10.1.2事件的关系和运算同步练习-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

事件的关系和运算
一、选择题
1．(多选题)掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A?B
B．A＝B
C．A∩B表示向上的点数是2
D．A∪B表示向上的点数是1或2或3
2．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0,1,2,3．那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中　　　　　　 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．全部未击中
3．下列各组事件中，是对立事件的是(　　)
A．一名射手在一次射击中，命中环数大于6与命中环数小于8
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．掷一枚骰子，向上点数为奇数与向上点数为偶数
D．某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次
4．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名学生去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是(　　)
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
5．(多选题)口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，下列事件中，与事件“2张卡片都为红色”互斥但不对立的事件是(　　)
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片中恰有1张红色
C．2张卡片中至少有1张红色
D．2张卡片都为绿色
二、填空题
6．事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是________．
7．同时抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为________．
①一个是5点，另一个是6点；
②一个是5点，另一个是4点；
③至少有一个是5点或6点；
④至多有一个是5点或6点．
8．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数 }，则事件C与A，B的运算关系是________．
三、解答题
9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
10．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由．
素养提升
1．(多选题)下列各组事件中，是互斥事件的是(　　)
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
2．(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是(　　)
A．A?C B．A∩B＝?
C．A∪B＝C D．B∩C＝?
3．如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．则A∪B∪C表示的含义为________，∩∩表示的含义为________．
4．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．
(1)求事件A包含的基本事件；
(2)写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．
5.从学号为1,2,3,4,5,6的6名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生，记：C1＝“选出1号同学”，C2＝“选出2号同学”，C3＝“选出3号同学”，C4＝“选出4号同学”，C5＝“选出5号同学”，C6＝“选出6号同学”，D1＝“选出的同学学号不大于1”，D2＝“选出的同学学号大于4”，D3＝“选出的同学学号小于6”，E＝“选出的同学学号小于7”，F＝“选出的同学学号大于6”，G＝“选出的同学学号为偶数”，H＝“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题：
(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？
(3)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？
(4)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？
一、选择题
1．(多选题)掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)
A．A?B
B．A＝B
C．A∩B表示向上的点数是2
D．A∪B表示向上的点数是1或2或3
CD　[设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，所以A∩B表示向上的点数是2，A∪B表示向上的点数为1或2或3．故选CD．]
2．打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0,1,2,3．那么A＝A1∪A2∪A3表示(　　)
A．全部击中　　　　　　 B．至少击中1发
C．至少击中2发 D．全部未击中
B　[A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B．]
3．下列各组事件中，是对立事件的是(　　)
A．一名射手在一次射击中，命中环数大于6与命中环数小于8
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．掷一枚骰子，向上点数为奇数与向上点数为偶数
D．某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次
C　[在一次射击中命中环数为7同时包含于环数大于6与环数小于8，所以两事件不互斥，故A错误；
一个班的数学成绩平均分为90分同时包含于平均分不低于90分与平均分不高于90分，所以两事件不互斥，故B错误；
掷一枚骰子，向上点数不为奇数即为偶数，所以两事件是对立事件，故C正确；
某人连续投篮三次，恰有两次命中与至多命中一次不会同时发生，且两事件有可能均不发生，故两事件为互斥事件，但不为对立事件，故D错误．]
4．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名学生去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是(　　)
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
AD　[A中两个事件是互斥事件，恰有一名男生即选出的两名学生中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B中两个事件不是互斥事件；C中两个事件不是互斥事件；D中两个事件是互斥事件，至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生．]
5．(多选题)口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，下列事件中，与事件“2张卡片都为红色”互斥但不对立的事件是(　　)
A．2张卡片都不是红色
B．2张卡片中恰有1张红色
C．2张卡片中至少有1张红色
D．2张卡片都为绿色
ABD　[从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色、1张绿色”“1张红色、1张蓝色”“1张绿色、1张蓝色”，则给出的事件中，与事件“2张卡片都为红色”互斥但不对立的事件为“2张卡片都不是红色”“2张卡片中恰有1张红色”“2张卡片都为绿色”，即ABD满足条件．]
二、填空题
6．事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件是________．
[答案]　某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球
7．同时抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为________．
①一个是5点，另一个是6点；
②一个是5点，另一个是4点；
③至少有一个是5点或6点；
④至多有一个是5点或6点．
③　[同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”．]
8．向上抛掷一枚骰子，设事件A＝{点数为2或4}，事件B＝{点数为2或6}，事件C＝{点数为偶数 }，则事件C与A，B的运算关系是________．
C＝A∪B　[由题意可知C＝A∪B．]
三、解答题
9．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
[解]　设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x，y)表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．
(1)设A＝“恰有1名男生”，B＝“恰有2名男生”，
则A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，B＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，
因为A∩B＝?，所以事件A与事件B互斥且不对立．
(2)设C＝“至少有1名男生”，D＝“全是男生”，
则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，
D＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，因为C∩D＝D，所以D?C．即事件C与事件D不互斥．
(3)设E＝“至少有1名男生”，F＝“全是女生”，则E＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，
F＝{(4,5)}，因为E∪F＝Ω，E∩F＝?，所以E和F互为对立事件．
(4)设G＝“至少有1名男生”，H＝“至少有1名女生”，则
G＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，
H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，
由于G∩H＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)}，所以G与H不互斥．
10．用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A＝“三个圆的颜色全不相同”，事件B＝“三个圆的颜色不全相同”，事件C＝“其中两个圆的颜色相同”，事件D＝“三个圆的颜色全相同”．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3)事件B与事件C有什么关系？事件A和B的交事件与事件D有什么关系？并说明理由．
[解]　(1)试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
(2)A＝{(红，黄，蓝)}．
B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}．
D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．
(3)由(2)可知C?B，A∩B＝A，A与D互斥，所以事件B包含事件C，事件A和B的交事件与事件D互斥．
素养提升
1．(多选题)下列各组事件中，是互斥事件的是(　　)
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分
C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒
D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%
ACD　[对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．而A、C、D显然都是互斥事件．]
2．(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是(　　)
A．A?C B．A∩B＝?
C．A∪B＝C D．B∩C＝?
ABC　[易知A∪B＝C，B∩C＝B，所以选项A、B、C正确，选项D不正确．]
3．如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．则A∪B∪C表示的含义为________，∩∩表示的含义为________．
[答案]　电路工作正常　电路工作不正常
4．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．
(1)求事件A包含的基本事件；
(2)写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．
[解]　(1)事件A包含的基本事件为：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}．
(2)事件A的对立事件是＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”(答案不唯一)．
5.从学号为1,2,3,4,5,6的6名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6号同学为女生，记：C1＝“选出1号同学”，C2＝“选出2号同学”，C3＝“选出3号同学”，C4＝“选出4号同学”，C5＝“选出5号同学”，C6＝“选出6号同学”，D1＝“选出的同学学号不大于1”，D2＝“选出的同学学号大于4”，D3＝“选出的同学学号小于6”，E＝“选出的同学学号小于7”，F＝“选出的同学学号大于6”，G＝“选出的同学学号为偶数”，H＝“选出的同学学号为奇数”，等等．据此回答下列问题：
(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？
(3)有没有某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生的情况？它们之间的关系如何描述？
(4)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？
[解]　(1)必然事件有：E；
随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1 ，D2，D3，G，H；
不可能事件有： F．
(2)如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生．
(3)D2和D3同时发生时，即为C5发生了，D2∩D3＝C5．
(4)能，如：C1和C2；C3和C4(答案不唯一)．