2.3二次函数与一元二次方程、不等式
一、选择题
1.(2020·江苏泰州中学高二期中)不等式的解集为，函数的图象大致为(
)
A.
B.
C.D.
2.(2020·重庆高一期末)若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
3.(2020·天津市第二南开中学高一期中)设，则“”是“”的(
)
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
4.(2020·盘锦市第二高级中学高一期末)不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.或
5.(2020·浙江省诸暨中学高一期中)若不等式的解集为R，则a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
6.【江西省萍乡市2019-2020学年高一期末】不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
7.(2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中)不等式的解集是(
)
A.或
B.或
C.
D.
8.【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一期末】关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
二、多选题
9.(2019·辽宁省高一月考)(多选题)已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则(
)
A.
B.
C.
D.
10.(2020·江苏省高一期末)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为(
)
A.
B.
C.
D.
三、填空题
11.(2020·北京人大附中高一期中)设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
12.若关于x的不等式组解集不是空集，则实数a的取值范围是
.
13.(2020·北京八中高一月考)已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.
14.【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】不等式的解集为__________.
15.(2020·上海市洋泾中学高一期中)已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
16.若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.
四、解答题
17.已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5.
(1)求函数y=x2+mx-6(m>0)的解析式;
(2)解关于x的不等式y<4-2x.
18.(2020·浙江省高一期末)已知集合.
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
19.【黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高一期末】已知函数，，.
当时，求满足的的取值范围；
解关于的不等式；
若对于任意的x>2，均成立，求的取值范围.
20.【四川省眉山市2019-2020学年高一期末】已知不等式解集为.
(1)求，的值并求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
21.(2020·江苏铜山进修学校高一月考)已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
22.已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.2.3二次函数与一元二次方程、不等式
一、选择题
1.(2020·江苏泰州中学高二期中)不等式的解集为，函数的图象大致为(
)
A.
B.
C.D.
【答案】A
【解析】由题知，和1是的两根，由根与系数的关系知，，求得：，，所以，开口向下，令，即，解得两个根分别为-2，1.
2.(2020·重庆高一期末)若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由于关于的一元二次不等式的解集为，
则，解得.因此，实数的取值范围是.
3.(2020·天津市第二南开中学高一期中)设，则“”是“”的(
)
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】“”等价于“或”，“”能推出“或”，
而“或”不能推出“”，所以“”是“”的充分非必要条件，
4.(2020·盘锦市第二高级中学高一期末)不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.或
【答案】D
【解析】将不等式变形为，解此不等式得或.
因此，不等式的解集为或.
5.(2020·浙江省诸暨中学高一期中)若不等式的解集为R，则a的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】当即时，恒成立，满足题意；
当时，不等式的解为一切实数，
所以，解得，
综上可得实数的取值范围是，故选：B.
6.【江西省萍乡市2019-2020学年高一期末】不等式的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】不等式可化为，所以，
所以原不等式的解集为.故选：A
7.(2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中)不等式的解集是(
)
A.或
B.或
C.
D.
【答案】C
【解析】不等式可化为，
所以不等式的解集为.
8.【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一期末】关于的不等式的解集中恰有4个正整数，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】原不等式可化为，若，则不等式的解是，
不等式的解集中不可能有4个正整数，所以，不等式的解是，；
所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；
令，解得；所以的取值范围是，.
故选：B.
二、多选题
9.(2019·辽宁省高一月考)(多选题)已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】∵正数，满足，
∴，即的最大值为，当且仅当时，取等号.
∵的解集为，∴.
10.(2020·江苏省高一期末)对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】ABCD
【解析】解：对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为，，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
综上，都成立，故选：.
三、填空题
11.(2020·北京人大附中高一期中)设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为______.
【答案】
【解析】因为、是关于的方程的两个实数根，所以，解得，所以，
则，所以的最小值为。
12.若关于x的不等式组解集不是空集，则实数a的取值范围是
.
【解析】依题意有要使不等式组的解集不是空集，应有a2＋1<4＋2a，
即a2－2a－3<0，解得－1
【答案】－113.(2020·北京八中高一月考)已知方程有两个不等正根，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】有两个不等正根，则，
解得.
14.【黑龙江省哈尔滨市第三十二中学2019-2020学年高一期末】不等式的解集为__________.
【答案】.
【解析】
由，得，从而解得，
所以，不等式的解集为，故答案为：.
15.(2020·上海市洋泾中学高一期中)已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
【答案】或
【解析】由题意知：中元素，
即为的解，
∴或，可知：或∴当时，；当时，，∴或，
16.若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.
【解析】不等式有解等价于有解，
所以，故或，填或.
【答案】或
四、解答题
17.已知二次函数y=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5.
(1)求函数y=x2+mx-6(m>0)的解析式;
(2)解关于x的不等式y<4-2x.
【答案】解:(1)由题意,得x2+mx-6=0(m>0)的两个根为x1和x2,
由根与系数的关系,得
故=-4x1x2=m2+24=25,
故m2=1.因为m>0,所以m=1,
故y=x2+x-6.
(2)由y<4-2x,得x2+x-6<4-2x,
所以x2+3x-10<0,即(x+5)(x-2)<0,
解得-5故不等式的解集是{x|-518.(2020·浙江省高一期末)已知集合.
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】【解析】(Ⅰ)由题意可知，
和是方程的两个根，
所以由韦达定理得，故实数.
(Ⅱ)由，原不等式可化为，
所以在上恒成立，
令，
因为，
所以，
所以不等式恒成立等价于，故由，
解得：，
故实数的取值范围为：.
19.【黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高一期末】已知函数，，.
当时，求满足的的取值范围；
解关于的不等式；
若对于任意的x>2，均成立，求的取值范围.
【答案】；当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为；.
解：当时，，所以，即，解得.
所以的解集为.
由，得，所以，
当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.
因为对于任意的x>2，恒成立，即对任意的x>2时，成立，
根据二次函数的性质可知，对称轴，
所以，解得.所以的取值范围是.
20.【四川省眉山市2019-2020学年高一期末】已知不等式解集为.
(1)求，的值并求不等式的解集；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)；；(2)答案见解析.
【解析】(1)由题意知，1和是方程的两根，
则，解得
不等式即为，解得，
∴
(2)不等式，即为，
即.
①当时，；
②当时，；
③当时，原不等式无解.
综上知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
21.(2020·江苏铜山进修学校高一月考)已知集合，集合.
(1)当时，求；
(2)命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)当时，，
.；
(2)，，若是的充分条件，则.
因为
当时，，显然成立；
当时，，，，解得；
当时，，，，解得.
实数的取值范围是.
22.已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
【答案】解：(1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}.
(2)若a>0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即0∴原不等式的解集为.
②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?.
③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?.
(3)若a<0，Δ＝4－4a2.
①当Δ>0，即－1②当Δ＝0，即a＝－1时，原不等式可化为(x＋1)2>0，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}.
③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；
当0当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}；
当－1当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}；
当a<－1时，原不等式的解集为R.