北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质习题3（Word版，含答案）

4.7《相似三角形的性质》习题3
一、选择题
1．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她想到了物理学中平面镜成像的原理，她在与旗杆底部A同一水平线上的E处放置一块镜子，然后推到C处站立，使得刚好可以从镜子E看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.6m，她离镜子的水平距离CE＝1.2m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝3.6m，且A、C、E三点在同一水平直线你上，则旗杆AB的高度为(　　)
A．2.7m
B．3.6m
C．4.8m
D．6.4m
2．如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE＝BC＝0.6米，求A、B、C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝12米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得GE＝2米，小明身高EF＝1.6米，则凉亭的高度AB约为(　　)
A．9米
B．9.6米
C．10米
D．10.2米
3.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为，旗杆底部与平面镜的水平距离为．若小明的眼睛与地面的距离为，则旗杆的高度为(单位：m)(
)
A．12.4
B．12.5
C．12.8
D．16
4.如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为(　　)
A．4.5m
B．4.8m
C．5.5m
D．6
m
5.已知与是位似图形，且相似比为，若的面积为27，则的面积为(
)
A．7
B．12
C．10
D．18
6.如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为(
)
A．1.2
B．1.8
C．3
D．7.2
7.如图，P、Q是⊙O的直径AB上的两点，P在OA上，Q在OB上，PC⊥AB交⊙O于C，QD⊥AB交⊙O于D，弦CD交AB于点E，若AB=20，PC=OQ=6，则OE的长为(
)
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
二、填空题
1.有一个三角形的三边长为2，4，5，若另一个和它相似的三角形的最短边为4，则第二个三角形的周长为________．
2.△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积的比为________．
3.如果，，，，，则________．
三、解答题
1.如图，花丛中有一路灯.在灯光下，小明在点D处的影长，沿方向行走到达点G，，这时小明的影长.如果小明的身高为1.7m，求路灯的高度.(精确到0.lm)
2.小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离.于是他利用镜子进行两次测量.如图，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好在镜中看到树尖A；第二次他把镜子放在点处，人在点F处正好在镜中看到树尖A．已知小军的眼睛距地面1.7m，量得m，
m，
m.求这棵古松树的高度.
3.小明放学回家途经一个小广场，广场的中央有一个羽毛球场地，场地的周围是片平坦的草坪，同时与羽毛球网在同一平面内有两个一样高的路灯，小明想测量路灯的高度但是他没有带任何测量工具．于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯下的影长为步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为步，回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，同时测得步米，求路灯的高度(结果保留一位小数)
4.如图，一路灯AB与墙OP相距20米，当身高CD=1.6米的小亮在离墙17米的D处时，影长DG为1米；当小亮站在点F时，发现自己头顶的影子正好接触到墙的底部O处．
(1)求路灯AB的高度．
(2)请在图中画出小亮EF的位置；并求出此时的影长．
(3)如果小亮继续往前走，在距离墙2米的N处停下，那么小亮MN在墙上的影子有多高？
5.如图，△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4．折叠该纸片，使点A落在线段OB上，折痕与边OA交于点C，与边AB交于点D．
(1)若折叠后使点A与点O重合，此时OC＝
；
(2)若折叠后使点A与边OB的中点重合，求OC的长度；
(3)若折叠后点A落在边OB上的点为E，且使DE∥OA，求此时OC的长度．
6.如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
(1)求证：△EBC是等腰三角形；
(2)已知：AB=7，BC=5，求的值．
7.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？
8.在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上，O为坐标AB//OC，线段OA，AB的长分别是方程的两个根(OA(1)求点B的坐标；
(2)P为OA上一点，Q为OC上一点，OQ=5，将△POQ翻折，使点O落在AB上的点处，求线段的长；
(3)在(2)的条件下，M为x轴上一点，在平面内是否存在点N，使以，Q，M，N为顶点四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图1，RtABC中，∠C=90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点D是BC上的一个定点．动点P从点C出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S(cm2)与点P的运动时间t(s)的函数图象．
(1)CD=
，S=
cm2；
(2)当点P在边AB上时，t为何值时，使得BPQ与ABC为相似？
(3)运动过程中，求出当BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．
10．如图，在△?ABC?中，∠C?＝90?°，?BC＝?8?cm?．AC：AB?＝?3?：?5?，点?P?从?B?点出发，沿?BC?向点?C?以?1cm?/?s?的速度匀速移动；点?Q?从?C?点出发，沿?CA?向点?A?以?2?cm?/?s?的速度匀速移动．两点同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动：
(1)经过多少秒时，S△QPC=S△ABC；
(2)经过多少秒时，以?C?，?P?，?Q?为顶点的三角形恰好与△?ABC?相似？
11．在中，，，．
(1)如图1，折叠使点落在边上的点D处，折痕交、分别于、，若，则＿＿＿．
(2)如图2，折叠使点落在边上的点处，折痕交、分别于、．若，求证：四边形是菱形．
(3)如图3，在(1)(2)的条件下，线段上是否存在点，使得和相似？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
12．如图，，点D是BC的中点，直线l于点E，点C在直线上，直线．点P以每秒2个单位长度的速度，从C点沿路径向终点B运动，运动时间设为
t
秒．?
(1)如图1，当时，PC=______．作PF⊥直线于点F，此时与全等吗？请说明理由．
(2)如图2，当点P在AB上时，作PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H．
①是否存在全等的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②连结，当时，求的长．
13．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x(0＜x＜8)．
(1)求证：△DCE∽△ABD；
(2)用含x的代数式表示CE的长；当CE=2时，求x的值；
(3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形(直接写出结果)．
答案
一、选择题
1．C．2.D．3.C．4.D．5.B6.A.7.C．8.B9.A.10.C．
二、填空题
1.22
2.9：16
3.12．
三、解答题
1.由题意，得，，，
∴.∴.
∴.①
同理，，
∴.②
又∵，
∴由①，②可得，
即，
解得.
将代入①，得.
故路灯的高度约为6.0m.
2.设这棵古松树的高度m，
m.
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得，
即m.
又∵，
∴.
解得，即m.
答：这棵古松树的高度为10m.
3.解：
设
答：路灯的高度约为米．
4.解：(1)∵米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
∵AB、CD都与地面BO垂直，
∴，
∴，即，
∴米；
(2)小亮的位置如图所示：
∵，
∴，即，
∴米；
(3)如图，过点M作BO的平行线，交AB于点H，交PO于点K，连接AM并延长交PO于点L，
∵小亮距离墙2米，
∴米，
∴米，
∵米，米，
∴米，
∵，
∴，即，
∴米，
∴墙上的影子长为米．
5.解：(1)∵折叠后使点A与点O重合，
∴AC=CO=AO=2，
故答案为2．
(2)如图1中，
由折叠可知，AC=EC，设AC=EC=x，则OC=4-x，
∵OE=EB=OB=2，
在Rt△OCE中，∵∠O=90°，
∴OC2+OE2=EC2，
∴(4-x)2+22=x2，
解得x=2.5，
∴OC=4-2.5=1.5．
(3)如图2中，
∵DE∥AC，
∴∠OCE=∠CED，
由折叠可知，∠A=∠CED，
∴∠A=∠OCE，
∴EC∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴，
∵OA=OB，
∴OC=OE，
设OC=OE=m，则EC=AC=4-m，
在Rt△OCE中，∵EC2=OC2+OE2，
∴(m-4)2=m2+m2，
解得m=
或(不合题意舍弃)，
∴OC=．
6.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
(2)∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
7.解：①设经x秒后，△PBQ∽△CDA，
由于∠PBQ＝∠ADC＝90°，
当时，即，解得x＝5；
②设经x秒后，△QBP∽△CDA，
由于∠PBQ＝∠ADC＝90°，
当时，即，解得x＝2．
故经过5秒或2秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似．
8.解：(1)解方程，
(x-4)(x-5)=0，
得：.
因为OA所以OA=4,AB=5,
所以B(5，4)；
(2)因为AB//OC,OQ=AB=5,
所以四边形AOQB为平行四边形。
°
所以四边形AOQB为矩形，
所以BQ=OA=4,由△POQ翻折，可得
；
(3)存在，点N的坐标为(5,4)或
分四种情况：
①如图3，M在x轴的正半轴上，四边形NO'MQ是矩形，此时N与B重合，则N(5，4)；
②如图4，M在x轴的负半轴上，四边形NMO'Q是矩形，过O'作O'D⊥x轴于D，过N作NH⊥x轴于H，
∵四边形NMO'Q是矩形，
∴MN=O'Q=5，MN∥O'Q，
∴∠NMO=∠DQO'，
∵∠NHM=∠QDO'=90°，
∴△NHM≌△O'DQ(AAS)，
∴NH=O'D=4，DQ=MH=3，
由(2)知：AO'=2，
设PO=x，则O'P=x，AP=4-x，
在Rt△APO'中，由勾股定理得：AP2+AO'2=O'P2，
即x2=22+(4-x)2，
解得：x=，
∴P(0，)，
设PO'的解析式为：y=kx+b，
则，解得：，
∴PO'的解析式为：y=，
当y=0时，，
∴x=，
∴OM=，
∴OH=OMMH=-3=，
∴N(，-4)；
③如图5，M在y轴的正半轴上，四边形MNQO'是矩形，
由②知：M(0，)，O'(2，4)，Q(5，0)，
∴N(3，)；
④如图6，M在y轴的负半轴上，四边形MNO'Q是矩形，过O'作O'D⊥x轴于D，
∵∠MOQ=∠QDO'，∠OMQ=∠DQO'，
∴△MOQ∽△QDO'，
∴，即，
∴OM=，
∴M(0，)，
∵O'(2，4)，Q(5，0)，
∴N(-3，)，
综上，点N的坐标为：N(5，4)或(，-4)或(3，)或(-3，)．
9.(1)当点P运动到点A时，BPQ的面积为18，
当t=5时，AP=，点Q在D点，点P在AB上，如图1，作PH于H
在中，AC=6，BC=8
故答案为：；
(2)点P在边AB上，
当时，点Q在D点，BP=16-2t，
若
即
；
当时，点DQ=t-5，则
当时，，如图2，
即
解得t=3，不合题意舍去；
当时，如图3
即
解得t=6
综上所述，当或t=6时，BPQ与ABC为相似；
(3)PB=16-2t，BQ=11-t，
当BP=BQ,则16-2t=11-t,解得t=5;
当PB=PQ,作PM于M，如图4，
则
即
解得
综上所述，当BPQ是以BP为腰的等腰三角形时，t的值为5或．
10．解：(1)设AC=3x，AB=5x，则
∴x=2，
∴AC=6cm
，
设经过t秒，S△QPC=S△ABC，
则PC=8-t，CQ=2t，由题意列方程得：
解得：t1=2，t2=6
∵0≤t≤3
∴t2=6，不合题意，舍去．
答：经过2秒时，S△QPC=S△ABC；
(2)分两种情况分析，
当时，有△CBA∽△CPQ，
即
∴t=
当时，有△CAB∽△CPQ，
即
∴t=.
答：经过秒或秒时，以?C?，?P?，?Q?为顶点的三角形恰好与△?ABC?相似.
11．(1)如图，
在中，
∵，，，
∴
设，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴
整理得：，
解得：，(舍去)，
∴．
(2)如图
由翻折的性质可知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴AE=AF，
∴，
∴四边形是菱形；
(3)如图，连接MP、HP，
设．
则，，
∴，解得
∴
∴，
∴
∵，
∴
设，
①当时，
∴，
解得：
∴，
②当时，，
解得：或．
∴或．
综上所述，满足条件的值为或8或．
12．解：(1)当如图1，当时，PC=4．作PF⊥直线于点F，此时与全等．
证明：∵D为CB中点，
∴CD=CB=4，
∴CP=CD，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCF+∠DCE=90°，
∵l，
∴∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠PCF=∠CDE，
在与中，
∴≌；
(2)①当△PAG≌△CDE时，AP=CD=4，
∴AC+AP=6+4=10，
t=10÷2=5；
当△BPH≌△CDE时，BP=CD=4，
∴AC+AP=6+(10-4)=12，
t=12÷2=6；
∴当t=5或6时，全等；
②如图，
∵PG⊥AC，
∴∠PGA=∠BCA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AGP∽ACB，
∴,
∵，
∴PG=CG，
设CG=GP=4x，则AG=3x，
∴3x+4x=6，
∴PG=4x=
．
13．(1)证明：，
∵，
∴，
，
∴△DCE∽△ABD；
(2)由(1)得△DCE∽△ABD，
当CE=2时，即
解得；
(3)①当DA=DE时，△DCE≌△ABD，
∴DC=AB=6，即8-x=6．解得?x=2．
②当EA=ED时，∠DAE=∠1=∠B=∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴，即．
解得：．
③当AD=AE时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时x=0．
(或当AD=AE时，∠1=∠AED＞∠C，
∵∠1=∠B=∠C，
∴AD=AE情况不成立．
综上所述，当或时，△ADE为等腰三角形．