一元二次函数、方程和不等式单元测试
一、选择题
1.已知正数a、b满足的最小值是(
)
A.6
B.12
C.24
D.36
【答案】B
【解析】解：∴a+b=ab;
当且仅当时取等号，∴，故选：B
2.下列命题中，正确的是
A.若，则
B.若，，则
C.若，则
D.若，，则
【答案】C
【解析】解：对于，由，时，；时，，所以错误；
对于，当，时，有，所以错误；
对于，当时，有，所以正确；
对于，由，，得出，所以，错误.
故选：.
3.若，，且，则的最小值为
A.2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】可变形为，
所以
，
当且仅当即，时取等号，
4.下列不等式中，正确的是
A.若，则
B.若，则
C.若，，，则
D.若，，，则
【答案】B
【解析】解：.得不出，比如，，该选项错误；
.，，.该选项正确；
.，，得不出，比如，，，，，，，该选项错误；
.，，得不出，比如，，，，，，.故选：.
5.若，，则，的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】，
，故答案为：B.
6.若集合，，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，，因此，.故答案为：A.
7.(2020·浙江省高一期末)不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由，可得，，所以，，故选：A
8.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(
)
A.9
B.12
C.16
D.10
【答案】C
【解析】解：因为a>0,b>0,所以a+4b>0,
所以不等式恒成立,即可转化为()(a+4b)≥m恒成立,
即[()(a+4b)]min≥m,因为()(a+4b)=8+≥8+2=16,
当且仅当a=4b时,等号成立.所以16≥m,即m的最大值为16。故选：C。
二、多选题
9.设a,b为非零实数,且a)
A.a2>ab
B.a2C.<
D.a3【答案】CD
【解析】对于A,当a=2,b=3时,a对于B,当a=-2,b=1时,a12,故B中不等式不一定成立;
对于C,∵a对于D,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·,∵a0,∴a310.下列四个不等式中，解集为的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】A选项，，所以的解集不可能为空集；
B选项，，而开口向上，所以解集为空集；
C选项，的解集为，所以不为空集；
D选项，当且仅当a=2时等号成立，而开口向下，所以为空集；
故答案为：BD
11.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(
)
A.a>0
B.b>0
C.c>0
D.a+b+c>0
【答案】BCD
【解析】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=2×=-1<0,-=2+=>0,又a<0,故b>0,c>0,故B,C正确;因为=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.
12.已知，.若，则(
)
A.的最小值为9
B.的最小值为9
C.的最大值为
D.的最大值为
【答案】B,C
【解析】A.，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，故的最小值是4，A不正确；
B.，当，即时，又因为，解得：时，等号成立，的最小值为9，B符合题意；
C.，当时等号成立，即时等号成立，C符合题意；
D.，当且仅当时等号成立，又因为，解得：时，等号成立，但，所以等号不能成立，D不正确.
故答案为：BC
13.已知函数，则下列判断正确的有
A.的最小值为
B.当时，是增函数
C.的最大值为1
D.无最大值
【答案】AC
【解析】解：，
当时，，
当时，，
由于在上单调递减，
在上单调递减，故错误，
，
，当且仅当时取等号，
，
，
综上所述的值域为，
故选项正确，选项错误，
故选：.
三、填空题
14.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则的最小值为 .
【答案】3
【解析】∵a,b都是正数,满足2a+b=3,
则(2a+b)=5+≥(5+4)=3,
当且仅当且2a+b=3,即a=b=1时,取得最小值3.
15.设a+b=2,b>0,则取最小值时a的值为 .
【答案】-2
【解析】因为a+b=2,
所以+2+1,当且仅当,即b=-2a=-4,或b=2a=时,等号成立.当a=时,+1=;
当a=-2时,+1=.
所以当b=-2a,a=-2时,取得最小值.
16.已知a>b,a->b-同时成立,则ab应满足的条件是 .
【答案】ab<-1或ab>0
【解析】因为a->b-,所以-=>0.
又a>b,即a-b>0,所以>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.
17.若不等式的解集是，则 .
【答案】13
【解析】解：由题设知关于的一元二次方程的两根为与1，
由韦达定理可得：，解得：，，
，
故答案为：13.
四、解答题
18.解下列不等式(组):
(1)
(2)6-2x≤x2-3x<18.
【答案】
【解析】(1)由得故0所以原不等式组的解集为{x|0(2)由6-2x≤x2-3x<18,
得即
所以
所以-3所以原不等式的解集为{x|-319.已知m>0,n>0,不等式x2+mx-12<0的解集为{x|-6(1)求实数m,n的值;
(2)正实数a,b满足na+2mb=2,求的最小值.
【答案】(1)由题意可知,-6和n是方程x2+mx-12=0的两个根,∴解得
(2)由题意和(1)可得,2a+8b=2,即a+4b=1.∴(a+4b)=5+.
∵a>0,b>0,∴>0,>0.
∴=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=,b=时,等号成立.
∴的最小值为9.
20.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
【答案】解析(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米.
∵=,∴AM=,∴=AN·AM=.
由S矩形AMPN>32,得>32,
又x>0,∴3x2-20x+12>0,解得06,
即DN的长的取值范围是x06.
(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y===3x++12≥2+12=24,
当且仅当3x=,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y取得最小值24.
故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米.
21.若正实数，满足.
(1)若，求的最小值；
(2)若，求的最小值
【答案】【解析】解：(1)当时，即，
，
当且仅当且即，时取等号，
故的最小值，
(2)，
，当且仅当且即，时取等号，
解得，，即的最小值18.
22.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
【答案】ab<-1或ab>0
【解析】(1)设所用时间为t=小时,则y=×6×+14×,50≤x≤100.
所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=x,50≤x≤100.
(2)y=x≥,
当且仅当x,
即x=2时,等号成立.又2<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=×50=(元).
23.已知关于x的不等式，其中.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足(其中Z为整数集).试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由
【答案】(1)解：当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是x<6，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是x≠6，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
综上：当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是x<6，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是x≠6，
当时，不等式的解集是，
(2)解：若B为有限集，则此时，
要使B中元素个数最少，则最大，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以时，集合B中元素最少.一元二次函数、方程和不等式单元测试
一、选择题
1.已知正数a、b满足的最小值是(
)
A.6
B.12
C.24
D.36
2.下列命题中，正确的是
A.若，则
B.若，，则
C.若，则
D.若，，则
3.若，，且，则的最小值为
A.2
B.
C.
D.
4.下列不等式中，正确的是
A.若，则
B.若，则
C.若，，，则
D.若，，，则
5.若，，则，的大小关系是(
)
A.
B.
C.
D.
6.若集合，，则(
)
A.
B.
C.
D.
7.(2020·浙江省高一期末)不等式的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的最大值为(
)
A.9
B.12
C.16
D.10
二、多选题
9.设a,b为非零实数,且a)
A.a2>ab
B.a2C.<
D.a310.下列四个不等式中，解集为的是(
)
A.
B.
C.
D.
11.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是(
)
A.a>0
B.b>0
C.c>0
D.a+b+c>0
12.已知，.若，则(
)
A.的最小值为9
B.的最小值为9
C.的最大值为
D.的最大值为
13.已知函数，则下列判断正确的有
A.的最小值为
B.当时，是增函数
C.的最大值为1
D.无最大值
三、填空题
14.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则的最小值为 .
15.设a+b=2,b>0,则取最小值时a的值为 .
16.已知a>b,a->b-同时成立,则ab应满足的条件是 .
17.若不等式的解集是，则 .
四、解答题
18.解下列不等式(组):
(1)
(2)6-2x≤x2-3x<18.
19.已知m>0,n>0,不等式x2+mx-12<0的解集为{x|-6(1)求实数m,n的值;
(2)正实数a,b满足na+2mb=2,求的最小值.
20.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
21.若正实数，满足.
(1)若，求的最小值；
(2)若，求的最小值
22.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
23.已知关于x的不等式，其中.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足(其中Z为整数集).试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由
