第16讲 列一元一次方程解应用题（1） 讲义（含答案）

教师讲义
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
列一元一次方程解应用题（1）
教学目的
理解日历中有关日期之间的数量关系
能根据具体时间中的数量关系列出方程
能够通过分析图形问题中的数量关系,运用方程解决问题.
教学内容
一、日校回顾
二、上节课知识点回顾
三、知识梳理
(一)、日历问题
1.日历中存在的数量关系
在日历上，一个月的日期中最小的数为1，最大的数由各月决定，一般为30或31，二月是28或29；每一横行相邻两个数之间相差1，每一竖列相邻两个数之间相差7；左下右上方向相邻两个数之间相差8，右上左下方向相邻两个数之间相差6.
2.一元一次方程解的合理性
在列方程解实际问题时，求出解后要注意验证所求的解是否符合实际意义.若符合，说明这就是要求的解；若不符合，则说明这个问题无解.
3.列方程解应用题的方法和步骤
（1）要明确已知是什么，未知是什么，他们之间有何关系，并用x表示题中的一个合理未知数.
（2）根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（关键一步）.
（3）根据相等关系，正确列出方程，方程两边的代数式的单位要相同.
（4）求出未知数的值.
（5）检验后明确、完整地写出答案.
（二）图形问题
1.相关公式
长方体体积=长宽高
圆柱体积=
长方形周长=2（长+宽），长方形面积=长宽.
2.形积变化问题
对于这类问题，虽然形状、面积和体积都可能发生变化，但应用题中仍然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的等量关系找出来，然后根据这个等量关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况：
形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为变化前后体积相等.
形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为变化前后周长相等.
形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系.
四、典型例题及同步练习
（一）日历问题
【例1】在月历中，一个竖列上相邻的三个数，设中间一个数为x，则其余两个分别为 和 ．
【例2】在日历上，已知三个相邻数（横）的和为90，求这三天分别是几号？
【例3】用一个正方形框架在日历上套出2×2个数，这4个数的和为76，这四个数分别是多少？
【例4】爸爸妈妈带小新去旅游，小新问几号出发．爸爸说：“哪一天与它前一天与后一天的日期总和是60时，我们出发．”
（1）爸爸所说的表示日期的3个数字有何关系？
（2）如果设中间一个为未知数x．那么其余两个如何表示？ ，所列方程为 ，
（3）如果设第一个数为未知数x，那么其余两个如何表示？ ，所列方程为 .
（4）还可以设哪一个未知数x ，列方程为 ，
（5）爸爸他们几号出发？ ．
【例5】、在某月的日历上，若一个竖列上相邻3个数之和为55，能求出这三个数吗？为什么？
【例6】右表为某月的月历．
（1）在此月历上用一个矩形任意圈出2×3个数，如果圈出的6个数之和为69，这6天分别是几号？
（2）观察此月历，你还能提出其他的问题吗？
同步练习：
1. 爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说：“在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷的年龄”．那么小莉的爷爷的生日是在（　　）
A、16号 B、18号 C、20号 D、22号
2.小明在假期里参加了四天一期的夏令营活动，这四天各天的日期之和为86，则夏令营的开营日为（　　）
A、20日 B、21日 C、22日 D、23日
3. 小华在某月的日历中圈出几个数，算得这三个数的和为36，那么这几个数的形式可能是（　　）
A、 B、 C、 D、
4. 设最小的数为x，则日历上套出2×2个数中最大的数表示为（　　）
A、x+7 B、x+1 C、x+2 D、x+8
5.日历横行上的相邻3个数的和为24，则这三天分别为 ， ， 号.
6. 三个连续偶数的和为60，则这三个数分别为 、 、 .
7. 在某月的日历中圈出一个2×2的方形圈．这四个数的和是88，则这四个日为 、 、 、
.
8.你能在日历中圈出一个正方形，使正方形所圈出的4个数和为78吗？如果能，那么这4天分别是几号？如果不能，请说明理由．
参考答案：
【例1】解：如图示，以某月份为例，设一个竖列上中间一个数为x，则其上面的数为：x-7，其下面的数为：x+7．故答案为：x-7，x+7．
【例2】解：设中间一个数为x，则它前面的日期为 （x-1），后面的日期为（x+1），根据题意列方程得，（x-1）+x+（x+1）=90，解得x=30，x-1=29，x+1=31．答：这三天分别是 29，30，31号．
【例3】解：设最小的数为x，则其余三个分别为x+1，x+7，x+7+1，根据题意得：x+（x+1）+（x+7）+（x+7+1）=76解方程得：x=15，则其余三数为16，22，23．答：这四个数分别是 15，16，22，23．
【例4】解：（1）每相邻2个数相差1；
（2）如果设中间一个为未知数x．那么其余两个数可表示为 x-1，x+1，所列
方程为 x+（x-1）+（x+1）=60，解得x=20；
（3）如果设第一个数为未知数x，那么其余两个数表示为x+1，x+2，所列方程为 x+（x+1）+（x+2）=60，
（4）设最大的数为x，列方程为 （x-2）+（x-1）+x=60，
（5）20．
故答案为：（1）每相邻2个数相差1；（2）x-1；x+1；x+（x-1）+（x+1）=60；（3）x+1；x+2； x+（x+1）+（x+2）=60；（4）设最大的数为x；（x-2）+（x-1）+x=60；20．
【例5】解：设竖列上相邻的3个数为x-7，x，x+7，
则x-7+x+x+7=55，
得x= 553，
由于 553不为正整数，
所以不可能圈出满足条件的3个数．
【例6】解：（1）设用2×3的长方形左上角的日期为x，其它5个日期分别是（x+1），（x+2），（x+7），（x+8），（x+9），根据题意列方程得，x+（x+1）+（x+2）+（x+7）+（x+8）+（x+9）=69，解得x=7，x+1=8，x+2=9，x+7=14，x+8=15，x+9=16；答：这6天分别为7，8，9，14，15，16．
（2）用一个2×2的正方形圈出的4个数之和是多少？
同步练习：
1. 解：设那一天是x，则左日期=x-1，右日期=x+1，上日期=x-7，下日期=x+7，依题意得x-1+x+1+x-7+x+7=80解得：x=20故选C．
2. 解：设开营日为x日，那么其他三天可表示为x+1，x+2，x+3，根据“四天各天的日期之和为86”，则列方程：x+x+1+x+2+x+3=86，解得：x=20．故选A．
3. 解：第一个图中：设下面的数是x，则上面的数是x-7，右边的是x-6．根据题意得：x+（x-7）+（x-6）=36，解得x= 493不合题意．第二图中：设下面的数是x，则上面的数是x-7，左边的数是x-8．根据题意得：x+（x-7）+（x-8）=36，解得x=17，符合题意．可能是这种形式．第三图中：设下面左边的数是x，则右边的数是：x+2，上面的数是x+1-7=x-6，根据题意得：x+（x+2）+（x-6）=36解得：x= 403，不合题意．第四图中：设下面左边的数是x，则上边左边的是：x-7-1=x-8右边的数是：x-7+1=x-6根据题意得：x+（x+2）+（x-6）=36解得：x= 403，不合题意．故选B．
4. 解：以某月为例，任意套出2×2个数，因为每一竖列上的数字呈现的规律是自上而下依次大7，所以设最小的数为x，最大的数为x+8．故选D．
5. 解：设中间的那个为x，则第一个就为x-1，第三个就为x+1，
依题意得：（x-1）+x+（x+1）=24
解得：x=8，
即第一个数为7，第三个数为9．
则这三天分别为7，8，9号．
6. 解：设中间的一个为x，
由题意得：x+（x-2）+（x+2）=60
解得：x=20．
故答案为18，20，22．
7. 解：设方形圈左上角的那个数为x，则它后面的数为x+1，它下面的数为x+7，最后的数为x+7+1，
则x+（x+1）+（x+7）+（x+7+1）=88
解得x=18，则第二个数为19，第三个数为25，第四个数为26．
则这四个日期为18，19，25，26．
8. 解：假设能找出这样的一个正方形，
设在左上角的数字为x，则另外三个数字应为x+1、x+7、x+8；
则应有：x+x+1+x+7+x+8=78，即：4x=62，
解得：x=15.5，日历不可能存在小数部分，
故假设不成立，不能找出这样的正方形，
故不能圈出这样一个正方形．
（二）、图形问题
【例1】小明在一次登山活动中捡到一块矿石，回家后，他使用一把刻度尺，一只圆柱形的玻璃杯和足量的水，就测量出了这块矿石的体积．如果他量出玻璃杯的内直径是d，把矿石完全浸没在水中，测出杯中水面上升的高度为h，则小明的这块矿石体积是（　　）
A、d2h B、d2h C、πd2h D、4πd2h
【例2】长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m而长减少了5m，那么面积增加15m2，设长方形原来的宽为xm，所列方程是（　　）
A、（x+4）（3x﹣5）+15=3x2 B、（x+4）（3x﹣5）﹣15=3x2
C、（x﹣4）（3x+5）﹣15=3x2 D、（x﹣4）（3x+5）+15=3x2
【例3】巩固练习：用一根长为12米的铁丝围成一个长方形．
使得该长方形的长比宽多2米，此时长方形的长、宽各为多少米？面积为多少？
使得该长方形的长比宽多1.6米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中的长方形面积相比又有什么变化？
【例4】把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢．求锻造后的圆钢的长为　_________　．
【例5】小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱体体积的2.5倍，那么大圆柱的高是多少？
【例6】墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如右图实线所示．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如右图虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
【例7】一捆粗细均匀钢丝，重量为132kg，剪下35米后，余下的钢丝重量为121kg，求原来这根钢丝的长度．
【例8】将一个长、宽、高分别为15cm，12cm和8cm的长方形钢块锻造成一个底面边长为12cm的正方形的长方体零件钢坯，试问锻造前长方体的钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你计算比较．
同步练习
1.内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm，内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（　　）
A、150mm B、200mm
C、250mm D、300mm
2.一小圆柱形油桶的直径是8cm，高为6cm，另一大圆柱形的油桶的直径是10cm，且它的容积是小圆柱的油桶容积的2.5倍，如果设大圆柱油桶的高为xcm，可建立方程为　_________　．
3.从一个直径为12cm的圆柱形茶壶向一个直径为6cm，高12cm的圆柱形茶杯倒水，茶杯中水满后，茶壶中水的高度下降了　_________　cm．
三角形的周长是84cm，三边长的比为17：13：12，则这个三角形最短的一边长为　_________　cm．
5.一个底面直径6cm，高为50cm的“瘦长”形圆柱钢材锻压成底面直径10cm的“矮胖”形圆柱零件毛坯，高变成多少？
（1）本题用来建立方程的相等关系为　_________　．
（2）设　_________　填表：
（3）列出方程　_________　解得方程_________cm．
6.用直径为4cm的圆钢，铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取的圆钢长　_________　cm．
7.一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，若它的高是xcm，则可列方程　_________　．
8.要锻造一个直径20cm，高16cm的圆柱形毛坯，应截取直径16cm的圆钢　_________　cm．
9.直径为4cm的圆钢，截取　_________　cm才能锻造成重量为0.628kg的零件毛坯（每立方厘米重6g，π取3.14）．
10．把一个半径为3cm的铁球熔化后，能铸造　_________　个半径为1cm的小铁球（球的体积为）．
11.一张覆盖在圆柱形罐头侧面的商标纸，展开是一个周长为88cm的正方形（不计接口部分），这个罐头的容积是　_________　cm2（精确到1立方厘米，π取3.14）．
【例1】解：根据圆柱的体积公式可得这块矿石的体积为：．故选A．
【例2】解：设长方形原来的宽为xm，则原来的长为3xm；现在的宽为4+xm，现在的长为3x﹣5m，根据变化后“面积增加15m2”，可得出3x×x+15=（4+x）（3x﹣5）；即（x+4）（3x﹣5）﹣15=3x2故选B．
【例3】解：（1）设此时长方形的宽为x米，则它的长为x+2米，根据题意得：2（x+x+2）=12，解得：x=2（米）；则长方形的长为x+2=4（米）；所围成的长方形面积这2×4=8（平方米）．答：它所围成的长方形的长为4米，宽为2米，此时所围成的长方形面积为8平方米．
（2）设长方形的宽为y米，则它的长为x+1.6米，根据题意，得：2（x+x+1.6）=12，解得：x=2.2（米），则长方形的长为2.2+1.6=3.8（米），此时所围成的长方形面积为：3.8×2.2=8.36平方米；此时与（1）中所围成的长方形的面积相比，8.36﹣8=0.36（平方米），即比（1）中的长方形的面积大0.36平方米．答：它所围成的长方形的长为4米，宽为2米，此时所围成的长方形面积为8.36平方米，比（1）中的长方形的面积大0.36平方米．
（3）设正方形的边长为z米，根据题意，得：4x=12，解得：x=3（米），此时所围成的正方形的面积为3×3=9（平方米）答：此时正方形的边长是3米，它所围成的正方形的面积比（1）（2）中长方形的面积都大．
【例4】解：设锻造后的圆钢的长为xcm，则V=πr2h=π?32×16=π?42×x∴16x=16×9∴x=9故填：9cm．
【例5】解：设大圆柱的高是x厘米．π×（）2×x=2.5×π×（）2×6，解得x=5.4．答：大圆柱的高是5.4厘米．
【例6】解：长方形的一边为10厘米，故设另一边为x厘米．根据题意得2×（10+x）=10+10+10+6+10+6，解得x=16．答：小颖所钉长方形的长为16厘米、宽为10厘米．
【例7】解：设原来这根钢丝的长度为x米，则：∵钢丝粗细均匀∴钢丝的密度为kg/m∵剪下35米后，余下的钢丝重量为121kg∴可得出关于x的一元一次方程：（x﹣35）×=121解之可得：x=420米答：原来这根钢丝的长度420米．
【例8】解：设底面边长为12cm的正方形的长方体零件钢坯的高为xcm．15×12×8=12×12×x，解得x=10，
∴锻造前长方体的钢块表面积为2×（15×12+15×8+12×8）=792；锻造后的长方体零件钢坯表面积2×（12×12+12×10+12×10）=768；∴锻造前长方体的钢块表面积大．
同步练习：
1.解：设玻璃杯内高为x，依据题意得：π×x=π×32解得x=200mm，故选B．
2.解：设设大圆柱油桶的高为xcm，则大圆柱形油桶的容积为：π×52×x，小圆柱形油桶的容积为π×42×6，根据等量关系列方程得：π?52x=2.5π×42×6．
3.解：设茶壶中水的高度下降了xcm．9π×12=36π×x解得x=3∴茶壶中水的高度下降了3cm．故填3．
4.解：设三边长度分别为：17x，13x，12x，则17x+13x+12x=84，解得：x=2．∴最小边12x=24．故填24cm．
5.解：（1）本题用来建立方程的相等关系为V锻压前=V锻压后．
（2）设高为xcm，则锻压前底面半径R=cm，高H=50cm，则V=π（）250；锻压后底面半径R=cm，高H=xcm，则V=πx．
（3）根据等量关系列出方程得：π?（）2?50=πx，解方程得：x=18cm．
6.解：设截取的圆钢长xcm．根据题意得：，解得：x=12．故填12．
7.解：设圆柱的高是xcm，则圆柱的体积为：1.52?xcm3，长方体的体积为：4×3×2cm3，根据等量关系列方程得：4×3×2=π?1.52?x．
8.解：设应截取直径16cm的圆钢xcm，由题意得：π×102×16=π×64?x解得：x=25．故填25．
9.解：0.628kg=628g3.14×（4÷2）2=12.56（cm2），628÷6÷12.56=8.33（cm）．∴截取8.33cm才能锻造成重量为0.628kg的零件毛坯．
10.解：设能铸造x个小铁球，根据题意得：解得：x=27故填27．
11.解：根据题意可知，圆柱形罐头底面周长=高=88÷4=22 cm，利用底面周长求出底面半径r==．所以罐头的容积=π?×22=≈848cm2．
五、课堂小结
学生总结，老师补充
六、家庭作业
一、填空题
1.在一本挂历上，圈住四个数，这四个数恰好构成一个正方形，且它们的和为48，则这四个数为________.
2.有一根长12米的绳子围成了一个长方形，长为5米，将长减少_______米，它就成了一个“胖胖”的正方形.
3.有若干张卡片，上面写有数字，且后一张卡片比前一张的数大8，有一只小狗叼走了相邻的三张卡片，且它们之和为48，则这三张卡片上的数分别是________.
4.将一个底面积为28.26平方厘米，高为10厘米的铁盒锻压成底面积为78.5的“胖”铁盒，此时的高为_______.
二、判断题
1.锻压前的体积等于锻压后的体积. （ ）
2.在日历上任意相邻的两个数之差为1. （ ）
3.“胖”的物体比“瘦”的物体体积大. （ ）
4.在日历上用正方形圈住4个数的和是10. （ ）
三、选择题
1.在日历上横着每两个数的差为________，竖着的差为________.（ ）
A.1,8 B.1,7 C.2,8 D.2,7
2.用一根长为10厘米的铁丝围成一个长方形，如果它的长比宽多1.4厘米，则这个长方形的面积为（ ）
A.5.76 B.4.76平方厘米 C.5.76平方厘米 D.4.76
3.小明比小芳糖的3倍还多10块，它们糖数之和为30块，那么小芳有糖（ ）
A.5块 B.6块 C.7块 D.8块
4.设最小的数为x,则日历中它所在的正方形中最大数表示为（ ）
A.x+7 B.x+1 C.x+2 D.x+8
四、解答题
1.在一本日历上，用一个长方形竖着圈住6个数，且它们的和为129，则这六个数分别为多少？
2.将一个底面半径是5厘米，高为10厘米的冰淇淋盒改造成一个直径为20厘米的圆柱体，若体积不变，高为多少？
3.将一个底面直径是10厘米、高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？
假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有如下的等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积．
解：设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表：
根据等量关系，列出方程：　_________　
解得x=　_________　
答：高变成了　_________　厘米．
参考答案
一、1.8，9，15，16 2.2 3.8，16，24 4.3.6 cm
二、1.√ 2.× 3.× 4.×
三、1.B 2.C 3.A 4.D
四、1.14 15 21 22 28 29 2.2.5厘米
3.解：锻压前的底面半径为10÷2=5cm，锻压后的半径为20÷2=10cm；
锻压前的高为36cm，锻压后的高为xcm；
锻压前的体积为π×（10÷2）2×36；锻压后的体积为π×（20÷2）2×x；
∴列出方程为π×（10÷2）2×36=π×（20÷2）2×x，
解得x=9，
答：高变成了9厘米．
故答案为π×（10÷2）2×36=π×（20÷2）2×x；9；9．