8.6.2.1直线与平面垂直的定义及判定定理同步练习-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

直线与平面垂直的定义及判定定理
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α∥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥β
3．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是(　　)
A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
4．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于(　　)
A．40°　　　　B．50°　　　　C．90°　　　　D．150°
5．(多选题)如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是(　　)
A．BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
二、填空题
6．设三棱锥P?ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是________．
7．已知圆锥的底面半径为1 cm，侧面积为2π cm2，则母线与底面所成角的大小为________．
8．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．
三、解答题
9．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AA1，AB1∩A1B＝M．求证：A1B⊥平面MAC．
10．如图，ABCD是圆柱的一个轴截面，点E是上底面圆周上的一点，已知AB＝BC＝5，AE＝3．
(1)求证：DE⊥平面ABE；
(2)求直线BE与平面ADE所成角的正切值．
素养提升
1．如图，点A∈α，点B∈α，点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内所组成的集合是(　　)
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线
D．半圆，但要去掉两个点
2．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　)
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
3．如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，AC＝2，点D是AB的中点．将△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为(　　)
A． B． C． D．
4．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E在棱AB上运动，点F在对角线BD1上运动，设直线EF与平面ABCD所成的角为θ，直线EF与平面BDD1所成的角为β，则(　　)
A．θ≥β
B．θ≤β
C．存在直线EF，使得θ＝50°
D．存在直线EF，使得β＝50°
5.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝，求CC1与平面BC1D所成角的余弦值．
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
B　[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]
2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)
A．α∥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n?β D．m⊥n，且n∥β
B　[A中，由α∥β，且m?α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m?β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B．]
3．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是(　　)
A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
B　[由几何体ABCD?A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1．]
4．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于(　　)
A．40°　　　　B．50°　　　　C．90°　　　　D．150°
B　[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°．]
5．(多选题)如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是(　　)
A．BC⊥平面PAB
B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC
D．PB⊥平面ADC
ABC　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，故A判断正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC?平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确．]
二、填空题
6．设三棱锥P?ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA，PB，PC的关系是________．
PA＝PB＝PC　[因为H为AC中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知PA＝PB＝PC．]
7．已知圆锥的底面半径为1 cm，侧面积为2π cm2，则母线与底面所成角的大小为________．
　[由圆锥侧面积公式S＝πrl＝π·1·l＝2π，解得l＝2，设母线与底面所成角为θ，则cos θ＝＝，所以θ＝．]
8．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．
平面AB1C，平面A1C1D　[因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可证B1C⊥OM，AC∩B1C＝C，所以OM⊥平面AB1C；同理，OM⊥平面A1C1D．]
三、解答题
9．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AA1，AB1∩A1B＝M．求证：A1B⊥平面MAC．
[证明]　因为在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AA1，A1B∩AB1＝M，所以A1B⊥AM，AC⊥AA1．因为AB∩AA1＝A，所以AC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥A1B，因为AM∩AC＝A，所以A1B⊥平面MAC．
10．如图，ABCD是圆柱的一个轴截面，点E是上底面圆周上的一点，已知AB＝BC＝5，AE＝3．
(1)求证：DE⊥平面ABE；
(2)求直线BE与平面ADE所成角的正切值．
[解]　(1)证明：ABCD是圆柱的一个轴截面，AB⊥平面ADE，因为ED?平面ADE，
所以AB⊥ED，又E在底面圆上，AD为直径，所以AE⊥DE，又AE∩AB＝A，所以DE⊥平面ABE．
(2)因为AB⊥平面ADE，所以∠AEB为直线BE与平面ADE所成角，
在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝3，
所以tan∠AEB＝＝．
素养提升
1．如图，点A∈α，点B∈α，点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内所组成的集合是(　　)
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线
D．半圆，但要去掉两个点
B　[连接BC，AB(图略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．]
2．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　)
A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心
C　[如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC．
∵三棱锥的三条侧棱两两相等，
∴PA＝PB＝PC．
∵PO⊥底面ABC，
∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，
∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴OA＝OB＝OC，
故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]
3．如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，AC＝2，点D是AB的中点．将△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为(　　)
A． B． C． D．
A　[如图，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE．
∵AD⊥CD，BD⊥CD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ADB．∵BE?平面ADB，∴CD⊥BE，又BE⊥AD，AD∩CD＝D，∴BE⊥平面ACD，∴∠BCE为直线BC与平面ACD所成的角．由题意，可知AD＝BD＝，AB＝＝2．设△ADB中，AB边上的高为h，则h＝＝1．由AD·BE＝AB·h，得BE＝，
∴sin∠BCE＝＝，故选A．]
4．已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E在棱AB上运动，点F在对角线BD1上运动，设直线EF与平面ABCD所成的角为θ，直线EF与平面BDD1所成的角为β，则(　　)
A．θ≥β
B．θ≤β
C．存在直线EF，使得θ＝50°
D．存在直线EF，使得β＝50°
D　[过F作DD1的平行线，交BD于点G，连接EG，则∠FEG＝θ，如图1所示．
图1　　　　　　　　图2
则tan θ＝，显然当GE⊥AB时，tan θ最大，此时θ＝∠D1AD＝45°，故C错误．过E作BD的垂线，垂足为M，连接MF，取BD的中点O，过O作OT⊥D1B，则∠EFM＝β，如图2所示，则tan β＝，显然当FM⊥D1B时，tan β最大，此时β＝∠ATO，易得tan∠ATO＝＝，所以βmax＝60°，故D正确．当点E在点B时，θ＞0，β＝0；当点F在点B时，θ＝0，β＞0，故A，B不正确．故选D．]
5.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝，求CC1与平面BC1D所成角的余弦值．
[解]　如图，过点C作CH⊥C1D于点H．
∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．
∵BD?平面ABC，∴CC1⊥BD．
∵AB＝BC，D为AC的中点，∴ BD⊥AC．
又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1．
∵CH?平面ACC1，∴BD⊥CH．
又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D，
∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角．
设AB＝2a，则CD＝a，C1D＝a，
∴sin∠CC1D＝＝＝．