九年级数学上册北师大版 4.4《探索三角形相似的条件》一课一练 习题1（word版含答案）

4.4《探索三角形相似的条件》习题1
一、选择题
1．下列各组图形中，是相似图形的是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．如图，点P在△ABC的边AC上，添加一个条件可判断△ABP∽△ACB，其中添加不正确的是(　　)
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C．＝
D．＝
3．如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，若，则下列结论中正确的是(
)
A．△AOB∽△AOD
B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC
D．△AOB∽△COD
4．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是(
)
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
5．如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是(　　)
A．△AFD
B．△FED
C．△AED
D．不能确定
6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
7．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是(
)
A．AB2＝BCBD
B．AB2＝ACBD
C．ACBD＝ABAD
D．ABAC＝ADBC
8．下列说法正确的是(　　)
A．任意两个等腰三角形相似
B．任意两个直角三角形相似
C．任意两个等腰直角三角形相似
D．任意两个钝角三角形相似
9．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD=1：3，则BE：EC=(
)
A．
B．
C．
D．
10．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为(
)
A．1
B．
C．
D．5
11．如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作?
EF∥AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是(??
)
A．
B．
C．?
D．
12．点是中边上的一点，过点作直线(不与直线重合)截，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有(
)
A．条
B．条
C．条
D．条
13．在平面直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图6所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为(
)
A．
B．
C．
D．
14．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC=，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为(　　)
A．
B．
+1﹣
C．﹣
D．﹣1
二、填空题
15．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．
16．把一个矩形剪去一个正方形后，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为________．
17．如图，△ABC
中，点
D
在边
AB
上，满足∠ACD=∠ABC，若
AC=2，AD=1，则
DB=________．
18．如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为________；当时，为________．(用含的式子表示)
三、解答题
19．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小．
20．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
21．如图，△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△ABC∽△PAC(不写画法保留作图痕迹)，并证明△ABC∽△PAC．
22．甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E=∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC．”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
23．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：
(1)当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽．
(2)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
24．如图，E是□ABCD的边BC延长线上一点，AE交CD于点F，FG∥AD交AB于点G．
(1)填空：图中与△CEF相似的三角形有__________；(写出图中与△CEF相似的所有三角形)
(2)从(1)中选出一个三角形，并证明它与△CEF相似．
25．图1，图2均为的正方形网格，的三个顶点均在格点上，
(1)请在图1中以为边画一个格点三角形，使它与相似(不全等)；
(2)请在图2中以为边画一个格点三角形，使它与相似(不全等)．
26．如图，□ABCD的对角线交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
(1)求证：△BDE是直角三角形；
(2)如果OE⊥CD，试判断△BDE与△DCE是否相似，并说明理由．
答案
一、选择题
1．D.2．D．3．D．4．A.5．A．6．C．7．B.8．C．9．A.
10．C11．A.12．C．13．D14．D．
二、填空题
15．∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB(答一个即可)．
16．
17．DB=3
18．,
三、解答题
19．∵两个四边形相似，
∴20：5=x：6=y：7，
解得：x=24，y=28，
∵四边形内角和等于360°，
∴α=
=75°，
∴x=24，y=28，α=75°．
20．证明：　∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
21．解：如图所示：点P即为所求，
∵MN是AC的垂直平分线，交BC于点P，
∴AP＝CP，
∴∠C＝∠PAC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝∠PAC，
∴△ABC∽△PAC．
22．
乙同学的解答不正确，
与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE=∠ABC，
又∵∠E=∠C，
∴△GFE∽△ABC
23．解：(1)存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)=，
解得：x1=，x2=；
∴
“减半”矩形的长为，宽为；
(2)不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
24．(1)△ADF，△EBA，△FGA；
(2)△ADF∽△ECF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BE∥AD
，
∴∠DAF=∠E，∠FCE=∠D，
∴△ADF∽△ECF.
25．解：(1)如图，
∵AB=2，BC=4，
∴当BE=1时，
∴
∴Rt∽Rt，
∴为所求；
(2)如图，
∵AF=，
∴为所求．
26．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵OE=OB，
∴OE=OD，
∴∠OBE=∠OEB，∠ODE=∠OED，
∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED=180°，
∴∠BED=∠OEB+∠OED=90°，
∴DE⊥BE，即△BDE是直角三角形；
(2)△BDE与△DCE相似．
理由如下：
∵OE⊥CD，
∴∠CEO＋∠DCE=∠CDE＋∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵∠OBE=∠OEB，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DCE.