8.6.3.2平面与平面垂直的性质同步练习-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ　　　　　　 B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
3．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(　　)
A．8　　　　B．12　　　　C．16　　　　D．18
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
5．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B?AD?C后，BC＝AB，这时二面角B?AD?C的大小为(　　)
A．60° B．90° C．45° D．120°
二、填空题
6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．
8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
三、解答题
9．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．求证：平面AEC⊥平面AFC．
10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B?ACD，点M是棱BC的中点，DM＝3．
求证：(1)OM∥平面ABD；
(2)平面ABC⊥平面MDO．
素养提升
1．三棱锥P?ABC的各棱长都相等，D，E，E分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
2．若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(多选题)如图，在四面体P?ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
4．等边三角形ABC(如图1所示)的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ(如图2所示)，在图2中，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，当x为何值时，d2取得最小值？最小值是多少？
图1　　　　　　　　　　图2
5.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
一、选择题
1．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
C　[当b＝α∩β时，必有a⊥β；当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β．]
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ　　　　　　 B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
D　[两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．]
3．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(　　)
A．8　　　　B．12　　　　C．16　　　　D．18
C　[如图，根据正六边形的性质可知，以四边形A1ABB1，A1AFF1，A1ACC1和A1AEE1为底面矩形，各有4个阳马，故共有4×4＝16(个)阳马．故选C．
]
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
D　[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α?AC⊥m，AB∥l?AB∥β． 故选D．]
5．在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，沿 AD 折成二面角B?AD?C后，BC＝AB，这时二面角B?AD?C的大小为(　　)
A．60° B．90° C．45° D．120°
A　[∠BDC为二面角B?AD?C的平面角，设正三角形ABC的边长为m，则折叠后，BC＝m，BD＝DC＝m，所以∠BDC＝60°．]
二、填空题
6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
①②?③(答案不唯一)　[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③．]
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．
1　[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，
所以∠BDC是二面角B?AD?C的平面角，
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°．
在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，
所以BD＝CD＝，
所以BC＝＝1．]
8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
45°　[如图，过A作AO⊥BD于O 点，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB ＝AD．∴∠ADO＝45°．]
三、解答题
9．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．求证：平面AEC⊥平面AFC．
[证明]　如图，连接BD，设BD交AC于点G，连接EG，FG，EF．
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1，
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝．
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC．
在Rt△EBG中，BE＝＝，故DF＝．
在Rt△FDG中，FG＝＝．
在直角梯形BDFE中，
由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝．
因为EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG．
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．
又EG?平面AEC，
所以平面AEC⊥平面AFC．
10．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B?ACD，点M是棱BC的中点，DM＝3．
求证：(1)OM∥平面ABD；
(2)平面ABC⊥平面MDO．
[证明]　(1)由题意知，O为AC的中点，
∵M为BC的中点，∴OM∥AB．
又OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
(2)由题意知，OM＝OD＝3，DM＝3，
∴OM2＋OD2＝DM2，
∴∠DOM＝90°，即OD⊥OM．
∵四边形ABCD是菱形，∴OD⊥AC．
又OM∩AC＝O，OM，AC?平面ABC，
∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面MDO，
∴平面ABC⊥平面MDO．
素养提升
1．三棱锥P?ABC的各棱长都相等，D，E，E分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中不成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDE⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
C　[对于A中，因为D，F分别是AB，CA的中点，可得BC∥DF，
因为BC?平面PDF，DF?平面PDF，所以BC∥平面PDF，所以A正确，不符合题意；
对于B中，因为AC＝AB，BE＝EC，所以BC⊥AE，
同理可得BC⊥PE，
又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，
又由BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，所以B正确，不符合题意；
对于D中，由于DF⊥平面PAE，因为DF?平面ABC，
所以平面PAE⊥平面ABC，所以D正确，不符合题意．
故选：C．]
2．若以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
C　[如图①，AD⊥DC，AD⊥DB，
图①　　　　　　图②
∴∠CDB＝90°，设AB＝AC＝a，
则CD＝BD＝a，∴CB＝a，
∴图②中△ABC是正三角形．∴∠CAB＝60°．]
3．(多选题)如图，在四面体P?ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDF⊥平面ABC
ABC　[因为D，F分别为AB，AC的中点，所以DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，故A中结论正确；因为E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，所以BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，故B中结论正确；因为DF?平面PDF，DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故C中结论正确；假设平面PDF⊥平面ABC，则由平面PDF∩平面ABC＝DF，AE?平面ABC，AE⊥DF，DF?平面PDF，得AE⊥平面PDF，所以AE⊥PD，AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故D中结论不正确．]
4．等边三角形ABC(如图1所示)的边长为a，沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ(如图2所示)，在图2中，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d，当x为何值时，d2取得最小值？最小值是多少？
图1　　　　　　　　　　图2
[解]　∵平面APQ⊥平面PBCQ，且AR⊥PQ，AR?平面APQ，平面APQ∩平面PBCQ＝PQ，
∴AR⊥平面PBCQ．
∵RB?平面PBCQ，
∴AR⊥RB．
在Rt△BRD中，BR2＝BD2＋RD2＝＋，而AR2＝x2，
∴d2＝BR2＋AR2
＝2x2－ax＋a2
＝2＋，
∴当x＝a时，d2取得最小值．
5.如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
[解]　(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．
∵△PAD为正三角形，
∴PG⊥AD．
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
∴BG⊥AD．
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB．
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．
设F为PC的中点，
连接GC交DE于H，连接FH．
∵GB∥DE，且E为BC中点，
∴H为GC中点．
∴FH∥PG．
由(1)知PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．
∵FH?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面ABCD．