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学科教师辅导教案
学员编号：
年
级：
课
时
数：
学员姓名：
辅导科目：
学科教师：
授课类型
T
C
T
授课日期及时段
教学内容
生活中的立体图形及其展开与折叠
【知识导图】
(
教学过程
)
(
一、导入
)
【教学建议】
本节课与生活实际联系紧密，教师在授课过程中可以结合“观察法”、“折纸法”、“排除法”等各种方法进行.
在课堂授课前，老师可以自己准备一些柱体、椎体、球体、小立方体等，便于学生直观的了解学习内容.授课过程中一定要强调学生几何图形的画法和立体图形的特征等，部分内容需要学生记忆的可以结合表格法对比进行.
(
二、知识讲解
)
(
考点1
生活中
的立体图形
)
【教学建议】
通过前面的引导，得到常见几何体的划分，建议用生活中的实际物体，让学生产生直观印象.
常见的几何体及其特点
长方体：有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形（正方形是特殊的长方形）正方体是特殊的长方体.
棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱.
圆柱：有上下两个底面和一个侧面，两个底面是半径相等的圆.
圆锥：有一个底面和一个顶点，且侧面展开图是扇形.
球：由一个面围成的几何体
(
考点2
展开与折叠
)
展开与折叠
棱柱：如图1所示的棱柱，上底面是五边形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇Ｅ＇，下底面是五边形ABCDE，这两个五边形的大小形状都相同，这个棱柱有5个侧面，当它为直棱柱时，5个侧面都是长方形，当它为斜棱柱时，5个侧面都是平行四边形，在棱柱中任何相邻的两个面的交线都叫做棱柱的棱，其中相邻的两个侧面的交线都叫做棱柱的侧棱，图1中的棱柱有15条棱，其中有5条侧棱，这5条侧棱的长相等，将这个棱柱展开得一个长方形（图2是图1中棱柱的侧面展开图）反过来可以将一个长方形折叠成一个棱柱的侧面.
当一个棱柱的底面是三角形时，称为三棱柱，当一个棱柱的底面是四边形时，称为四棱柱，（长方体正方体都是四棱柱）当一个棱柱的底面是五边形时，称为五棱柱（图1就是五棱柱）………当一个棱柱的底面是n边形时，称为n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n十2个面（其中2个底面，n个侧面.）
圆柱和圆锥的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是一个长方形，圆柱的底面周长和高分别是这个长方形的长与宽，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径就是圆锥的母线（即圆锥的顶点与圆锥底面上任意一点的连线，而扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，反过来，可以将一个扇形围成一个圆锥的侧面.
【教学建议】
老师可以准备一些圆柱、圆锥、正方体等实物，让学生裁剪一下，了解图形的展开与折叠的过程.
(
三
、例题
精析
)
类型一
几何体类型的划分
(
例题1
)
1、下面这些基本图形和你很熟悉，试一试在括号里写出它们的名称.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由.
(
例题2
)
如图所示，上海世博会中国国家馆“东方之冠”是世界建筑史上的经典，请写出图中含有的立体图形：
类型二
物体和立体图形的对应关系
(
例题1
)
图1是一些具体的物体图形--三棱镜、方砖、帆布帐篷、笔筒、铅锤、粮囤、天文台，图2是一些立体图形，找出图1中与图2中立体图形相似的实物序号．
类型三
棱柱
(
例题1
)
五棱柱有
条棱,有
个顶点,
个面．
(
例题1
)
(
例题1
)类型四
平面图形旋转成立体图形
如图的几何体是下面（
）平面图形绕轴旋转一周得到的（
）
A
B
C
D
类型五
棱柱与棱锥的展开与折叠
(
例题1
)
如图,四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的?画出相应的四种立体图形.
类型六
正方体展开与折叠
(
例题1
)
将一个立方体的盒子展开，以下各示意图中可能是它的表面展开图的是（
）
类型七
求立体图形的表面积和体积
(
例题1
)
如图是一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（
）
A．4
B．3
C．8
D．12
(
四
、课堂运用
)
(
基础
)
1.
下列几何体中，属于圆锥的是(
)．
(
A
B
C
D
)
2.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
小题1:（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体???
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是
.
（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
.
（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，=_____
3.
在棱柱中（ ）
A.只有两个面平行
B.所有的棱都平行
C.所有的面都是平行四边形
D.两底面平行，且各侧棱也互相平行
4.观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来（
）
(
巩固
)
1.
下列图形中，是柱体的有___
_
____.(填序号）
2.
如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（ ）
A．五棱柱
B．六棱柱
C．七棱柱
D．八棱柱
3.
如图所示绕直线m旋转一周所形成的几何体是（
）
(
拔高
)
1.
回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体.若一个多面体的面数为，顶点个数为，棱数为，分别计算第（1）题中两个多面体的的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数.
2.
有一正方体木块，它的六个面分别标上数字
1—6，下图是这个正方体木块从不同面所观察到的数字情况.数字2对面的数字是
．
3.
下列图中，左边的图形是立方体的表面展开图，把它折叠成立方体，它会变右边的（
）
(
A
B
AB
BBB
C
CCC
D
)
4.
在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为________．
(
五
、课堂小结
)
(
基础
)
1.
圆柱、圆锥、球的共同点是_____________________________；
2.
假如我们把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了______________，时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了_______________，三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了___________________；
3.
一个几何体的表面展开图如图所示，
则这个几何体是（
）
A.四棱锥
B.四棱柱
C.三棱锥
D.三棱柱
(
巩固
)
1.
如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A、B、C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C中的三个数一次是（
）
A.1、-3、0
B.0、-3、1
C.-3、0、1
D.-3、1、0
2.下图是一个正方体的展开图。
（1）在正方体的展开图的正方形内填入适当的汉字,使之与相对的面上的字具有相反意义。
（2）请你移动图中的一个小正方形,使它仍然是正方体的表面展开图(请写出两种移动方法).
（3）若图中一个小正方形的边长为1cm，那么原立方体的棱长是多少？表面积是多少？
3.图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，这时小正方体朝上的一面的字是（
）
A.奥
B.运
C.圣
D.火
(
拔高
)
1.
如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积：
.
2.
已知一个直四棱柱的底面边长为的正方形，侧棱长都是，回答下列问题：
（1）这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？
（2）这个直四棱柱有多少条棱？
（3）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
（4）这个直四棱柱的体积是多少？
3、把正方体的6个面分别涂上不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花朵数的情况列表如下：
颜色红黄蓝白紫绿花朵数654321
现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个在同一平面上放置的长方体，如下图所示，那么长方体的下底面共有______朵花．
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学员编号：
年
级：
课
时
数：
学员姓名：
辅导科目：
学科教师：
授课类型
T
C
T
授课日期及时段
教学内容
生活中的立体图形及其展开与折叠
【知识导图】
(
教学过程
)
(
一、导入
)
【教学建议】
本节课与生活实际联系紧密，教师在授课过程中可以结合“观察法”、“折纸法”、“排除法”等各种方法进行.
在课堂授课前，老师可以自己准备一些柱体、椎体、球体、小立方体等，便于学生直观的了解学习内容.授课过程中一定要强调学生几何图形的画法和立体图形的特征等，部分内容需要学生记忆的可以结合表格法对比进行.
(
二、知识讲解
)
(
考点1
生活中
的立体图形
)
【教学建议】
通过前面的引导，得到常见几何体的划分，建议用生活中的实际物体，让学生产生直观印象.
常见的几何体及其特点
长方体：有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形（正方形是特殊的长方形）正方体是特殊的长方体.
棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱.
圆柱：有上下两个底面和一个侧面，两个底面是半径相等的圆.
圆锥：有一个底面和一个顶点，且侧面展开图是扇形.
球：由一个面围成的几何体
(
考点2
展开与折叠
)
展开与折叠
棱柱：如图1所示的棱柱，上底面是五边形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇Ｅ＇，下底面是五边形ABCDE，这两个五边形的大小形状都相同，这个棱柱有5个侧面，当它为直棱柱时，5个侧面都是长方形，当它为斜棱柱时，5个侧面都是平行四边形，在棱柱中任何相邻的两个面的交线都叫做棱柱的棱，其中相邻的两个侧面的交线都叫做棱柱的侧棱，图1中的棱柱有15条棱，其中有5条侧棱，这5条侧棱的长相等，将这个棱柱展开得一个长方形（图2是图1中棱柱的侧面展开图）反过来可以将一个长方形折叠成一个棱柱的侧面.
当一个棱柱的底面是三角形时，称为三棱柱，当一个棱柱的底面是四边形时，称为四棱柱，（长方体正方体都是四棱柱）当一个棱柱的底面是五边形时，称为五棱柱（图1就是五棱柱）………当一个棱柱的底面是n边形时，称为n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n十2个面（其中2个底面，n个侧面.）
圆柱和圆锥的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是一个长方形，圆柱的底面周长和高分别是这个长方形的长与宽，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径就是圆锥的母线（即圆锥的顶点与圆锥底面上任意一点的连线，而扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，反过来，可以将一个扇形围成一个圆锥的侧面.
【教学建议】
老师可以准备一些圆柱、圆锥、正方体等实物，让学生裁剪一下，了解图形的展开与折叠的过程.
(
三
、例题
精析
)
类型一
几何体类型的划分
(
例题1
)
1、下面这些基本图形和你很熟悉，试一试在括号里写出它们的名称.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由.
【解析】（1）（从左至右）球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱；
（2）按面分：曲面：球、圆柱、圆锥；平面：长方体、三棱柱；
按柱体分：圆柱、长方体、三棱柱；球；圆锥；
【总结与反思】将立体图形的概念结合生活实际指导学生，让学生更直观的去学习.
(
例题2
)
如图所示，上海世博会中国国家馆“东方之冠”是世界建筑史上的经典，请写出图中含有的立体图形：
【解析】长方体、圆柱体
【总结与反思】立体图形的实际应用.
类型二
物体和立体图形的对应关系
(
例题1
)
图1是一些具体的物体图形--三棱镜、方砖、帆布帐篷、笔筒、铅锤、粮囤、天文台，图2是一些立体图形，找出图1中与图2中立体图形相似的实物序号．
【解析】①三棱镜--（f）三棱柱；②方砖--（e）长方体；③帆布帐篷--（a）四棱锥；
④笔筒--（c）圆柱；⑤铅锤--（d）圆锥；⑥粮囤--（g）圆台；⑦天文台--（b）球.
【总结与反思】
本题考查的是学生将生活实际中的立体图形与立体图形的几何图联系起来，难度不大，但是授课过程中还是需要让学生对生活中常见立体图形的画法理解并掌握.
类型三
棱柱
(
例题1
)
五棱柱有
条棱,有
个顶点,
个面．
【解析】15,10，7
【总结与反思】本题主要考查棱柱的棱数、顶点数、和面数.可以结合欧拉公式进行记忆.
(
例题1
)
(
例题1
)类型四
平面图形旋转成立体图形
如图的几何体是下面（
）平面图形绕轴旋转一周得到的（
）
A
B
C
D
【解析】B
【总结与反思】
这一类题型是重点内容，在单元测或者期中期末中出现频率较高.学生在学习过程中须熟练掌握
类型五
棱柱与棱锥的展开与折叠
(
例题1
)
如图,四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的?画出相应的四种立体图形.
【解析】
【总结与反思】
本题主要考查学生立体图形的作图，如果类型二的内容掌握的比较好，学生对本类题型就会很熟练.
类型六
正方体展开与折叠
(
例题1
)
将一个立方体的盒子展开，以下各示意图中可能是它的表面展开图的是（
）
【解析】C；
【总结与反思】
本题是这一章节的重点内容，主要需要学生熟记正方体的展开图类型以及不会出现的图形情况，例如“田”字格等.
类型七
求立体图形的表面积和体积
(
例题1
)
如图是一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（
）
A．4
B．3
C．8
D．12
【解析】C
【总结与反思】
本题主要考查展开图与实际立体图形之间的关系，利用折叠的思想找到立体图形的长、宽、高等.
(
四
、课堂运用
)
(
基础
)
1.
下列几何体中，属于圆锥的是(
)．
(
A
B
C
D
)
2.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
小题1:（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体446长方体8612正八面体6812正十二面体???
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是
.
（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
.
（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，=_____
3.
在棱柱中（ ）
A.只有两个面平行
B.所有的棱都平行
C.所有的面都是平行四边形
D.两底面平行，且各侧棱也互相平行
4.
观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出来（
）
答案与解析
1.【答案】A
【解析】本题主要考察圆锥的几何图形的画法.
2.
【答案】（1）20
12
30；
（2）V+F-E=2；
（3）20；
（4）14.
【解析】本题主要考查棱柱棱锥的棱数、顶点数、面数之间的关系，结合三者之间的关系，让学生自己总结欧拉公式.
3.
【答案】D
【解析】本题主要考查学生对棱柱的几何图形特征的记忆.
4.
【答案】D
【解析】本题在常规立体图形的几何图上增加了一定的难度，考查了空心圆柱的问题.学生结合实际操作会更清晰一些.
(
巩固
)
1.
下列图形中，是柱体的有___
_
____.(填序号）
2.
如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（ ）
A．五棱柱
B．六棱柱
C．七棱柱
D．八棱柱
3.
如图所示绕直线m旋转一周所形成的几何体是（
）
答案与解析
1.【答案】②③⑥
【解析】柱体的特征是：上下两个底面为大小形状均相同的多边形，侧面展开为长方形.
2.【答案】B
【解析】熟记棱柱棱锥的棱数、顶点数、面数的关系.
3.【答案】B;
【解析】本题在常规几何体的基础上增加了一些变化，不过熟悉构图过程之后就比较好解决了.
(
拔高
)
1.
回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？
（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体.若一个多面体的面数为，顶点个数为，棱数为，分别计算第（1）题中两个多面体的的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数.
2.
有一正方体木块，它的六个面分别标上数字
1—6，下图是这个正方体木块从不同面所观察到的数字情况.数字2对面的数字是
．
3.
下列图中，左边的图形是立方体的表面展开图，把它折叠成立方体，它会变右边的（
）
(
A
B
AB
BBB
C
CCC
D
)
4.
在一次剪纸活动中，小聪依次剪出6张正方形纸片拼成如图所示的图形，若小聪所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③面积相等，那么正方形⑤的面积为________．
答案与解析
1.【答案】（1）甲是长方体，乙是五棱锥；（2）顶点数+面数-棱数=2；（3）22.
【解析】（1）根据平面图形的展开图的特征即可作出判断；
（2）分别数出甲、乙两个平面图形围成的几何体的面数、顶点个数、棱数，即可得到规律；
（3）设这个多面体的面数为，根据（2）中得到的规律即可列方程求解.
2.【答案】6；
【解析】用相邻面用排除法找到相对面.例如由图可知，数字1的相邻面有2、5、4、6，则相对面为3，2的相邻面有1、5、4，在排除1的相对面3，所以2的相对面为6，即可得出答案.
3.【答案】
C；
【解析】
本题难度较大，一般不建议学生用观察法来做，可以让学生自己画出一个同样的展开图形，利用折叠法来做.
4.【答案】36
【解析】设正方形②的边长是，则正方形③和正方形⑥的边长是，正方形④的边长是，正方形⑤的边长是或，从而建立方程求解．
解答：设正方形②的边长是．
结合图形，得
，
解得．
则正方形⑤的边长是6，其面积是36．
故答案为：36．
(
五
、课堂小结
)
本节讲了2个重要内容：
生活中的立体图形
2．立体图形的展开与折叠
(
六
、课后作业
)本节课与生活实际联系紧密，需要教师授课过程中多结合生活实际，用直观观察的方法，让学生有一个直观的认识.本节课的可操作性也很强，在培养学生操作能力的同时可以提升他们的立体图形的观察和总结能力.
(
基础
)
1.
圆柱、圆锥、球的共同点是_____________________________；
2.
假如我们把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，就能画出线，说明了______________，时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了_______________，三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体，这说明了___________________；
3.
一个几何体的表面展开图如图所示，
则这个几何体是（
）
A.四棱锥
B.四棱柱
C.三棱锥
D.三棱柱
答案与解析
1.【答案】都有一个面是曲面
【解析】画出图象判断即可
2.【答案】点动成线，线动成面，面动成体
【解析】生活中一些现象的总结，结合点线面的定义解题.
3.【答案】A；
【解析】根据棱锥的几何特征即可得出结论.
(
巩固
)
1.
如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A、B、C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C中的三个数一次是（
）
A.1、-3、0
B.0、-3、1
C.-3、0、1
D.-3、1、0
2.下图是一个正方体的展开图。
（1）在正方体的展开图的正方形内填入适当的汉字,使之与相对的面上的字具有相反意义。
（2）请你移动图中的一个小正方形,使它仍然是正方体的表面展开图(请写出两种移动方法).
（3）若图中一个小正方形的边长为1cm，那么原立方体的棱长是多少？表面积是多少？
3.图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格，第2格，第3格，这时小正方体朝上的一面的字是（
）
A.奥
B.运
C.圣
D.火
答案与解析
1.【答案】A；
【解析】利用折纸法即可.
2.【答案】（1）①填“下”，②填“坏”，③填“黑”（2）方法一：将①移动到②的右边；方法二：将③移动到①的右边。（3）.
【解析】本题综合考查展开图和实际图形的联系，采用折纸法即可.
3.【答案】D；
【解析】利用折纸法整理即可.
(
拔高
)
1.
如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
（1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积：
.
2.
已知一个直四棱柱的底面边长为的正方形，侧棱长都是，回答下列问题：
（1）这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？
（2）这个直四棱柱有多少条棱？
（3）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
（4）这个直四棱柱的体积是多少？
3、把正方体的6个面分别涂上不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花朵数的情况列表如下：
颜色红黄蓝白紫绿花朵数654321
现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个正方体拼成一个在同一平面上放置的长方体，如下图所示，那么长方体的下底面共有______朵花．
答案与解析
1.
【答案】见解析
【解析】（1）多了一个长方形，如图所示；（2）12
2、【答案】见解析
【解析】（1）这个直四棱柱一共有6个面，8个顶点．
（2）这个直四棱柱有12条棱．
（3）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是长方形，面积是4×5×8=．
（4）这个直四棱柱的体积是5×5×8=200．
3.
【答案】11.
【解析】先利用排除相邻面的方法找到相对面，再求出底面花朵总数.
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