2021-2022 学年人教版九年级数学上册课件：24.2.2 第2课时 切线的判定和性质（20张）

(共20张PPT)
24.2.2
切线的判定和性质
第2课时
直线和圆的位置关系有哪几种？
d
r;
d
r;
直线和圆相切
直线和圆相离
d
r.
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
<
=
>
直线和圆相交
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
如何判断一条直线是否为切线呢？
思考一
如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA
(1)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______
(2)直线l和⊙O的位置关系是______
d=r
相切
知识点一：切线的判定
切线的判定定理：经过半径的________并且________于这条半径的直线是圆的切线.
外端
垂直
∵OA为⊙O的半径
l
⊥
OA于A
∴l为⊙O的切线
符号语言
定理成立的依据：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线，定理是此方法的另一种表述
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
例1
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线
分析：要证AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是＿＿＿＿＿＿＿就可以了.而OD是⊙O的半径，则要证OE=OD.
⊙O的半径
证明：
过点O作OE⊥AC，垂足为E,连接OD,OA.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴
________.
又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点,
∴____________________,（
）
∴__________,（
）
即OE是⊙O的半径,
∴AC经过⊙O的半径OE的外端E，OE⊥AC,
∴AC是⊙O的切线(
)．
OD⊥AB
AO是∠BAC的平分线
三线合一
OE=OD
角平分线性质
切线的判定定理
例2
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线.
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
证明：连接OC(如图).
∵
OA＝OB,CA＝CB,
∴
OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　
∴
AB⊥OC.
∵
OC是⊙O的半径,
∴
AB是⊙O的切线.
(1)
有交点，连半径,证垂直;
(2)
无交点，作垂直,证半径.
证切线时辅助线的添加方法
例2
例1
知识点二：切线的性质
思考二
如图，⊙O的半径为r，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？
解：OA⊥l
,理由如下：
假设OA与直线l不垂直，则OA不是点O到直线l的垂线段.
过点O作OM⊥l于点M,OM的长为点O到直线l的距离d,
根据垂线段最短的性质，有OM直线l与⊙O相交,与已知矛盾
,
故假设不成立
,所以OA⊥l
.
此为反证法
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
∵直线l是⊙O
的切线，A是切点，
∴直线l
⊥OA.
符号语言
例3
如图,
⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,
OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.
解得
r=3，
O
P
B
A
1.如图,直线l上有A,B,C,D四点,以点P为圆心,分别以线段PA,PB,PC,PD的长为半径作圆,所得的圆与直线l相切的是(　　)A.以PA的长为半径的圆B.以PB的长为半径的圆　C.以PC的长为半径的圆　D.以PD的长为半径的圆
C
2.
如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为
(　　)A.2.3
B.2.4
C.2.5
D.2.6
B
3.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是
.
相切
4.
如图,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数为　　时,AC才能成为☉O的切线.
60
A
P
O
第3题
第4题
5.
如图,已知AB为☉O的直径,CD,CB为☉O
的两条切线,切点分别为D,B,连接AD.
求证:AD//OC.
证明:如图,连接OD.
∵CD,CB为☉O
的两条切线,
∴OD⊥CD,OB⊥CB,
∴∠ODC=∠OBC=90°.又∵OD=OB,OC=OC,
∴Rt△COD
≌
Rt△COB,
∴∠BOD=2∠BOC.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠A.
∵AB为☉O
的直径,∠BOD
是△AOD
的外角,
∴∠BOD=∠ODA+∠A=2∠A.
∴∠BOC=∠A,
∴AD//OC.
6.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
切线的判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线
添加方法：
见切线，连切点，得垂直.