1.2 集合间的基本关系导学案-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案）

新人教版A必修第一册
同步教学教案
第一章
集合与常用逻辑用语
1.2　集合间的基本关系
学习目标　1.理解子集、真子集、空集的概念；2.能用符号和Venn图表达集合间的关系；3.掌握列举有限集的所有子集的方法．
知识点一　子集
思考　如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？
答案　所有的白马都是马，马不一定是白马．
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B(或B?A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
子集的有关性质：
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
(3)若A?B，B?A，则A＝B.
知识点二　真子集
思考　在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？
答案　用真子集．
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是集合B的真子集，记作：AB(或BA)，读作：A真包含于B(或B真包含A)．
知识点三　空集
思考　集合{x∈R|x2＜0}中有几个元素？
答案　0个.
定义
不含任何元素的集合叫做空集
符号
用符号表示为
规定
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
知识点四　Venn图
思考　图中集合A，B，C的关系用符号可表示为__________．
答案　A?B?C
一般地，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
类型一　理解子集、真子集、空集的概念
例1　已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
解　A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝?A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝{}，
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.
反思与感悟　集合A的子集可分三类：?、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.
跟踪训练1　已知集合A＝{x|1解　(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A?B，需这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．
类型二　罗列集合的子集
例2　(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
解　(1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如，有一个子集，0个真子集．
反思与感悟　为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．
跟踪训练2　适合条件{1}?A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是(　　)
A．15
B．16
C．31
D．32
答案　A
解析　这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
类型三　判断和证明集合间的关系
例3　已知A＝{x|x＝＋，k∈Z}，B＝{x|x＝＋，k∈Z}，判断A与B的关系并证明．
解　当k＝0,1,2,3时，＋＝，，，，
＋＝，，，.
猜想AB.下用定义证明．
(1)若a∈A，则存在k0∈Z，使a＝＋，而＋＝＋，且2k0－1∈Z，
∴a∈B，即A?B.
(2)由上知1∈B，令1＝＋，解得k＝?Z，即1?A.
综上知AB.
反思与感悟　判断或证明集合间的关系，要紧扣定义，如果是描述法表示的集合，不妨先变为列举法或者列举一部分，使集合中元素特征清晰地呈现出来．
跟踪训练3　已知A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，判断A与B的关系并证明．
解　A＝B.下证明之．
若x1∈A，则存在k1∈Z使x1＝2k1＋1＝2(k1＋1)－1，
∵k1∈Z，∴k1＋1∈Z，∴x1∈B，∴A?B.
同理可证A?B，∴A＝B，证毕．
1．下列集合中，结果是空集的是(　　)
A．{x∈R|x2－1＝0}
B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x2＋y2＝0}
D．{x|x＞6且x＜1}
答案　D
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为(　　)
A．PT
B．P∈T
C．P＝T
D．P
?T
答案　A
3．下列关系错误的是(　　)
A．?
B．A?A
C．?A
D．∈A
答案　D
4．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是(　　)
答案　B
5．若A＝{x|x>a}，B＝{x|x>6}，且A?B，则实数a可以是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
答案　D
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
一、选择题
1．设A＝{a，b}，B＝{x|x∈A}，则(　　)
A．B∈A
B．BA
C．A∈B
D．A＝B
答案　D
解析　因为集合B中的元素x∈A，所以x＝a或x＝b，
所以B＝{a，b}，因此A＝B.
2．若集合A＝{x|x＝n，n∈N}，B＝{x|x＝，n∈Z}，则A与B的关系是(　　)
A．A?B
B．B?A
C．A＝B
D．A∈B
答案　A
解析　A＝{0,1,2，…}，B＝{…，－1，－，0，，1，，2，…}，A中任意一个元素均在B中．
3．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系正确的是(　　)
①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.
A．①③
B．②③
C．③④
D．③⑥
答案　D
解析　元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．
4．设B＝{1,2}，A＝{x|x?B}，则A与B的关系是(　　)
A．A?B
B．B?A
C．B∈A
D．A＝B
答案　C
解析　∵A＝{x|x?B}，∴A＝{，{1}，{2}，{1,2}}，∴B∈A.
5．设A＝{x|1A．a≤2
B．a≤1
C．a≥1
D．a≥2
答案　D
解析　∵A?B，∴a≥2.
6．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠，B?A，则(a，b)不能是(　　)
A．(－1,1)
B．(－1,0)
C．(0，－1)
D．(1,1)
答案　B
解析　当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；
当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，符合；
当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合．
二、填空题
7．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有________个．
答案　4
解析　由题意得，含有元素0的集合A的子集有：{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}共4个．
8．已知{0,1}A?{－1,0,1}，则集合A＝________.
答案　{－1,0,1}
解析　由题意知集合A中一定含有元素0,1，并且A中至少含三个元素，又因为A?{－1,0,1}，所以A＝{－1,0,1}．
9．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，那么a的值是________．
答案　0，±1
解析　P＝{－1,1}，Q?P，所以
(1)当Q＝?时，a＝0.
(2)当Q≠?时，Q＝{}，
所以＝1或＝－1，解之得a＝±1.
综上知a的值为0，±1.
10．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
答案　M＝P
解析　∵xy>0，∴x，y同号，
又x＋y<0，∴x<0，y<0，
即集合M表示第三象限内的点，
而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
三、解答题
11．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0解　先用列举法表示集合A，B.
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值．
解　∵集合A的子集只有两个，
∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝.
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝.
综上，a的值为0或.
13．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．
解　①当A无真子集时，A＝，
即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，
所以所以a>1.
②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：
当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－；
当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上，当集合A至多有一个真子集时，
a的取值范围是a＝0或a≥1.
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