北师大版九年级数学上册一课一练试题：2.4 用因式分解法求解一元二次方程习题（Word版 含答案）

《求解一元二次方程》习题
一、选择题)
1．下列属于一元二次方程的是(　　)
A．x2-3x+y=0
B．x2+2x=
C．2x2=5x
D．x(x2-4x)=3
2．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(　　)
A．1，4，3
B．0，﹣4，﹣3
C．1，﹣4，3
D．1，﹣4，﹣3
3．已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是(　　)
A．﹣3
B．3
C．
D．2
4．一元二次方程的根的情况是(
)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．若方程能配方成的形式，则直线不经过的象限是(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，此方程可变形为(　　)
A．
B．
C．
D．
7．一元二次方程的根是
A．﹣1
B．2
C．1和2
D．﹣1和2
8．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是(
)
A．
B．
C．且
D．且
9．下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：若，则；方程的根是；若直角三角形的两边长为和，则第三边的长为．其中答案完全正确的题目个数为(
)
A．
B．
C．
D．
10．若是方程的一个根，则的值为(
)
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
11．若一元二次方程式的两根为、，且，则之值为何？(
)
A．22
B．28
C．34
D．40
12．已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根，下列判断正确的是(　　)
A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
13．不论x，y为什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值(　　)
A．总不小于2
B．总不小于7
C．可为任何实数
D．可能为负数
14．如图，等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边△EDC．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m＝0的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
1.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是_________．
2.关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是____．
3.用配方法解方程时，可配方为，其中________．
4.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程和互为“友好方程”，则m的值为_______．
三、解答题
1.学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
2.先化简，再求值：，其中m是关于x的一元二次方程的根.
3.按要求解下列方程：
(1)3x2＋x－5＝0；(公式法)(2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0.(因式分解法)
4.阅读理解：德国著名数学家高斯(C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天文学家、大地测量学家．)被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出
，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令
①
②
(右边相加
共
组)①+②：有
，解得：
请类比以上做法，回答，
?
题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．
(1)
填写下表：
(2)
写出第层所对应的点数；
(3)
如果某一层共个点，你知道它是第几层吗?
(4)
写出层的六边形点阵的总点数；
(5)
如果六边形点阵图的总点数是个，你知道它共有几层吗?
5.观察下列方程及其解的特征：
(1)的解为；
(2)的解为，；
(3)的解为，；
解答下列问题：
请猜想：方程的解为________；
请猜想：关于的方程________的解为，；
下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为．
(下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程)
6.先阅读材料，然后按照要求答题。
阅读材料：为了解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，，则原方程可化为：
①
解得：
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴原方程的解为：，
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用____________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
(2)请利用以上知识解决问题：若，求的值。
7.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．
即：如果，那么或
知识迁移
Ⅰ．解方程：
解：，
或，
∴或．
Ⅱ．解方程：，
解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
理解应用
(1)解方程：
拓展应用
(2)如图，有一块长宽分别为80，60的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为1500的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长．
8.特值验证：
当，0，1，2，5，…时，计算代数式的值，分别得到5，2，1，2，17，…．当x的取值发生变化时，代数式的值却有一个确定的范围，通过多次验证可以发现它的值总大于或等于1，所以1就是它的最小值．
变式求证：
我们可以用学过的知识，对进行恒等变形：．(注：这种变形方法可称为“配方”)
，．所以无论x取何值，代数式的值不小于1，即最小值为1．
迁移实证：
(1)请你用“配方”的方法，确定的最小值为3；
(2)求的最大值．
答案
一、选择题
1．C．2．D．3．B．4．B．5．B．6．A.7．D.8．D．9．A．
10．C.11．B．12．D．13．A.14．C．
二、填空题
1.m≧0且．
2.．
3..
4.或1或．
三、解答题
1.解：由(1)知这是一元二次方程，由(2)(3)可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－=0
2.解：
=
=
=
=，
∵m是关于x的一元二次方程x2+3x-3=0的根，
∴m2+3m=3，
∴原式=．
3.(1)3x2＋x－5＝0,(公式法)
解:因为a=3,b=1,c=-5,
所以,
所以x1＝,x2＝.
(2)
(x＋2)2－4(x－3)2＝0,
,
,
,
所以x1＝,x2＝.
4.题干：设①，②，
①+②得，
∴
∴答案：
(1)
第四列应填：18+19=37；
(2)第1层上的点数为1，
第2层上的点数为6=，
第3层上的点数为6+6=，
第4层上的点数为6+6+6=，
，
第n层上的点数为，；
(3)=96，
解答n=17，
∴第
层共
个点；
(4)
=
=；
(5)由(4)得=631，
解得n=15，或n=-14(舍去)，
∴六边形点阵图的第层的总点数是个.
5.(1)x1=5，x2＝；
(2)(或a+)；
(3)方程二次项系数化为1，
得x2?x＝?1．
配方得，
x2?x+(?)2＝?1+(?)2，即(x?)2＝，
开方得，
x?＝±，
解得x1=5，x2＝．
经检验，x1=5，x2＝都是原方程的解．
6.解：(1)根据题目的变形可以看出运用了换元法和整体思想在解答这道题，故得出结论为换元法；
(2)设，
则原方程变形为：，
整理，得，即，
解得：(不合题意，舍去)，
即：
7.(1)解：x2-10x-39=0，
∴x2-2×5x+52-52-39=0，
∴
(x-5)2-64=0，
∴
(x-5)2-82=0，
∴(x-5+8)(x-5-8)=0，
∴(x+3)(x-13)=0，
∴x+3=0或x-13=0，
∴或；
(2)解：设所剪去的小正方形的边长为xcm．根据题意，得
(80-2x)(60-2x)=1500，
化简，得x2-70x+825=0，
解这个方程，得
x1=15，或x2=55．
当x=55时，80-2×55=-30＜0．
∴x2=55舍去，只取x=15．
答：所剪去的小正方形的边长为15cm．
8.(1)证明：
，
.
所以得最小值为3.
(2)
所以的最大值为．