3.1.2 函数的表示法 导学案——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1　函数的概念及其表示
3.1.2
　函数的表示法
【学习目标】
(1)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(2)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
【要点梳理】
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
【知识点讲解】
知识点一　解析法
思考　一次函数如何表示？
答案　y＝kx＋b(k≠0)．
一般地，解析法是指：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
知识点二　图象法
思考　要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？
答案　一图胜千言．
一般地，图象法是指：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势．
知识点三　列表法
思考　在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下
的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案　对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
一般地，列表法是指：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
函数三种表示法的优缺点：
【题型讲解】
类型一　解析式的求法
例1　根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f[f(x)]＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
(2)f(x＋)＝x2＋；
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
解　(1)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f[f(x)]＝af(x)＋b＝a[ax＋b]＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(2)f(x＋)＝x2＋＝(x＋)2－2，
∴f(x)＝x2－2.
又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2，
∴f(x)中的x与f(x＋)中的x＋取值范围相同，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
反思与感悟　1.如果已知函数类型，可以用待定系数法．
2．如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设
t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t.
3．如果条件是一个关于f(x)、f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x)．
跟踪训练1　根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
(3)2f()＋f(x)＝x(x≠0)．
解　(1)由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
(3)∵f(x)＋2f()＝x，将原式中的x与互换，
得f()＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
类型二　图象的画法及应用
例2　试画出函数y＝的图象．
解　由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]．
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1.
x＝±时，y＝.
利用以上五点描点连线，即得函数y＝的图象如下：
反思与感悟　画图时一般很难把所有点都描出来，故为了使画出来的图能反映变量间的变化规律，我们要尽量选择关键点：最高点、最低点和与x，y轴的交点．
跟踪训练2　一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案　B
解析　由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．故选B.
类型三　函数表示法的选择
例3　下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试
序号
姓名
成绩
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
解　(1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
反思与感悟　函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．
跟踪训练3　画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值，最小值．
解　y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，y有最小值－5.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于(　　)
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1
B．2
C．3
D．4
答案　A
2．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
答案　D
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为(　　)
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
答案　A
4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是(　　)
答案　C
5．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D[D(x)]等于(　　)
A．0
B．1
C.
D.
答案　B
1．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
2．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
一、选择题
1．若正比例函数的图象经过二、四象限，则m等于(　　)
A．1
B．2
C．－1
D．－2
答案　D
解析　因为是正比例函数，所以有m2－3＝1，m＝±2.
又图象经过二、四象限，所以m＝－2.
2．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x>0)
B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0)
D．y＝(x>0)
答案　C
解析　由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
3．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是(　　)
答案　D
解析　根据函数的定义，观察图象，对于选项A，B，值域为{y|0≤y≤2}，不符合题意，而C中当0≤x<2时，一个自变量x对应两个不同的y，不是函数．故选D.
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝(x－a)2(b－x)
B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b)
D．f(x)＝(x－a)2(x－b)
答案　A
解析　由图象知，当x＝b时，f(x)＝0，故排除B，C；又当x>b时，f(x)<0，故排除D.故应选A.
5．函数y＝的图象是(　　)
答案　A
解析　1不在函数定义域内，故可排除B、C；当x>1时，函数值为正，排除D.故选A.
6．如果f()＝，则当x≠0,1时，f(x)等于(　　)
A.
B.
C.
D.－1
答案　B
解析　方法一　令＝t，则x＝，
代入f()＝，
则有f(t)＝＝，故选B.
方法二　∵x≠0,1，∴f()＝＝，
故f(x)＝.
二、填空题
7．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝，则f()的值为______．
答案　15
解析　令1－2x＝，则x＝，
∴f()＝＝15.
8．已知函数f(x)＝x＋，且此函数图象过点(1,5)，则实数m的值为________．
答案　4
解析　　f(1)＝1＋＝m＋1＝5，m＝4.
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f[g(x)]＝g[f(x)]的x的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
答案　2或4
解析　x＝1时，f[g(1)]＝f(3)＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3.
x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝3.
x＝3时，f[g(3)]＝f(3)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3.
x＝4时，f[g(4)]＝f(2)＝3，g[f(4)]＝g(3)＝3.
满足f[g(x)]＝g[f(x)]的x的值只有2或4.
10．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.
答案　2
解析　由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.
因此，有f{f[f(2)]}＝f[f
(0)]＝f(4)＝2.
三、解答题
11．求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．；
(2)求满足f＝－1的函数f(x)．
解　(1)以－x代x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.
与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：
f(x)＝x2－2x.
(2)令t＝1＋(x≠0)，则x＝(t≠1)，
所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，
所以f(x)＝x2－2x(x≠1)．
12．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的值域．
解　(1)当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，
∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
∴f(x)＝
(2)当－1≤x≤0时，y∈[0,1]．
当x>0时，y∈[－1，＋∞)．
∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞)＝[－1，＋∞)．
13．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解　因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
(
第
2
页
)