§ 24.1.2 垂直于弦的直径（共两课时）

(共34张PPT)
§ 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第1课时）
难点：垂径定理的题设和结论的区分，垂径定理的应用
重点：垂径定理
实践探究
　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
活 动 二
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧:AC=BC,AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC , AD分别与BC 、BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
[验证篇]
⌒
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，
AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。因此
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直径CD平分弦
AB，并且平分AB及ACB
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
⌒
⌒
⌒
⌒
叠合法
The exploration discovered
·
O
A
B
C
D
E
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
CD⊥AB
∵ CD是直径，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
提示:
垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
[结论篇]
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。
O
E
D
C
B
A
The exploration discovered
判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！
我学习，我快乐
Ramming foundation
练习
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
我成功，我快乐
变式1：AC、BD有什么关系？
O
A
B
C
D
变式2：AC＝BD依然成立吗？
变式3：EA＝____, EC=_____。
变式4：______ AC=BD.
变式5：______ AC=BD.
Ramming foundation
学会作辅助线
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。
Ramming foundation
O
·
A
B
E
变形2、CE=8,DE=2,则AB= 。
D
C
变形1、AB=8,CD=10,则圆心O到AB的距离
是 。
变形3、CD=10,AB=8,则DE= 。
3
8
2
若CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E,
∟
到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
垂径定理的应用——构建直角三角形
·
O
A
B
C
R
d
2
a
半弦 AC=
半径 OA=R
弦心距 OC=d
2
2
2
2
a
d
R
）
（
+
=
弓高为h
h=R±d
如图，两个圆都以点O为圆心，
求证:AC=BD．
O
·
A
B
·
C
D
活动4
§ 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第2课时）
难点：垂径定理推论的题设和
结论的区分
知识点: 1.圆的对称性
2.垂径定理及其推论应用
重点：垂径定理的推论
§ 24.1.2 垂直于弦的直径（ 第2课时）
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，
CD ⊥AB，求证：CD是直径，
AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
C
.
O
A
E
B
D
C
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧。
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，
并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理
记忆
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。
题设
结论
①直线CD经过圆心O
②直线CD垂直弦AB
③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？
① ③
②④⑤
② ③
① ④⑤
① ④
②③ ⑤
②④
① ③ ⑤
①②⑤
①②④
④⑤
①②③
③④
③
⑤
Upper formation building
垂径定理及推论
●O
A
B
C
D
M└
条件 结论 命题
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
Upper formation building
填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。
C
O
B
A
M
N
我能行！
Upper formation building
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。



A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
O
(2)
A
B
C
D
O
(3)
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。
（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。



A
B
C
O
(4)
A
B
C
D
O
(5)
A
B
C
D
O
(6)
E
（7）平分弦的直径垂直于弦

填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.
。O
A
E
D
C
B
。 O
A
B
第1题图
第2题图
AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD）
2
4
H
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
。O
C
D
B
A
A
2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。
Solves the problem
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
∴
∵ OE⊥AC OD⊥AB
在△ABC中，∠C=900，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
C
∟
B
D
A
变形4、若⊙O的直径为10，弦AB=8，E是AB上任意一动点,则OE的最小值是 。
O
·
A
B
3
变形5、线段OE长的取值范围的是 。
3≤OM≤5
变形5、半径为5的⊙O内有一点P,且OP=3,则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 。
O
·
A
B
8
10
我发现了……
我学会了……
我的体会是……
我的困难是……
我……
Summary resonsideration
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.