2021-2022学年北师大版八年级数学上册 第1章 勾股定理 综合能力达标测评（Word版 含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》综合能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（　　）
A．∠BAC＝90°
B．∠BAD＝90°
C．∠ABD＝90°
D．∠ADB＝90°
2．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．1.5，2，3
B．3，4，5
C．6，8，10
D．5，12，13
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝13，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为（　　）
A．25
B．144
C．150
D．169
4．如图一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　）
A．26尺
B．24尺
C．17尺
D．15尺
5．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
6．如图，在△ABC中，AB⊥BC，其中AC＝2.5，AB＝1，P是BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为（　　）
A．0.5
B．0.7
C．2.3
D．2.8
7．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．0≤h≤12
B．12≤h≤13
C．11≤h≤12
D．12≤h≤24
8．在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　　）
A．8
B．5
C．6
D．10
9．如图，∠C＝90o，AB＝12，BC＝3，CD＝4，若∠ABD＝90°，则AD的长为（　　）
A．8
B．10
C．13
D．15
10．已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　）
A．12
B．24
C．36
D．48
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．如图，在正方形形成的网格上点A、B、C都在网格线交点上，则∠ACB＝　
　°．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为边BC、AC、AB的长．若a+b＝16，c＝12，则Rt△ABC的面积为
　
　．
13．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为
　
　m．
14．如图，?ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E．F两点，CE、BF交于点G，若AB＝3，BC＝4，则EG2+FG2＝　
　．
15．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
　
　m．
16．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为
　
　．
17．面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为
　
　．
18．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，AB＝13，BC＝12，则这块地的面积为
　
　．
19．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝12，BC＝5，则CD＝　
　．
20．在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则△ABC的周长为
　
　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．一艘轮船从A港向南偏西52°方向航行170km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行210km到达C岛，已知A港到航线BM的最短距离是80km，若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
22．某中学校园有一块四边形草坪ABCD（加图所示），测得∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，求这块四边形草坪的面积．
23．《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其顶端恰好着地，着地处离竹子根部6尺远，问：折处离地还有多高的竹子？（1丈＝10尺）
24．如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）试说明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
25．如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点A'，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗？请说明你的理由．
26．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD＝9m，AD＝12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：∵AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
故选：D．
2．解：A、1.52+22≠32，不能构成直角三角形，故符合题意；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，故不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，
∴AC2+BC2＝AB2＝13，
∵正方形ADEC的面积是AC2，正方形BCFG的面积是BC2，
∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为：AC2+BC2，
∴正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和是169，
故选：D．
4．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
5．解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH＝DE＝6，AD＝AB＝10，
在Rt△ADE中，
AE＝8，
∴HE＝AE﹣AH＝8﹣6＝2，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝HE＝2，
故选：D．
6．解：∵P是BC上任意一点，
∴AB≤AP≤AC，
即1≤AP≤2.5，
故选：C．
7．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是：11cm≤h≤12cm．
故选：C．
8．解：如图，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝，∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
BD＝4，
∴BC＝2BD＝2×4＝8．
故选：A．
9．解：在Rt△BCD中，∠C＝90o，
由勾股定理得：BD＝，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
由勾股定理得：AD＝13，
故选：C．
10．解：设直角三角形两直角边长为a，b，
∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10，
∴24﹣（a+b）＝10，
即a+b＝14，
由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，
∵（a+b）2＝142，
∴a2+b2+2ab＝196，
即100+2ab＝196，
∴ab＝48，
∴直角三角形的面积＝ab＝24，
故选：B．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：连接AB，如图所示：
由题意得：∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
故答案为：45．
12．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：a2+b2＝c2，
∵c＝12，
∴a2+b2＝144，
∵a+b＝16，
∴a2+b2+2ab＝256，
∴ab＝56，
∴Rt△ABC的面积为：ab＝，
故答案为：28．
13．解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8﹣4+1＝5，竖直距离为3+9＝12，
∴AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
故答案为13．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABC+∠DCE＝180°，∠AFB＝∠CBF，∠DEC＝∠BCE，∠ABC+∠DCE＝180°，
∵∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，F两点，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠ABC，∠BCE＝∠DCE＝∠BCD，
∴∠ABF＝∠AFB，∠DCE＝∠DEC，∠CBF+∠BCE＝（∠ABC+BCD）＝90°，
∴AF＝AB，DE＝CD，∠BGC＝90°，
∴AF＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AF＝DE＝AB＝3，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝2，
∵∠EGF＝∠BGC＝90°，
∴EG2+FG2＝EF2＝4．
故答案为：4．
15．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故答案为：17．
16．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝8cm，
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝，
∴t＝．
综上所述：t的值为16或10或．
故答案为：16或10或．
17．解：如图所示：
△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，
则
BC?AD＝48，BD＝CD，
即BC×6＝48，
∴BC＝16，
∴BD＝BC＝8，
∴AB＝10，
故答案为：10．
18．解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝52，
∴AC＝5，
∵AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴这块地的面积为：＝，
故答案为24．
19．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：AB＝13，
由S△ABC＝得：
∴5×12＝13×CD，
∴CD＝．
故答案为：．
20．解：∵AD是中线，AB＝13，BC＝10，
∴BD＝BC＝5．
∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AB＝13，
∴△ABC的周长＝13+13+10＝36，
故答案为：36．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：由题意，得：AD＝80km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得802+BD2＝1702．
∴BD＝150．
∴CD＝BC﹣BD＝210﹣150＝60（km）．
∴AC＝100（km）．
100÷25＝4（h）．
答：轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为4h．
22．解：连接AC，如图：
∵∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC2＝AB2+BC2＝242+72＝625，
∴AC＝25（m）．
又∵CD＝15m，AD＝20m，152+202＝252，即AD2+DC2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝?AB?BC+?AD?DC
＝×24×7+×20×15
＝234（m2）．
答：这块四边形草坪的面积是234m2．
23．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2，
解得：x＝，
答：原处还有
尺高的竹子．
24．解：（1）如图所示，连接BE，
∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AE2﹣CE2＝BC2，
∴BE2﹣CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）Rt△BDE中，BE＝10，
∴AE＝10，
设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，
Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，
Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，
∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，
解得x＝2.8，
∴CE＝2.8．
25．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，
即AB2+72＝252，
所以AB＝24（m），
即这个梯子的顶端距地面的高度AB的长度是24m；
（2）梯子的底端在水平方向滑动了8m．
理由：∵云梯的顶端A下滑了4m至点A′，
∴BA′＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（m），
在Rt△BA′C′中，由勾股定理得BA′2+BC′2＝A′C′2，
即202+BC′2＝252．
所以BC′＝15（m）
CC′＝BC′﹣BC＝15﹣7＝8（m），
即梯子的底端在水平方向滑动了8m．
26．解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝15（m），
∵CD＝9m，AD＝12m，
∴AD2+CD2＝122+92＝225＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，
∴需要绿化的空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB×AC+AD×CD＝×8×15+×12×9＝114（m2）；
（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴S△ABC＝BC×AE＝AB?AC，
∴17×AE＝8×15，
解得：AE＝（m），
即小路AE的长为m．