8.6.3.1二面角及平面与平面垂直的判定定理同步练习-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

二面角及平面与平面垂直的判定定理
一、选择题
1．直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．互为余角 B．相等
C．其和为周角 D．互为补角
3．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
4．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P?BC?A的大小为(　　)
A．60° B．30°
C．45° D．15°
5．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　　)
A．平面ABC⊥平面BCD
B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD
D．平面BCD⊥平面ABD
二、填空题
6．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)
7．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________．
8．如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________．(填序号)
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD．
求证：平面PDC⊥平面PAD．
10．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别AD和BC上，且EF∥AB．若二面角C1?EF?C等于45°，求BF的值．
素养提升
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　)
A．相等　　　　　　 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
2．如图，在三棱锥P?ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P?ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
3．如图，二面角α?l?β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
4．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求点D到平面PBC的距离．
5.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD中点．
(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；
(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
一、选择题
1．直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行　　　　　　 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
C　[由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C．]
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)
A．互为余角 B．相等
C．其和为周角 D．互为补角
D　[画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D．]
3．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
D　[如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]
4．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P?BC?A的大小为(　　)
A．60° B．30°
C．45° D．15°
C　[由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P?BC?A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．]
5．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　　)
A．平面ABC⊥平面BCD
B．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACD
D．平面BCD⊥平面ABD
B　[因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC．又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC．因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD．又BC?平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．]
二、填空题
6．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)
垂直　[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD．
又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，
所以BD⊥平面AA1C1C．
又BD?平面EBD，
所以平面EBD⊥平面AA1C1C．]
7．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________．
60°　[如图所示，是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱，折成直二面角后的图形，折叠后AD⊥CD，BD⊥DC，∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°．设AD＝a，则有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝a，所以△ABC是等边三角形，所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC，BC的夹角为60°．]
8．如图，已知六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________．(填序号)
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°．
②④　[因为AD∥BC，PB与BC不垂直，故PB与AD不垂直，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长CB，EA，两者相交(图略)，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．]
三、解答题
9．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD．
求证：平面PDC⊥平面PAD．
[证明]　因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD．
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD．
因为CD?平面PDC，
所以平面PDC⊥平面PAD．
10．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别AD和BC上，且EF∥AB．若二面角C1?EF?C等于45°，求BF的值．
[解]　因为AB⊥平面BC1，C1F?平面BC1，CF?平面BC1，所以AB⊥C1F，AB⊥CF．
又EF∥AB，所以C1F⊥EF，CF⊥EF，
所以∠C1FC是二面角C1?EF?C的平面角，即∠C1FC＝45°．所以△FCC1是等腰直角三角形，所以CF＝CC1＝AA1＝1．
又BC＝2，所以BF＝BC－CF＝2－1＝1．
素养提升
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　)
A．相等　　　　　　 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
D　[反例：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D?AA1?E与二面角B1?AB?D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D．]
2．如图，在三棱锥P?ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P?ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
3　[因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，所以PA⊥平面PBC．因为PA?平面PAB，PA?平面PAC，所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．同理可证平面PAB⊥平面PAC．]
3．如图，二面角α?l?β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
　[如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝．]
4．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求点D到平面PBC的距离．
[解]　(1)证明：由已知得AC＝＝，BC＝＝，AB＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC，
因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因为BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
(2)由(1)得BC⊥平面PAC，BC⊥AC，BC＝，PC＝＝，
设点D到平面PBC的距离为d，
因为VP?BCD＝VD?PBC，
所以××DC×AD×PA＝××PC×BC×d，
所以××1×1×1＝××××d，
解得d＝，
所以点D到平面PBC的距离为．
5.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD中点．
(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；
(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
[解]　(1)证明：取PC的中点M，连接FM，EM，如图所示：
因为F，M分别为PD，PC的中点，所以FM∥CD，FM＝CD．
因为＝，所以E为AB的中点，所以AE∥CD，AE＝CD．
所以FM∥AE，FM＝AE．
所以四边形AEMF为平行四边形，所以AF∥EM．
因为AF?平面PEC，EM?平面PEC，
所以直线AF∥平面PEC．
(2)存在一个常数m＝，使得平面PED⊥平面PAB，理由如下：
要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，
因为AB＝AD＝2，∠DAB＝30°，
所以AE＝ADcos 30°＝，
又因为PD⊥平面ABCD，PD⊥AB，AB⊥DE，PD∩DE＝D，
所以AB⊥平面PDE．
因为AB?平面PAB，所以平面PDE⊥平面PAB，
所以m＝＝．