB
C、直线ab D、直线Ab
3、下列说法中，正确的有（　　）
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
4、下列说法中正确的个数为（　　）
①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；
②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④平行同一直线的两直线平行．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
5、图中有　_________　条线段，分别表示为　_________　．
6、钟表上8点30分时，时针与分针所夹的锐角是　_________　度．
7、已知线段AB，延长AB到C，使BC=AB，D为AC的中点，若AB=9cm，则DC的长为　_________　．
8、如图，点D在直线AB上，当∠1=∠2时，CD与AB的位置关系是　_________　．
9、如图所示，射线OA的方向是北偏东　_________　度．
10、如图，已知∠AOB内有一点P，过点P画MN∥OB交OA于C，过点P画PD⊥OA，垂足为D，并量出点P到OA距离．
11、如图已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB=AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
五、课堂练习
1.下图中表示∠ABC的图是（　　）
A、 B、 C、 D、
2.如图，从A到B最短的路线是（　　）
A、A?G?E?B B、A?C?E?B
C、A?D?G?E?B D、A?F?E?B
3.已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为（　　）
A、30° B、150°
C、30°或150° D、90°、
4.在同一平面内，三条直线的交点个数不能是（　　）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
5.如图，与OH相等的线段有（　　）
A、8 B、7
C、6 D、4
6.下列说法正确的是 （ ）
（A）过一点能作已知直线的一条平行线 （B）过一点能作已知直线的一条垂线
（C）射线AB的端点是A和B （D）点可以用一个大写字母表示，也可用小写字母表示
7.下列4 种说法中，正确的有 （ ）
（1）一根绳子，不用任何工具，可以找到它的中点，（2）用圆规可把一个圆六等分，（3）用圆规可把一个圆三等分（4）画在透明纸上的一个角，不用任何工具，可以找到它的角平分线，
（A） 1个 （B） 2个 （C） 3个 （D） 4个
8.如图，与CD既不平行，又不相交的棱有 （　　）
（A） ４条　 （B） ３条　 （C） ２条　 （D） １条
9.探照灯发出的光线可近似看作： ；两根长长的铁轨可近似看作： ；
跳远时测量成绩，尺子所在直线与起跳线必须 ；
10.七（１）班的同学用二个图钉就把刚获得的校田径运动会团体总分第一名的奖状挂在墙上了，请你用本章的一个知识来说明这样做的道理： ；
11.如图1，AB的长为m，OC的长为n，MN分别是AB，BC的中点，则MN =___ __；
12.如图2，用“＞”、“＜”或“＝”连接下列各式，并说明理由．AB＋BC_____AC，AC＋BC_____AB，BC_____AB＋AC，理由是______ ___；
13.计算：48°39′+67°41′=_________；90°－78°19′40″=___________；
21°17′×5=_______； 176°52′÷3=_________(精确到分)；
14.将一张正方形的纸片，按如图所示对折两次，相邻两条折痕（虚线）间的夹角为　_________　度．
15.如图，B、C两点在线段AD上，
（1）BD=BC+　_________　；AD=AC+BD﹣　_________　；
（2）如果CD=4cm，BD=7cm，B是AC的中点，则AB的长为　_________　cm．
16.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B′、D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为　_________　．
六、课堂小结
七、课后作业
一．填空题：（
1.如图中，∠AOB=180°，∠AOC=90°，∠DOE=90°，则图中相等的角有＿对，分别为_______________；两个角的和为90°的角有___________对；两个角的和为180°的角有________对；
2.平面上两条直线的位置关系只有两种，即__________和_________________；
3.平面面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有___条；
4.面上有五条直线，则这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点．
5.在无风的情况下，一重物从高处落入池塘，它的运动路线与水面的位置关系是　　　，在阳光下，站在操场上的学生与他影子的位置关系是　　　　　；
二．选择题
6.已知线段AB = 6厘米，在直线AB上画线段AC=2厘米，则BC的长是 （ ）
（A） 8厘米 （B） 4厘米 （C） 8厘米或4厘米 （D） 不能确定
7.下列推理中，错误的是 （ ）
（A）在false、false、false三个量中，如果false, false，那么false；
（B）∠A、∠B、∠C、∠D四个角中，如果∠A=∠B，∠C=∠D，∠A=∠D，那么∠B=∠C；
（C）false、false、false是同一平面内的三条直线，如果false∥false，false∥false，那么false∥false；
（D）false、false、false是同一平面内的三条直线，如果false丄false，false丄false，那么false丄false；
8.甲、乙、丙、丁四个学生判断时钟的分针与时针互相垂直时，他们每个人都说了两个时间，说对的是（ ）
（A）甲说3点时和3点30分　　　 　　（B）乙说6点15分和6点45分
（C）丙说9时整和１２时１５分　　 　 （D）丁说3时整和9时整
9.如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东60°的是 （　　）
（A） （B） （C） （D）
10.一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC的度数是 （ ）
（A）75° （B）105° （C）45° （D） 135°
11. 同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是 （ ）
（A）可能是0个，1个，2个 （B）可能是0个，2个，3个
（C）可能是0个，1个，2个或3个 （D）可能是1个可3个
12.已知四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，则下列结论中正确的是 （ ）
（A） AB∥CD （B）∠B+∠C=180°（C） ∠B=∠C （D） ∠C+∠D=180°
13.直线false外有一定点A，点A到false的距离是false，P是直线false上的任意一点，则 （ ）
（A） AP >false （B） AP≥false （C） AP = false （D） AP < false
14.下列说法中正确的是 （ ）
（A） 8时45分，时针与分针的夹角是30° （B） 6时30分，时针与分针重合
（C） 3时30分，时针与分针的夹角是90° （D） 3时整，时针与分针的夹角是30°
三．解答下列各题
15.要注意“几何语言”的学习，如图甲，称作“点A在直线false外”，请在图乙标上字母，用“几何语言”说出该图的意义
甲
A·
m


乙
16.如图，已知∠AOB，画图并回答：
⑴画∠AOB的平分线OP；
⑵在OP上任取两点C、D，过C、D分别画OA、OB的垂线，交OA于E，F，交OB于G、H，
⑶量出CE，CG，DF，DH的长，由此可得到的结论是什么？
⑷过C作MC∥OB交OA于M
17.如图，用量角器量出图中∠1，∠2，∠3的度数，猜一猜它们之间有何关系？
18.如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=17°18′，求∠AOC的度数
19.如图，将书角斜折过去 ，直角顶点A落在F处 , BC 为折痕，∠FBD = ∠DBE, 求∠CBD的度数.




附答案
典型例题
（一）七巧板
1、三角形有5块；正方形有1块；45°角的有12个；90°的角有12个；135°的角2个．
2、（1）G是线段 EF中点，O既是线段 BD的中点，又是线段 KH的中点，E，F，H，K分别是线段 BC，DC，OD，BO的中点；
（2）图中，EK⊥BK，EK∥AG，HG∥AB．
故答案为：EF，BD，KH，BC，DC，OD，BO；⊥，∥，∥．
3、解：七巧板如图所示：
根据图示可知，在一副七巧板中，有12个锐角，13个直角，5个钝角．
4、解：S小=2cm2所以小正方形边长为：cm
最大三角形直角边为：2cm
最大三角形斜边为：4 cm即为大正方形边长
所以原正方形的面积为42=16cm2．
故答案为16．
5、解：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去，A，B，C部分的面积，A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的，所以，阴影部分面积=1﹣﹣=．
故答案为．
同步练习 D
（二）、单元综合
1、解：如图，∵∠COE=35°，
∴∠DOF=∠COE=35°，
∵AB⊥CD，
∴∠BOD=90°，
∴∠BOF=∠BOD+∠DOF，
=90°+35°
=125°．
2、解：（1）答案不唯一，如：AD∥LF，AD∥JG，AJ∥DG；AD⊥DG，AD⊥AJ，AJ⊥JG；
（2）答案不唯一，如：锐角∠MNO、直角∠DAJ、钝角∠LOG．
3、解：设∠AOB=x°，由题意3x+3x+2x+x=360，解之可得x=40，即∠AOB=40°，
又因为∠COD=3∠AOB，即∠COD=120°．
故答案为40°、120°．
4、解：（1）①当点C在线段AB上时，AC+BC=8，故此假设不成立；
②当点C在线段AB外时，由三角形的构成条件得AC+BC＞AB，故此假设不成立；
所以不存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm．
（2）由（1）可知，当点C在AB上，AC+BC=8，所以存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，线段是由点组成的，故这样的点有无数个．
同步练习
1.D 2.B 3.B 4.C
5、解：图中共有6条线段，分别表示为AD、AC、AB、DC、DB、CB．
6、解：8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°=75°．
7、解∵BC=AB，AB=9cm，
∴BC=3cm，AC=AB+BC=12cm，
又因为D为AC的中点，所以DC=AC=6cm．
故答案为：6cm．
8、解：∵∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，
∴∠1=∠2=90°．
故答案为：CD⊥AB．
9、解：根据方向角的概念，射线OA表示的方向是北偏东60°．
10、解：根据题意，如下图所示，
（量PD的长度，请学生自己动手操作．）
11、解：根据题意，AC=12cm，CB=AC，
所以CB=8cm，
所以AB=AC+CB=20cm，
又D、E分别为AC、AB的中点，
所以DE=AE﹣AD=（AB﹣AC）=4cm．
即DE=4cm．
故答案为4cm．
课堂练习1.C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A
9.射线、平行线、互相垂直；10.两点确定一条直线；
11.false；12.> > < ，两点之间线段最短；
13.⑴116°20′ ⑵11°40′20″；⑶106°25′；⑷58°57′；
14、解：根据题意可得相邻两条折痕（虚线）间的夹角为90÷4=22.5度．
15、解：（1）由图可知：BD=BC+CD，AD=AC+BD﹣CB；
（2）如果CD=4cm，BD=7cm，B是AC的中点，
则BC=BD﹣CD=7﹣4=3cm，
∴AC=2BC=6cm，
∴AB=BC=3cm，
故答案为：3cm．
16、解：根据轴对称的性质得：∠B′OG=∠BOG
又∠AOB′=70°，可得∠B′OG+∠BOG=110°
∴∠B′OG=×110°=55°．
课后作业
一、填空题
1.3 ∠AOC=∠BOC， ∠BOC=∠DOE，∠DOE=∠AOC 4， 3；
2.相交 平行 ；3.12 ；4.10 0 ；5.垂直，垂直；
二、选择题
6.C； 7.D； 18.D； 9.B； 10.C； 11.C； 12.D； 13.B；
14.D；
三．解答题
15、16．略
17．∠1=∠2+∠3 18、145°24′
19．如图，∠ABE是一个平角，∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =false，又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4，
∴2（∠2 +∠3）=false，∴∠2 +∠3 =false即∠CBD =false；