2021-2022 学年人教版九年级数学上册课件：24.1.2 垂直于弦的直径（18张）

(共18张PPT)
24.1.2
垂直于弦的直径
　　如图，1
400
多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是
37
m，拱高(弧的中点到弦的距离)为
7.23
m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到
0.1
m)．
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
●O
求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
·
O
A'
A
C
D
M
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′,
∴△OAA′是等腰三角形.
又∵AA′⊥CD，
∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线.
·
O
A'
A
C
D
M
这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′，
因此⊙O关于直线CD对称.
例1
下列说法中不正确的是(　　)
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
B．直径是圆的对称轴
C．圆的对称轴有无数条
D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆重合
D
问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?
为什么?
·
O
A
B
C
D
E
线段:
AE=BE
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推导格式：
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
·
O
A
B
C
D
E
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论
推导格式：
∵
CD是直径，AE=BE，
∴
CD⊥AB,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
·
O
A
B
C
D
E
你还有其他的结论吗？你发现了什么？
?
垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
例2
赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23
m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴
AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3(m).
即主桥拱半径约为27.3m.
∴
AD=
AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23.
2
1
－
∵
OA
=
AD
+
OD
,
2
2
2
18.5
+
(R-7.23)
R
=
2
2
2
1.下列说法中,不正确的是(　　)A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴
D
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
下列结论不成立的是(　　)
A．CM＝DM
B.
CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC
D．OM＝MB
⌒
⌒
D
3.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___
4
4.如图，⊙O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵
CE⊥AB于D，
设OC=xcm，则OD=x-2,
根据勾股定理，得
解得
x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
·
O
A
B
E
C
D
5.已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
⌒
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⌒
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:（“知二推三”）
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧.
满足其中两个条件就可以推出其它三个结论
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径;作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形