2.2基本不等式
一、选择题
1.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图,在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交半圆周于点D,连接OD。作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为(
)
A.≥(a>0,b>0)
B.≥(a>0,b>0)
C.≥(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
【答案】A
【解析】由三角形相似,知CD2=DE·OD=AC·BC,即DE===,
由CD≥DE,得≥,故选A.
2.(2020·上海高一开学考试)已知，函数的最小值是(
)
A.5
B.4
C.8
D.6
【答案】D
【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.
3.已知正实数x，y满足.则的最小值为(
)
A.4
B.
C.
D.
【答案】D【解析】解：由，得，
因为x，y为正实数，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：D
4.(2020·全国高一课时练习)若，则的最大值是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A
5.(2020·西夏.宁夏大学附属中学高二月考(文))若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意，两个正实数x，y满足，则，
当且仅当，即时，等号成立，
又由恒成立，可得，即，
解得，即实数m的取值范围是.故选：C.
6.(2020·全国高一课时练习)已知，求函数的最小值是(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
【答案】D
【解析】由，即，所以，时取“=”，
所以正确选项为D。
7.(2020·全国高一开学考试)已知,则的最小值是(
)
A.2
B.
C.4
D.
【答案】C
【解析】(当且仅当，即时取等号)的最小值为故选：
8.(2020·浙江高三月考)已知实数满足，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设，则，，，
则，，，
设，则，，解得，
的最小值为.故选：B
二、填空题
9.(2020·全国高一课时练习)已知，，则的最小值为_____；
【答案】
【解析】采用常数1的替换，，当即时等号成立，所以答案为.
10.(2019·四川高一期末)已知正数、满足，则的最小值为
【答案】
【解析】，所以，，则，
所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：.
11.(2020·全国高一课时练习)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为_____________；
【答案】20吨
【解析】由题意，总的费用，当时取“=”，所以答案为20吨。
12.(2020·全国高一课时练习)已知函数在时取得最小值，则________.
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当即，由题意，解得
考点二条件型
13.(2020·全国高一专题练习)设，求的最大值
.
【答案】1
【解析】∵，∴∴
所以
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为
14.(2020·衡水市第十三中学高一月考)已知，则的最小值是________.
【答案】5
【解析】当时，，，
当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故答案为：.
三、解答题
15.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
【答案】【解析】
(1)由已知可得，而篱笆总长为；
又因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.
(2)由已知得，
又因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.
16.已知a,b,c都是正数.求证:++≥a+b+c.
【答案】证明:因为a,b,c都是正数,所以+≥2c,+≥2a,+≥2b,
三式相加,得2(++)≥2(a+b+c),
所以++≥a+b+c,
当且仅当a=b=c时取等号.
17.(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最大值.
【答案】解析：(1)因为，所以，
所以，
所以当且仅当，即，函数的最大值为.
(2)因为，所以，
所以，
当且仅当，
即时，的最大值为
18.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
【答案】解:因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy≥2+xy,
当且仅当x=2y,即x=6,y=3时,等号成立.所以xy+2-30≤0.
令t=,则t>0,t2+2t-30≤0,
(t+5)(t-3)≤0,所以-5≤t≤3.
又因为t>0,所以0<≤3,所以0(
1
)2.2基本不等式
一、选择题
1.《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图,在AB上取一点C,使得AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交半圆周于点D,连接OD。作CE⊥OD交OD于点E.由CD≥DE可以直接证明的不等式为(
)
A.≥(a>0,b>0)
B.≥(a>0,b>0)
C.≥(a>0,b>0)
D.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
2.(2020·上海高一开学考试)已知，函数的最小值是(
)
A.5
B.4
C.8
D.6
3.已知正实数x，y满足.则的最小值为(
)
A.4
B.
C.
D.
4.(2020·全国高一课时练习)若，则的最大值是(
)
A.
B.
C.
D.
5.(2020·西夏.宁夏大学附属中学高二月考(文))若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
6.(2020·全国高一课时练习)已知，求函数的最小值是(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
7.(2020·全国高一开学考试)已知,则的最小值是(
)
A.2
B.
C.4
D.
8.(2020·浙江高三月考)已知实数满足，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
9.(2020·全国高一课时练习)已知，，则的最小值为_____；
10.(2019·四川高一期末)已知正数、满足，则的最小值为
11.(2020·全国高一课时练习)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为_____________；
12.(2020·全国高一课时练习)已知函数在时取得最小值，则________.
13.(2020·全国高一专题练习)设，求的最大值
.
14.(2020·衡水市第十三中学高一月考)已知，则的最小值是________.
三、解答题
15.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
16.已知a,b,c都是正数.求证:++≥a+b+c.
17.(1)已知，求的最大值；
(2)已知，求的最大值.
18.已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的取值范围.
(
1
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