第15讲 一元一次方程的解法 讲义（含答案）

教师讲义
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
一元一次方程的解法
教学目的
熟练应用等式的性质解一元一次方程
根据解方程的基本步骤,灵活、准确的解一元一次方程
理解并熟练应用移项和去括号的概念
教学内容
一、日校回顾
二、上节课知识点回顾
三、知识梳理
（一）、移项：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项.
（二）去括号法则： 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变。
（三）、解一元一次方程的一般步骤：
步骤
名称
方 法
依 据
注意事项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数(即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数
等式性质2
1.不含分母的项也要乘以最小公倍数;2.分子是多项式的一定要先用括号括起来
2
去括号
去括号法则(可先分配再去括号)
乘法分配律
注意正确的去掉括号前带负号的括号
3
移项
把未知项移到方程的一边(左边),常数项移到另一边(右边.)
等式性质1
移项一定要改变符号
4
合并同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
整式的加减；
有理数的加法法则
单独的一个未知数的系数为“false1”
5
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
6
检根false
方法：把false分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
（1）若左边false右边，则false是方程的解；
（2）若左边false右边，则false不是方程的解。
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。
四、典型例题
（一）一元一次方程的解
【例1】已知3是关于x的方程2x-a=1的解，则a的值是（　　）
A、-5 B、5 C、7 D、2
【例2】若关于x的一元一次方程 2x-k/3-x-3k/2=1的解是x=-1，则k的值是（　　）
A、?27 B、1 C、 -13/11 D、0
【例3】请写出一个解为x=2的一元一次方程：
【例4】已知5是关于x的方程3x-2a=7的解，则a的值为 .
【例5】（1）已知：单项式-mxy1-m与-3xy2（m+1）+5是同类项，求当x=- 12，y=-4时，代数式-mxy1-m-3xy2（m+1）+5的值．（2）已知x=-1是方程m（x+2）-1= 12（m-x）的解，求m的值．
【例6】已知关于x的一元一次方程3kx+k=8的解是x=1，求k的值．
同步练习
1. 若x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，则m的值为（　　）
A、-1 B、0 C、1 D、?13
2. 已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m，则m的值是（　　）
A、2 B、-2 C、?27 D、-?27
3.若k是方程2x+1=3的解，则4k+2= .
4.写出满足下列条件的一个一元一次方程：①未知数的系数是 12；②方程的解是3，这样的方程可以是： .
5.若x=2是方程ax2+2x-8=0的一个解，则a= .
6.已知（a-3）x|a|-2+6=0是关于x的一元一次方程，则方程的解为 .
7.当n为何值时，关于x的方程 2x+n3+1=1-x2+n的解为0？
参考答案：
【例1】解：∵3是关于x的方程2x-a=1的解，∴3满足关于x的方程2x-a=1，∴6-a=1，解得，a=5．故选B．
【例2】解：把x=-1代入方程得： -2-k3- -1-3k2=1，解得：k=1故选B．
【例3】解：∵x=2，∴根据一元一次方程的基本形式ax+b=0可列方程：2x-1=3．（答案不唯一）
【例4】解：∵x=5是关于x的方程3x-2a=7的解，∴3×5-2a=7，解得：a=4．故填：4．
【例5】解：（1）1-m=2（m+1）+5，解得m=-2．当x=- 12，y=-4，m=-2时，原式=2xy3-3xy3=-xy3=-（- 12）×（-4）3=-32．（2）把x=-1代入原方程得：m（-1+2）-1= 12（m+1），解得：m=3．
【例6】解：把x=1代入原方程得：3k+k=8解得：k=2．∴k的值为2．
1. 解：∵x=2是关于x的方程2x+3m-1=0的解，∴2×2+3m-1=0，解得：m=-1．故选A．
2. 解：由题意得：x=m，∴4x-3m=2可化为：4m-3m=2，可解得：m=2．故选A．
3. 解：由题意得：2x+1=3，解方程得：x=1，则k=1，∴4k+2=4+2=6．故填：6．
4. 解：此题答案不唯一，如：-x=-3，-x+3=0都是正确的．
5. 解：∵x=2是方程ax2+2x-8=0的一个解∴原方程变为一元一次方程4a+4-8=0，解得：a=1．故填：1．
6. 解：由一元一次方程的特点得：|a|-2=1∴|a|=3，∴a=3或-3，又a-3≠0，∴a≠3，∴a=-3，代入原方程得：-6x+6=0，解得x=1．故填：x=1．
7. 解：把x=0代入方程?2x+n3+1=1-x2+n得：?n3+1=?12+n，去分母得：2n+6=3+6n，∴n=?34，即当n=?34时，关于x的方程?2x+n3+1=1-x2+n的解为0．
（二）解一元一次方程
【例1】已知：a=-a，则数a等于（　　）
A、0 B、-1 C、1 D、不确定
【例2】若（a-1）：7=4：5，则10a+8之值为何（　　）
A、54 B、66 C、74 D、80
【例3】方程3x-1=x的解为 .
【例4】 若代数式3x+7的值为-2，则x= .
【例5】依据下列解方程?0.3x+0.50.2=2x-13的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为?3x+52=2x-13（ ）
去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（ ）
去括号，得9x+15=4x-2．（ ）
（ ），得9x-4x=-15-2．（ ）
合并，得5x=-17．（ ）
（ ），得x=?-17/5．（ ）
【例6】解方程6（x-5）=-24．




【例7】解下列方程：（1）5（x+8）=6（2x-7）+5； （2） x+24-2x-36=1


同步练习
1.方程3x-1=0的根是（　　）
A、3 B、?13 C、-?13 D、-3
2. 方程3x+6=0的解的相反数是（　　）
A、2 B、-2 C、3 D、-3
3. 把方程3x+?2x-13=3-x+12去分母正确的是（　　）
A、18x+2（2x-1）=18-3（x+1） B、3x+（2x-1）=3-（x+1）
C、18x+（2x-1）=18-（x+1） D、3x+2（2x-1）=3-3（x+1）
4. 如果2x-1=3，3y+2=8，那么2x+3y= .
5. 若2x-3与-?13互为倒数，则x=. .
6. 方程3=x-5的解是x= .
7.解方程：5（x-5）+2x=-4
8. 解方程：2x+1=7
9. 解方程：
（1）4（2x+3）=8（1-x）-5（x-2）； （2）?x-10.3-x+20.5=1.2
参考答案
【例1】解：因为a=-a，所以a+a=0，即2a=0，则a=0，故选：A．
【例2】解：（a-1）：7=4：5，即5（a-1）=28，去括号、移项得：5a=33，系数化1得：a=?33/5，把a=?33/5代入10a+8得：10×?33/5+8=74，故选：C．
【例3】解：3x-1=x，2x=1，x= 12．故答案为：x= 12．
【例4】解：∵代数式3x+7的值为-2，
∴3x+7=-2，移项得：3x=-2-7，
合并同类项得：3x=-9，
化系数为1得：x=-3．
故填：-3．
【例5】解：原方程可变形为?3x+52=2x-13?（分式的基本性质）
去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）．（等式性质2）
去括号，得9x+15=4x-2．（去括号法则或乘法分配律）?
（移项），得9x-4x=-15-2．（等式性质1）?
合并，得5x=-17．（合并同类项）
（系数化为1），得x=?-175．（等式性质2）
【例6】解：方程两边同时除以6得：x-5=-4，
移项得：x=5-4，
即x=1．
【例7】解：（1）去括号得：5x+40=12x-42+5，
移项合并同类项得：-7x=-77，
系数化为1得：x=11；
（2）去分母得：3（x+2）-2（2x-3）=12，
去括号得：3x+6-4x+6=12，
移项合并同类项得：-x=0，
系数化为1得：x=0．
1. 解：移项得：3x=1，化系数为1得：x= 13，故选B．
2. 解：方程3x+6=0移项得，3x=-6，系数化为1得，x=-2；则：-2的相反数是2．故选A．
3. 解：去分母得：18x+2（2x-1）=18-3（x+1）．故选A．
4.解：由2x-1=3．解得x=2．由3y+2=8，解得y=2；那么：2x+3y=2×2+3×2=10．故填10．
5. 解：- 13的倒数是-3，∵2x-3与- 13互为倒数，∴2x-3=3，解得：x=0．故填0．
6. 解：移项得：x=3+5=8，故填8．
7. 解：去括号得：5x-25+2x=-4
移项得：7x=21
系数化为1得：x=3
8. 解：原方程可化为：2x=7-1
合并得：2x=6
系数化为1得：x=3
9. 解：（1）去括号得：8x+12=8-8x-5x+10，
移项，合并同类项得：21x=6，
系数化1得：x=?27；
（2）整理可得：?10x-103-?10x+205=0.12
去分母得：50x-50-30x-60=1.8
解得：x=5.9．
（三）含绝对值符号的一元一次方程
【例1】已知方程|x|=2，那么方程的解是（　　）
A、x=2 B、x=-2 C、x1=2，x2=-2 D、x=4
【例2】若关于x的方程|x|=2x+1的解为负数，则x的值为（　　）
A、?-14 B、?-13 C、?-12 D、-1
【例3】若|x-2|=3，则x的值是（　　）
A、1 B、-1 C、-1或5 D、以上都不对
【例4】解方程?|1-x/2|=3，则x= .
【例5】 已知关于x的方程3x+8-|k|=0的根是-2，则k= .
【例6】 方程|x-5|+x-5=0的解的个数为 个．
【例7】解方程： |2x-3-2x-42|=2．
【例8】已知关于x的方程mx+2=2（m-x）的解满足|x-?12|-1=0，求m的值．
同步练习
1. 已知|2-?23x|=4，则x的值是（　　）
A、-3 B、9 C、-3或9 D、以上结论都不对
2. 方程|3x|=15的解的情况是（　　）
A、有一个解，是5 B、无解 C、有无数个解 D、有两个解，是±5
3. 使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（　　）
A、-2 B、0 C、?23 D、不存在
4. 方程|x-3|=1的解为 .
5. 关于方程|x-3|+4=5的解为 .
6. 若x+y=2，|x|=8，则y的取值为 .
7. 解方程 2|x-1|-53=1
8. 解方程：|3x|=1．
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程3x=1，它的解是：?x=13；
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程-3x=1，它的解是：?x=-13．
所以原方程的解是：?x1=13，?x2=-13．
仿照例题解方程：|2x+1|=5
9. 解方程|4x+2|=x-1
【例1】解：因为|x|=±x，所以方程|x|=2化为整式方程为：x=2和-x=2，解得x1=2，x2=-2，故选C．
【例2】解：①当x≥0时，去绝对值得，x=2x+1，得x=-1，不符合预设的x≥0，舍去．②当x＜0时，去绝对值得，-x=2x+1，得x=-?13．故选B．
【例3】解：∵|x-2|=3，∴x-2=±3，∴x=-1或5．故选C．
【例4】解：根据绝对值的意义，将原方程可化为：（1）?1-x2=3；（2）?1-x2=-3．解（1）得x=-5，解（2）得x=7．故填-5或7．
【例5】解：x=-2代入方程3x+8-|k|=0得：（-2）×3+8-|k|=0，故|k|=2，解得：k=±2．故填±2．
【例6】解：由方程|x-5|+x-5=0，得出：|x-5|=5-x≥0，即x≤5，故原方程可化为：5-x+x-5=0恒成立，∴原方程有无数多个解．故答案为：无数．
【例7】解：?|2x-3-2x-42|=2，
化简2x-3-?2x-42=2???①或2x-3-?2x-42=-2?? ②．
解①得x=3；解②得x=-1．
∴原方程的解为x=3或-1．
【例8】解：由|x- 12|-1=0，
可得： x=32或 x=-12，
①当 x=32时，m=10，
②当 x=-12时， m=25，
故m的值为10或 25．
1. 解：∵|2- 23x|=4，∴2- 23x=4或2- 23x=-4，解得：x=-3或9；故选C．
2. 解：绝对值是15的数有±15，∴3x=15或3x=-15，得到x=5或x=-5．故选D．
3. 解：要使方程3|x+2|+2=0成立，则可得：|x+2|=?-23，根据绝对值的非负性，即可得知使方程3|x+2|+2=0成立的x不存在．故选D．
4. 解：原方程可化为x-3=1①，x-3=-1 ②解①得x=4，解②得x=2．故填4或2．
5. 解：移项得：|x-3|=5-1∴|x-3|=1∴x+3=±1即x+3=1或x+3=-1解得x=4或2．故填4或2
6. 解：∵|x|=8，∴x=±8；当x=8时得8+y=2，解得：y=-6；当x=-8时得到-8+y=2，解得y=10．故填-6或10
7. 解：去分母2|x-1|-5=3
移项2|x-1|=8
|x-1|=4
∴x-1=4或x-1=-4
解得x=5或x=-3．
故方程的解为x=5或x=-3．
8. 解：①当2x+1≥0时，
原方程可化为2x+1=5，
解得x=2；
②当2x+1＜0时，
原方程可化为-（2x+1）=5，
解得x=-3．
所以原方程的解是：x1=2；x2=-3．
9. 解：4x+2=x-1或4x+2=-（x-1），
解得x=-1或x= -15．
又因为x-1≥0，
即x≥1，
所以原方程无解
（四）同解方程
【例1】若方程3（2x-2）=2-3x的解与关于x的方程6-2k=2（x+3）的解相同，则k的值为（　　）
A、?59 B、-?89 C、?53 D、-?53
【例2】关于x的方程2x-4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（　　）
A、10 B、-8 C、-10 D、8
【例3】如果方程3x-4=0与方程3x+4k=12的解相同，则k= .
【例4】如果关于x的方程2x+1=3和方程?2-(k-x)/3=0的解相同，那么k的值为 .
【例5】已知关于x的方程6x+a=12与方程3x+1=7的解相同，求a的值．
【例6】若关于x的方程2x-3=1和?x-k/2=k-3x有相同的解，求k的值．
同步练习
1. 下列各组方程中，解相同的方程是（　　）
A、x=3与4x+12=0 B、x+1=2与（x+1）x=2x
C、7x-6=25与?7x-15=6 D、x=9与x+9=0
2. 如果方程 13x=1与2x+a=ax的解相同，则a的值是（　　）
A、2 B、-2 C、3 D、-3
3. 如果方程3x=9与方程2x+k=-1的解相同，则k= .
4. 关于x的两个方程5x-3=4x与ax-12=0的解相同，则a= .
5. 若方程3x-5=4和方程?1-3a-x/3=0的解相同，则a的值为多少？
6. 理解同解方程的定义，再解题：
（1）同解方程的定义为：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫同解方程；反之如果两个方程是同解方程，那么这两个方程的解是一样的；例如x+1=4与x+51=54的解都是x=3，这两个方程是同解方程；
（2）已知方程4x-a=1与方程 13x+（a+2）=3x+2都是关于x的方程，且这两个方程的解相同，求它们的解．
参考答案
【例1】解：3（2x-2）=2-3x得：x=?89把x=?89代入方程6-2k=2（x+3）得：6-2k=2（?89+3）解得：k=?-89．故选B．
【例2】解：由2x-4=3m得：x=?3m+42；由x+2=m得：x=m-2由题意知?3m+42=m-2解之得：m=-8．故选B．
【例3】解：解方程3x-4=0得：x=?4/3，解方程3x+4k=12得：x=?12-4k/3由题意得：?12-4k/3=?4/3解得：a=2．
【例4】解：∵2x+1=3∴x=1又∵2-?(k-x)/3=0即2-?(k-1)/3=0∴k=7．
【例5】解：方程6x+a=12，解得，x=2-?a/6，解方程3x+1=7得，x=2，
又因为已知关于x的方程6x+a=12与方程3x+1=7的解相同，
所以2=2-?a/6，
解得：a=0．
【例6】解：2x-3=1，解得x=2，
把x=2代入?x-k/2=k-3x得，
2-k/2=k-3×2，
解得，k=?14/3．
1. 解：A、把x=3代入4x+12=0，左右两边不等，因而x=3不是方程的解，B、第一个方程是一元一次方程，只有一个解，第二个方程是二次方程，有两个解，因而两个方程的解也不同；C、这两个方程的解都是x=?317，因而两个方程的解相同．解相同的方程是7x-6=25与?7x-15=6．D、把x=9代入x+9=0，左边≠右边，故不相同；故选C
2. 解：解第一个方程得：x=3，解第二个方程得：x=?a/(a-2)∴?a/(a-2)=3解得：a=3故选C．
3. 解：解3x=9得，x=3，把x=3代入2x+k=-1，解得k=-7．
4. 解：解方程5x-3=4x，得x=3，把x=3代入ax-12=0，得3a-12=0，解得a=4．故填：4．
5. 解：3x-5=4，解得：x=3，
∵3x-5=4与方程 1-3a-x3=0的解相同，
∴把x=3代入 1-3a-x3=0中，
即得：3-3a+3=0，
解得：a=2．
6. 解：解方程4x-a=1得：x= 1+a/4…①
解方程 13x+（a+2）=3x+2得：x= 3a/8…②
由于①和②是同解方程，
∴ 1+a/4=3a/8，
解得：a=2，
把a=2代入4x-a=1得：4x-2=1，
解得： x=3/4．
五、课堂小结
学生总结，老师补充
六、家庭作业
一、选择题：
1.解方程6x+1=-4，移项正确的是（ ）
A. 6x=4-1 B. -6x=-4-1 C.6x=1+4 D.6x=-4-1
2. 解方程-3x+5=2x-1, 移项正确的是（ ）
A.3x-2x=-1+5 B.-3x-2x=5-1 C.3x-2x=-1-5 D.-3x-2x=-1-5
3.方程4（2-x）-4（x）=60的解是（ ）
A. 7 B. C.- D.-7
4.如果3x+2=8,那么6x+1= （ ）
A. 11 B.26 C.13 D.-11
5.如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a= （ ）
A. B. C. - D.-
6.若与-5b2a3n-2是同类项，则n=（ ）
A. B. -3 C. D.3
7.已知y1=,若y1+y2=20,则x=( )
A.-30 B.-48 C.48 D.30
二、填空题：
8.如果方程5x=-3x+k的解为-1，则k= 。
9. 如果方程3x+2a=12和方程3x-4=2的解相同，那么a=
10.三个连续奇数的和未21，则它们的积为
11.要使与3m-2不相等，则m不能取值为
12.若2x3-2k+2k=41是关于x的一元一次方程，则x=
13.若x=0是方程2002x-a=2003x+3的解，那么代数式的值是-a2+2
三、解答题：解下列方程
（1）3x-7+4x=6x-2
（2）-
（3）(x+1)-2(x-1)=1-3x
(4) 2(x-2)-6(x-1)=3(1-x)
参考答案：
一、选择题：1. D 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D 7.B
二、填空题：8，k= -8 9，a=3 10，315 11，m≠1 12， x= 13，29
三、解答题，（1）x=5 （2）x= -22 （3）x= -1 （4）x= -6