第13讲 一元一次方程及其等式的概念 讲义（含答案）

教师讲义
年 级：七年级 辅导科目：数学 课时数：3
课 题
一元一次方程及其等式的概念
教学目的
掌握等式的基本性质
灵活运用等式的基本性质解简单的一元一次方程
了解方程、一元一次方程的定义
教学内容
一、日校回顾
二、上节课知识点回顾
三、知识梳理
1.方程的概念： 等式叫做方程.
2.根据题意列方程的一般步骤：
（1）设未知数，看题目中求得是什么，一般求什么就设什么为x（设其他量也可以）；
（2）分析已知量和未知量的关系，找出等量关系；
（3）把相等关系的左、右两边的量用含x（未知数）的代数式表示出来（列方程）.
3.等式的基本性质：
（1）等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式.
（2）等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.
4.利用等式的基本性质解一元一次方程：就是利用等式的性质把方程进行变形，最后化为的形式，它一般先运用性质1，将变形为，然后运用性质2，将变形为即可.
四、典型例题
（一）、方程的定义
【例1】下列各式中，不是方程的是（　　）
A、x=1 B、3x=2x+5 C、x+y=0 D、2x-3y+1
【例2】35+24=59；3x-18＞33；2x-5=0；? 2x+15=0，上列式子是方程的个数有（　　）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【例3】语句“x的3倍比y的 12大7”用方程表示为：
【例4】1：2x-1；2：2x+1=3x；3：-3；4：t+1=3中，代数式有 ，方程有 （填入式子的序号）．
【例5】下列式子各表示什么意义？
（1）（x+y）2： ；
（2）5x= 12y-15： ；
（3） 12（x+ 23x）=24： ．
同步练习
1.下列四个式子中，是方程的是（　　）
A、1+2+3+4=10　 B、2x-3　　　　 　 C、x=1 　　　　　 D、2x-3＞0
2. 下列式子中，是方程的是（　　）
A、2x 　 B、2+3=5 　　　　 　C、3x＞9 D、4x-3=0
3. 你知道下列语句中哪些是对的，哪些是错的吗？如果对，在题后的“下打“√”，如果不对，请在“”下打“√”：
（1）方程是等式.
（2）等式是方程.
（3）因为x=y，所以3x=3y，那么，如果ax=ay，那么x=y．.
解：根据方程的特点：（1）含有未知数；（2）是等式由此可得出D选项不是等式．故选D．
解：（1）35+24=59，是等式但不含未知数，所以不是方程．（2）3x-18＞33，含未知数但不是等式，所以不是方程．（3）2x-5=0，是含有未知数的等式，所以是方程．（4） 2x+15=0，是含有未知数的等式，所以是方程．故有所有式子中有2个是方程．故选B．
解：等式有②③④，方程有②④．
解：由题意，得3x= 12y+7．故答案为：3x= 12y+7．
解：由题意得：（1）（x+y）2：x，y的和的平方；（2）5x= 12y-15：x的5倍比y的一半小15；（3） 12（x+ 23x）=24：x与它的 23的和的一半等于24．故答案为：x，y的和的平方；x的5倍比y的一半小15；x与它的 23的和的一半等于24．
同步练习：
解：A、不含未知数，故错误；B、不是等式，故错误；C、是方程，正确．D、不是等式，故错误．故选C
解：A、2x是代数式，不是等式，所以它不是方程；故本选项错误；B、2+3=5虽然是等式，但不含有未知数，所以它不是方程；故本选项错误；C、3x＞9不是等式，而是不等式，所以它不是方程；故本选项错误；D、是方程，x是未知数，式子又是等式；故本选项正确．故选D．
解：∵含有未知数的等式叫方程，∴方程一定是等式，（1）正确，∵等式是用等号表示相等关系的式子，不一定有未知数，∴等式不一定是方程，（2）错误，∵如果a=0，那么ax=ay，但是x不一定等于y，∴（3）错误，故答案为√，√，√．
（二）方程的解
【例1】已知关于x的方程3x+2a=2的解是a-1，则a的值是（　　）
A、1 B、 35 C、?15 D、-1
【例2】已知方程?x+1/x=a+1/a的两根分别为a，?1/a，则方程?x+1/x-1=a+?1/a-1的根是（　　）
A、a，?1/a-1 B、?1/a-1，a-1 C、?1/a，a-1 D、a，?a/a-1
【例3】若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，则m的值等于 .
【例4】若x=3是方程2x-10=4a的解，则a= .
【例5】若x=2是方程9-2x=ax-3的解，则a= .
同步练习：
1. 下列方程，以-2为解的方程是（　　）
A、3x-2=2x B、4x-1=2x+3 C、5x-3=6x-2 D、3x+1=2x-1
2. 如果x=-2是方程2x+m-4=0的解，那么m的值为（　　）
A、-8 B、0 C、2 D、8
3. 下列说法正确的是（　　）
A、x=-3是方程x-3=0的解 B、x=7是方程2x=-14的解
C、x=0.01是方程200x=2的解 D、x=-1是方程?x2=-2的解
4. 已知方程：①3x-1=2x+1，②?x+13=23(x-13)x，③?72+1+3x4=7-3x+14，④?32x-1=x中，解为x=2的是方程（　　）
A、①、②和③ B、①、③和④ C、②、③和④ D、①、②和④
5. 如果x=8是方程（x-2）（x-2k）=0的一个解，则k= .
6. 已知x=2是方程ax-5x-6=0的解，则a= .
【例1】解：根据题意得：3（a-1）+2a=2，解得a=1故选A．
【例2】解：方程?x+1/x-1=a+?1/a-1可以写成x-1+?1/x-1=a-1+?1/a-1的形式，∵方程?x+1/x=a+1/a的两根分别为a，?1/a，∴方程x-1+?1/x-1=a-1+?1/a-1的两根的关系式为x-1=a-1，x-1=?1/a-1，即方程的根为x=a或?a/a-1，∴方程?x+1/x-1=a+?1/a-1的根是a，?a/a-1．故选D．
【例3】解：根据题意得：4+3m-1=0解得：m=-1，故填-1．
【例4】解：把x=3代入方程得到：6-10=4a 解得：a=-1．故填：-1．
【例5】解：根据题意得：9-4=2a-3解得：a=4．故填4．
同步练习：
1. 解：A、将x=-2代入原方程．左边=3×（-2）-2=-8，右边=2×（-2）=-4，因为左边≠右边，所以x=-2不是原方程的解．B、将x=-2代入原方程．左边=4×（-2）-1=-9，右边=2×（-2）+3=-1，因为左边≠右边，所以x=-2是原方程的解．C、将x=-2代入原方程．左边=5×（-2）-3=-13，右边=6×（-2）-2=-14，因为左边≠右边，所以x=-2不是原方程的解．D、将x=-2代入原方程．左边=3×（-2）+1=-5，右边=2×（-2）-1=-5，因为左边=右边，所以x=-2是原方程的解．故选D．
2. 解：把x=-2代入方程得到：-4+m-4=0，解得m=8．故选D．
3. 解：A、把x=-3代入方程x-3=0的左边，得-3-3=-6≠0，故不是原方程的解；B、把x=7代入方程2x=-14的左边，得2×7=14≠-14，故不是原方程的解；C、把x=0.01代入方程200x=2的左边，得200×0.01=2=右边，是原方程的解；D、把x=-1是方程?x2=-2的左边，得-?12≠-2，故不是原方程的解．故选C．
4. 解：把x=2代入①3x-1=2x+1，左边=6-1=5，右边=4+1=5，左边=右边，因而x=2是①3x-1=2x+1的解．把x=2代入②?x+13=23(x-13)x，左边=2+?13=?73，右边=?23（2-?13）×2=?209，左边≠右边，因而x=2不是方程②的解．把x=2代入③?72+1+3x4=7-3x+14，左边=?72+?1+64=?214，右边=7-?6+14=?214，左边=右边，因而因而x=2是方程③的解．把x=2代入④?32x-1=x，左边=?32×2-1=2，右边=2，左边=右边，因而因而x=2是方程④的解．综上可知：①③④满足条件．故选B．
5. 解：把x=8代入方程得到：6（8-2k）=0，解得：k=4．故填4．
6. 解：把x=2代入方程ax-5x-6=0得：2a-10-6=0，解得：a=8．故填8．
（三）等式的性质
【例1】下列变形正确的是（　　）
A、4x-5=3x+2变形得4x-3x=-2+5 B、?23x-1=?12x+3变形得4x-1=3x+3
C、3（x-1）=2（x+3）变形得3x-1=2x+6 D、3x=2变形得x=?2/3
【例2】已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　）
A、3a-5=2b B、3a+1=2b+6 C、3ac=2bc+5 D、a=?23b+53
【例3】把方程3y-6=y+8变形为3y-y=8+6，这种变形叫做 ，根据是 ．
【例4】若2x+5=7，则2x= ．
【例5】若3x-6=5，得3x=5+ ；若-5x= 12，则x= ．
【例6】利用等式的性质解方程并检验： 2-1/4x=3．
【例7】利用等式性质解下列方程：（1）5x+4=0 （2）2- 14x=3
同步练习
1. 已知：?x/3=y/2，那么下列式子中一定成立的是（　　）
A、2/x=3/y B、3/x=2/y C、x=6y D、xy=6
2. 运用等式性质进行的变形，不正确的是（　　）
A、如果a=b，那么a-c=b-c B、如果a=b，那么a+c=b+c
C、如果a=b，那么?a/c=b/c D、如果a=b，那么a/c=b/c
3. 方程由2x+6=3x-7，变形为2x-3x=-7-6，这叫 ，依据是 ．
4. 在等式2x-6=9两边都加上 可得到等式2x=15．
5. 等式的两条性质是：
（1）等式两边都 （或 ）同一个 或同一个 ，所得的结果仍是等式
（2）等式两边都 （或 ）同一个 （ ）所得的结果仍是等式．
6. 如果-5x+6=1-6x，那么x= ，根据 ．
参考答案：
【例1】解：A、根据等式的性质1，4x-5=3x+2两边都加-3x+5，应得到4x-3x=2+5，故本选项错误；B、根据等式性质2， 23x-1= 12x+3两边都乘以6，应得到4x-6=3x+18，故本选项错误；C、3（x-1）=2（x+3）两边都变形应得3x-3=2x+6，故本选项错误；D、根据等式性质2，3x=2两边都除以3，即可得到x= 23，故本选项正确．故选D．
【例2】解：A、根据等式的性质1可知：等式的两边同时减去5，得3a-5=2b；B、根据等式性质1，等式的两边同时加上1，得3a+1=2b+6；D、根据等式的性质2：等式的两边同时除以3，得a=?23b+53；C、当c=0时，3ac=2bc+5不成立，故C错．故选C．
【例3】解：把方程3y-6=y+8变形为3y-y=8+6，这种变形叫做移项，根据是等式性质1．
【例4】解：根据等式性质1，等式两边都减5，即可得：2x=7-5=2．故填：2．
【例5】解：根据等式性质1，3x-6=5两边同时加上6，得：3x=5+6；根据等式性质2，-5x=?12两边同时除以-5，得：x=-?110．
【例6】解：根据等式性质1，方程两边都减去2，得：?-1/4x=1，根据等式性质2，方程两边都乘以-4，得：x=-4，检验：将x=-4代入原方程，得：左边=?2-1/4×(-4)=3，右边=3，所以方程的左右两边相等，故x=-4是方程的解．
【例7】解：（1）根据等式的性质1，方程两边同减去4，得：5x=-4，根据等式的性质2，方程两边同除以5，得：x=-?45；（2）根据等式性质1，方程两边同减去2，得：-?14x=1，根据等式性质2，方程两边同乘以-4，得：x=-4．
同步练习
1. 解：A、根据等式的性质2，等式两边同时乘以6，即可得2x=3y；B、根据等式性质2，等式两边都乘以9，应得3x=?92y；C、根据等式性质2，等式两边都乘以3，应得x=?32y；D、根据等式性质2，等式两边都乘以3y，应得xy=?32y2；故选A．
2. 解：A、根据等式性质1，a=b两边都减c，即可得到a-c=b-c；B、根据等式性质1，a=b两边都加c，即可得到a+c=b+c；C、根据等式性质2，需条件c≠0，才可得到?ac=bc；D、根据等式性质2，a=b两边都乘以c，即可得到ac=bc；故选C．
3. 解：因为移项是根据等式的性质1进行的变形，主要是指某项从等号的一边移到等号的另一边的变形．所以方程由2x+6=3x-7，变形为2x-3x=-7-6，这叫移项，依据是等式的性质．
4. 解：在等式2x-6=9两边都加上6得到等式2x=15．故填：6．
5. 解：根据等式的基本性质可知：
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个字母，所得的结果仍是等式；
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不为0的数（字母）所得的结果仍是等式．
6. 解：根据等式的基本性质1，-5x+6=1-6x两边同加6x，得x+6=1，根据等式性质1，等式两边同减去6，可得x=-5．
（四）一元一次方程的定义
【例1】当a 时，方程（a+1）x+ a-34=0是关于x的一元一次方程．
【例2】若方程3x4n-3+5=0是一元一次方程，则n= .
【例3】已知关于x的方程（m-3）xm+4+18=0是一元一次方程．
试求：（1）m的值及方程的解；
（2）2（3m+2）-3（4m-1）的值
【例4】若方程（k-2）x|k|-1+5k=0是关于x的一元一次方程，求k的值，并求该方程的解．
若（m-3）x2|m|-5-4m=0是关于x的一元一次方程，求代数式m2-2m+?1m的值．
同步练习：
1. 下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A、x2-4x=3 B、x=0 C、x+2y=1 D、x-1=?1/x
2. 在下列方程中：①x+2y=3，② 1x-3x=9，③ y-23=y+13，④ 12x=0，是一元一次方程的有 （只填序号）．
3. 关于x的方程（a+2）x|a|-1-2=1是一元一次方程，则a= ．
4．若4xm-1-2=0是一元一次方程，则m= .
5. 已知等式（a-2）x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程（即x未知），求这个方程的解
6. 已知a是非零整数，关于x的方程ax|a|-bx2+x-2=0?是一元一次方程，求a+b的值与方程的解．
参考答案：
【例1】解：由一元一次方程的特点得a+1≠0，解得：a≠-1．
【例2】解：由一元一次方程的特点得：4n-3=1，解得：n=1．故填：1．
【例3】解：（1）由一元一次方程的特点得m+4=1，解得：m=-3．故原方程可化为-6x+18=0，解得：x=3；
（2）把m=3代入上式，原式=-6m+7=18+7=25．
【例4】解：由一元一次方程的特点得?{|k|-1=1k-2≠0，解得：k=-2．把k=-2代入原方程得-4x-10=0，解得：x=?-52．
【例5】解：根据一元一次方程的特点可得?{m-3≠02|m|-5=1，解得m=-3．当m=-3时，m2-2m+?1m=9+6-?13=14?23．
1. 解：A、未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程；B、符合一元一次方程的定义；C、是二元一次方程；D、分母中含有未知数，是分式方程．故选B．
2. 解：①是二元一次方程；②是分式方程；③符合一元一次方程的定义；④符合一元一次方程的定义．故③④是一元一次方程．
3. 解：∵（a+2）x|a|-1-2=1是一元一次方程，根据一元一次方程的定义得|a|-1=1，解得a=±2，又∵a+2≠0，∴a=2．故填：2．
4.解：由一元一次方程的特点得m-1=1，解得：m=2．故填2．
5. 解：由一元一次方程的特点得a-2=0，解得：a=2；故原方程可化为2x+1=0，解得：x= -12．
6. 解：∵a是非零整数，关于x的方程ax|a|-bx2+x-2=0?是一元一次方程，|a|=1，b=0，解得，a=±1，b=0；∴①当a=1时，由原方程得x+x-2=0，解得x=1，a+b=1+0=1，即a+b=1；②当a=-1时，由原方程，得-x+x-2=0，不符合题意；综合①②知，a+b=1，原方程的解是x=-1．
五、课堂小结
学生总结，老师补充
七、课后作业
一、填空题
1.解方程2x-4=1时，先在方程的两边都_________，得到________，然后在方程的两边都_________，得到x=________
2.由等式3x-10=2x+15的两边都________，得到等式x=25，这是根据__________
由等式－false的两边都________，得到等式x=_____________
3.已知x=2是方程ax-5x-6=0的解，则a=______
4.如果x－3=2,那么x=_____,根据___________________.
5.如果x+y=0,则x=_____,根据_____________________________.
6. 如果4x=－12y,则x=_____,根据_____________________________.
7.如果a－b－c=0,则a=_____,根据_____________________________.
二、选择题
8.下列各式中，不属于方程的是( )
A、2x+3－(x+2) B.3x+1－(4x－2) C.3x－1=4x+2 D.x=7
9.方程3x－1=5的解是( )
A.x=false
10.下列结论中正确的是( )
A.若x+3=y-7 B.若7y－6=5－2y,则7y+6=17－2y
C.若0.25x=－4， 则x=-1 D.若8x=-8x，则8=8
11.下列变形中，错误的是( )
A、2x+6=0变形为2x=－6 B.false变形为x+3=4+2x
C. －2(x-4)=-2变形为x-4=1 D.-false可变形为-x+1=1
12.下列说法中，正确的个数是( )
①若mx=my,则mx－my=0 ②若mx=my,则x=y
③若mx=my,则mx+my=2my ④若x=y,则mx=my
A.1 B.2 C.3 D.4
13.下列变形符合等式性质的是( )
A.如果2x－3=7,那么2x=7－3 B.如果3x－2=x+1,那么3x－x=1－2
C.如果－2x=5,那么x=5+2 D.如果－falsex=1,那么x=－31.
14..方程3－false=0可以变形为（ ）
A.3－x－1=1 B.6－x－1=2
C.6－x+1=1 D.6－x+1=0
15.若方程ax+b=0(a≠0)的解是正数，则a、b的值应满足（ ）
A.a、b异号 B.b是正数 C.a、b同号 D.a、b都是正数
16.下列方程中解为x=－3的是（ ）
A.x－5=4x－4 B.x+5=4x+4
C.x－5=4x+4 D.x+5=4x－4
三、解答下列各题
17.已知x=－8是方程3x+8=false－a的解，求a2－false的值.
15.求作一个解为x=3的方程，且满足条件分别为
（1）使x的系数为false；
（2）使方程的一边为falsex＋１.
??
参考答案
填空题
1.加上4 2x=5 除以2 false
2.减去(2x-10) 等式性质1 乘以(-3) －false
3.8 4.5 等式性质1 5.－y 等式性质1 6.－3y 等式性质2 7.b+c 等式性质1
二、选择题
8.A 9.D 10.B 11.D 12.C 13.D 14.D 15.A 16.C
三、解答题
17.195false
18.①falsex－1=1 ②false+1=false