8.6.2.2线面垂直的性质与空间距离同步练习-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

线面垂直的性质与空间距离
一、选择题
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)
A．b∥α　　　　　　　 B．b?α
C．b⊥α D．b与α相交
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
3．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能(　　)
A．平行　　B．相交　　C．异面　　D．垂直
4．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
5．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．1 B． C． D．2
二、填空题
6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．
8．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E．要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F＝________．
三、解答题
9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，求证：AE⊥BE．
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
素养提升
1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　)
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
2．(多选题)如图，ABCD?A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
3．已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有以下五个数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4．若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取________．(填上一个正确的数据序号即可)
4．已知四棱锥P?ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为，M是线段AB的中点．
(1)求证：CD⊥平面PDM；
(2)求点M到平面PCD的距离．
5.如图，在三棱锥P?ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝．
(1)求证：PA⊥平面ABC．
(2)过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．
一、选择题
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)
A．b∥α　　　　　　　 B．b?α
C．b⊥α D．b与α相交
C　[由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b．]
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
B　[由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]
3．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能(　　)
A．平行　　B．相交　　C．异面　　D．垂直
A　[若l∥m，l?α，m?α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]
4．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l．
同理BC⊥l．又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC．
∵AC?平面ABC，∴l⊥AC．]
5．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A．1 B． C． D．2
A　[如图，连接AC交BD于点O．在△CC1A中，易证OE∥AC1．又OE?平面BDE，AC1?平面BDE，∴AC1∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离为点A到平面BED的距离．连接AE，在三棱锥E?ABD中，V三棱锥E?ABD＝S△ABD×EC＝××2×2×＝．在三棱锥A?BDE中，BD＝2，BE＝，DE＝，∴S△EBD＝×2×＝2．设点A到平面BED的距离为h，则V三棱锥A?BDE＝S△EBD×h＝×2×h＝h＝，解得h＝1，故选A．]
二、填空题
6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
6　[因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，
所以EF＝AD＝6．]
7．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．
4　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC． 综上知：△ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．]
8．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E．要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F＝________．
　[设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF．由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1的斜边AB1上的高为h，则DE＝h．由2×＝h，得h＝，DE＝．在Rt△DEB1中，B1E＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3))))＝．由×)＝x，得x＝，即线段B1F的长为．]
三、解答题
9．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，求证：AE⊥BE．
[证明]　∵AD⊥平面ABE，
AD∥BC，∴BC⊥平面ABE．
又AE?平面ABE，∴AE⊥BC．
∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF．
又∵BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE．又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
[解]　过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH?平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC．
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，
在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，
∴H为BC中点， AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝．
故PA与平面PBC所成角的正弦值为．
素养提升
1．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　)
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
C　[取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC异面，∴选C．
]
2．(多选题)如图，ABCD?A1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
ABC　[由于BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以A正确；
因为BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，
所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD．所以B正确；
可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，
所以AC1⊥平面CB1D1，所以C正确；
由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以D错误．]
3．已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有以下五个数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4．若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取________．(填上一个正确的数据序号即可)
①(或②)　[如图所示．
因为PA⊥平面ABCD，QD?平面ABCD，
所以PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，
所以QD⊥平面PAQ，
因为AQ?平面PAQ，
所以QD⊥AQ，
所以Q在以AD为直径的圆上，
若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，
则BC与以AD为直径的圆有公共点，
所以AB≤AD，即a≤1．
故答案为：①或②．]
4．已知四棱锥P?ABCD，PA⊥PB，PA＝PB＝，AD⊥平面PAB，BC∥AD，BC＝3AD，直线CD与平面PAB所成角的大小为，M是线段AB的中点．
(1)求证：CD⊥平面PDM；
(2)求点M到平面PCD的距离．
[解]　(1)证明：∵AD⊥平面PAB，PM?平面PAB，
∴AD⊥PM．
∵PA＝PB＝，M是线段AB的中点，∴PM⊥AB，
又AD∩AB＝A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD，
又CD?平面ABCD，∴PM⊥CD．
取CB上点E，使得CE＝CB，连接AE，
∴AD∥CE且AD＝CE，
∴四边形AECD为平行四边形，∴CD∥AE，
∴直线CD与平面PAB所成角的大小等于直线AE与平面PAB所成角的大小，
又AD⊥平面PAB，BC∥AD，
∴BC⊥平面PAB，∴∠EAB为直线AE与平面PAB所成的角，∴∠EAB＝，∴BE＝AB．
∵PA＝PB＝，PA⊥PB，∴AB＝2＝BE，∴AD＝1，BC＝3，CD＝2，∴DM＝，CM＝，
∴DM2＋DC2＝CM2，∴CD⊥DM．
∵DM∩PM＝M，DM，PM?平面PDM，
∴CD⊥平面PDM．
(2)由(1)可知CD⊥平面PDM，
∴△CDM和△CDP均为直角三角形，
又PD＝，设点M到平面PCD的距离为d，
则VP?CDM＝VM?PCD，即CD·DM·PM＝CD·DP·d，化简得DM·PM＝DP·d，解得d＝，
∴点M到平面PCD的距离为．
5.如图，在三棱锥P?ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝．
(1)求证：PA⊥平面ABC．
(2)过C作CF⊥PB于点F，在线段AB上是否存在一点E，使得PB⊥平面CEF？若存在，求BE的长；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由已知，得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，所以PA⊥AC，PA⊥AB．
又AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC．
(2)假设在线段AB上存在一点E，使得PB⊥平面CEF．
因为CE?平面CEF，所以PB⊥CE．
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥CE．
又PA∩PB＝P，所以CE⊥平面PAB．
因为AB?平面PAB，所以CE⊥AB．
设BE＝x，因为AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝90°，
所以BC2＝BE·AB，即32＝5x，所以x＝，
故在AB上存在点E满足题意，且BE＝．