2021-2022学年人教版数学九年级上册24.1.4 圆周角课件（49张）

(共49张PPT)
24.1
圆的有关性质
第二十四章
圆
24.1.4
圆周角
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）
知识目标
新课导入
教学目标
教学重点
回顾旧知
什么是圆心角？它具有哪些性质？
新课导入
讲授新课
典例精讲
归纳总结
1
知识点
圆周角的定义
图中∠ACB
的顶点和边有哪些特点？
A
O
B
C
顶点在圆上，并且两
边都和圆相交的角叫
圆周角．如：∠ACB．
讲授新课
如图所示，∠BAC
是圆周角的是(　　)
导引：顶点A必须在圆上，故排除D；AB
,
AC
必须分
别与圆相交，B，C都不符合，故排除B，C.
A
例题1
讲授新课
总
结
解答本例运用了定义法和排除法．要判断一个角是不是
圆周角，必须抓住圆周角定义中的两个特征：①角的顶
点在圆上，②角的两边都与圆相交，①与②缺一不可.
讲授新课
如图所示，图中的圆周角共有______个，其中AB
所对的圆周角是_____________，CD所对的圆周角
是___________．
⌒
4
∠C与∠D
∠A与∠B
练一练
讲授新课
2
知识点
圆周角与圆心角的关系
讲授新课
测量与猜测
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆心O
在∠BAC的
内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与论证
讲授新课
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A=
∠C
∠BOC=
∠
A+
∠C
讲授新课
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
讲授新课
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
讲授新课
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；
圆周角定理
要点归纳
讲授新课
互动探究
讲授新课
问题1
如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A
,D
是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC
答：相等.
证明：在⊙O中，
讲授新课
D
A
B
O
C
E
F
问题2
如图，若
∠A与∠B相等吗？
答：相等
想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么
成立吗？
(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？
证明：连接OC，OE，OD，OF
成立
90°
3
知识点
圆周角和弧的关系
思考：
　　一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或
等弧所对的圆周角之间有什么关系？
同弧或等弧所对的圆周角相等．
A
D
B
C
O
讲授新课
试一试：
1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35?.
(1)∠BOC=
?，理由
是
;
(2)∠BDC=
?，理由是
.
70
35
同弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
讲授新课
(1)完成下列填空：
∠1=
.
∠2=
.
∠3=
.
∠5=
.
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
讲授新课
想一想
如图，线段AB是☉O的直径，点C是
☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵OA=OB=OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴
∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵
∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴
∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
讲授新课
圆周角和直径的关系：
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.
知识要点
讲授新课
4
知识点
圆周角和直径的关系
典例精析
如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
O
C
A
B
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
=180°-90°-80°=10°.
讲授新课
例题2
如图，分别求出图中∠x的大小.
60°
x
30°
20°
x
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
A
D
B
E
C
(2)连接BF，
F
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例题3
讲授新课
如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴
∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
例题4
讲授新课
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵
AC是直径,
∴
∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB
,∠BAC=∠BDC
.
∴
∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
归纳
讲授新课
如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
练一练
C
讲授新课
如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,
∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.
.
O
A
D
C
P
B
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝
90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
讲授新课
例题5
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
4
知识点
圆内接四边形
讲授新课
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探究性质
猜想：∠A与∠C,
∠B与∠D之间
的关系为：
∠A+
∠C=180?，
∠B+
∠D=180?
想一想：
如何证明你的猜想呢？
讲授新课
∵
弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
证明猜想
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
讲授新课
C
O
D
B
A
∵
弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
延长BC到点E，有
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
讲授新课
归纳总结
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
C
O
D
B
A
E
讲授新课
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=
，∠D=
.
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
，则∠D=
.
70?
100?
90?
练一练
讲授新课
如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．
例题6
讲授新课
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.
练一练
A
讲授新课
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别对于2x，3x，6x，
在圆内接四边形ABCD中，
∠A，∠B，∠C的
度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴
∠A+
∠C=∠B+∠D=180°，
∵2x+6x=180°，
∴
x=22.5°.
∴
∠A=45°，
∠B=67.5°，
∠C
=135°，
∠D=180°-67.5°=112.5°.
例题7
讲授新课
当堂练习
当堂反馈
即学即用
1.判断
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等
（
）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等
（
）
（3）同弦所对的圆周角相等
（
）
√
×
×
当堂练习
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=60°,
∠ABC=45°,
则∠AOB=
．
B
A
C
O
150°
当堂练习
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（
）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
A
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.
当堂练习
A
B
C
D
O
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是（
）
A
115°
B
130°
C
65°
D
50°
5.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，P是AB上的一点，则∠APB=
.
A
B
C
P
C
120°
当堂练习
6.如图，已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角
∠ACB=
，∠ADB=
.
D
A
O
C
B
125°
55°
7.如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，
则⊙O的半径是
.
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30
°
，∴∠AOB=60
°
又∵OA=OB
，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2.
2
当堂练习
A
O
B
C
∴∠ACB=2∠BAC
证明：
8.
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC，
当堂练习
9.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外）
，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
当堂练习
课堂小结
归纳总结
构建脉络
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
1.90°的圆周角所对的弦是直径；
2.圆内接四边形的对角互补.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆周角与直
线的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
课堂小结
Thanks
侵权必究