1.1 集合的概念导学案-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案）

新人教版A必修第一册
同步教学教案
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1　集合的概念
学习目标　1.通过实例理解集合的有关概念；2.初步理解集合中元素的三个特性；3.体会元素与集合的属于关系；4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．
知识点一　集合的概念
思考　有首歌中唱道：“他大舅他二舅都是他舅”你能从集合的角度解读一下这句话吗？
答案　“某人的舅”是一个集合，某人的大舅、二舅都是这个集合中的元素．
元素与集合的概念：
(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
知识点二　元素与集合的关系
思考　1是整数吗？是整数吗？
答案　1是整数；不是整数．
一般地，元素与集合的关系有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、?.
知识点三　元素的三个特性
思考1　某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？
答案　某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
思考2　构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？
答案　2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．
思考3　“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？
答案　两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．
一般地，元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．
知识点四　常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
类型一　集合的概念
例1　考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2014年在校的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
解　(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
反思与感悟　判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1　(1)下列给出的对象中，能构成集合的是(　　)
A．著名数学家
B．很大的数
C．聪明的人
D．小于3的实数
(2)下列各组对象可以组成集合的是(　　)
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)只有选项D有明确的标准，能构成一个集合．
(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二　元素的三个特性的应用
例2　已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使A＝B.
解　(1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0，或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝{0,5,10}≠B.
若2a－1＝0，则a＝，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝{0，－，}≠B.
故不存在这样的实数a，x.
跟踪训练2　已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值．
解　方法一　根据集合中元素的互异性，
有或
解得或或
再根据集合中元素的互异性，得
或
方法二　∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0，或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1，或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
类型三　元素与集合的关系
例3　数集A满足条件：若a∈A，a≠－1，则∈A.
(1)若2∈A，写出A中的其他两个元素；
(2)若A为单元素集合，求a.
解　(1)若a∈A，a≠－1，则∈A，
∴当2∈A时，＝∈A；
当＝2即a＝－时，2∈A.
综上可知，A中还有的两个元素为－和.
(2)∵A为单元素集合，则必有：a＝，
即a2＋a－1＝0，
解得：a＝或a＝.
跟踪训练3　已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－a∈A”，则集合A中最多有________个元素．
答案　5
解析　因为集合A中的元素是自然数，且a∈A,4－a∈A，所以a≥0,4－a≥0，解得0≤a≤4，又a是自然数，所以集合A中最多有0,1,2,3,4共5个元素．
1．下列给出的对象中，能组成集合的是(　　)
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
答案　D
2．下面说法正确的是(　　)
A．所有在N中的元素都在N
中
B．所有不在N
中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
答案　C
3．由“book中的字母”构成的集合中元素个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　C
4．下列结论不正确的是(　　)
A．0∈N
B.?Q
C．0?Q
D．－1∈Z
答案　C
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　)
A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
答案　B
解析　由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
一、选择题
1．已知集合A由x<1的数构成，则有(　　)
A．3∈A
B．1∈A
C．0∈A
D．－1?A
答案　C
解析　很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
2．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含(　　)
A．2个元素
B．3个元素
C．4个元素
D．5个元素
答案　A
解析　由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．
3．下列结论中，不正确的是(　　)
A．若a∈N，则－a?N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则∈R
答案　A
解析　A不对．反例：0∈N，－0∈N.
4．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A．0?M
B．2∈M
C．－4?M
D．4∈M
答案　D
解析　①当x，y，z均为正数时，代数式＋＋＋的值为4；②当x，y，z为两正一负时，代数式＋＋＋的值为0；③当x，y，z为一正两负时，代数式＋＋＋的值为0；④当x，y，z均为负数时，代数式＋＋＋的值为－4，所以集合M为{4,0，－4}，故选D.
5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
答案　D
解析　由元素的互异性知a，b，c均不相等．
6．若数集A满足：任意x，y∈A，必有xy∈A，则称数集A为乘法闭集．下列说法错误的是(　　)
A．{0}是乘法闭集
B．{0,1}是乘法闭集
C．乘法闭集中必须有0
D．若乘法闭集A中没有0也没有1，则A中必有无限多个元素
答案　C
解析　显然A，B中的说法是正确的；{1}也是乘法闭集，但无0，C的说法错误；对于D，设a∈A，且a≠0,1.则a2，a3，a4，…均在A中，且互不相等，故必有无限多个元素．
二、填空题
7．方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________个元素．
答案　1
解析　易知方程x2－4x＋4＝0的解为x1＝x2＝2，由集合元素的互异性知，方程的解集中只有1个元素．
8．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②D∈/Q；③0∈N
；④|－4|D∈/N
.
答案　2
解析　∵π是实数，是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
9．如果有一集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
答案　x≠0,1,2，
解析　由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
10．已知a，b∈R，集合A＝{a，，1}，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，则a＋b＝____.
答案　－1
解析　∵A＝B,0∈B，∴0∈A.
∴＝0，b＝0.
∴B＝{a，a2,0}．
∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1.
∵a＝1时违反元素互异性，
∴a＝－1，∴a＋b＝－1.
三、解答题
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．
解　由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
12．已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x.
解　当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，
则x＝－2，或x＝1.
经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
解　(1)2∈A，则∈A，
即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，
即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
所以又有＝∈A且≠1，
进而有＝a∈A.
又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)．
故≠，所以A中只能有3个元素，
它们分别是a，，，且三个数的乘积是－1.
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