22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
一、夯实基础
1.下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y=-2x2的图象上的是____.
【答案】(-1，-2).
【解析】
试题分析：可将各点代入二次函数里，如果能使等式两边相等，即说明点在函数图象上.可得(－1，－2)在函数图象上.
2.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共同性质是(
)
A.
开口向上
B.
对称轴是y轴
C.
都有最高点
D.
y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】
试题分析：观察抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2，发现三个抛物线b=0,c=0，所以他们的对称轴均为y轴；三个函数a的正负不同所以开口方向不同；开口向上的有最低点，开口向下的有最高点；三个函数在不同的定义域内，增减性不同，并不是单调递增的.故选B.
3.关于函数y=x2的性质表达正确的一项是（??
）
A.
无论x为任何实数，y值总为正
B.
当x值增大时，y的值也增大
C.
它的图象关于y轴对称
D.
它的图象在第一、三象限内
【答案】C
【解析】
函数y=3x2具有的性质是：有最小值为0，图象关于y轴对称，当x>0时，y随x的增大而增大，当y<0时，y随x的增大而减小，所以只有选项C正确，故选C.
4.已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则(
)
A.
y1B.
y1C.
y3D.
y2【答案】A
【解析】
本题考查二次函数图象性质,
二次函数y=x2的开口方向向上,对称轴是y轴,根据图象可知,二次函数上的点距离对称轴越远,函数值越大,因此可得y15.写出图象经过点(-1，1)的一个二次函数解析式是____.
【答案】y=x2.
【解析】
设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，1）代入得，1=a×12，所以a=1，所以解析式为y=x2，
故答案：y=x2（答案不唯一）.
6.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，-).
(1)求这个二次函数解析式并画出其图象；
(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.
【答案】(1)y=-x2，图象见解析；(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴.
【解析】
试题分析：（1）将点的坐标代入解析式即可求得，然后根据描点法画图象即可；
（2）根据y=ax2的性质即可得.
试题解析：（1）将点A（-1，
）代入y=ax2，得=a×12，解得，a=，
所以解析式为：y=-x2.
图象如图所示：
（2）根据二次函数y=ax2的性质可知：顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴.
7.已知二次函数y=(m-2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是____
【答案】m<2.
【解析】
∵二次函数y=(m?2)x2的图象开口向下，
∴m?2<0，
∴m<2，
故答案为m<2.
8.下列四个二次函数：①y=x2，②y=-2x2，③y=x2，④y=3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是____
【答案】③①②④.
【解析】
抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽，
由此可知抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故答案为③①②④.
9.分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式：
(1)经过点(-3，2)；
(2)与y=x2开口大小相同，方向相反.
【答案】(1)
y=；(2)
y=
.
【解析】
试题分析：（1）把点（-3，2）代入解析式即可求得；
（2）由开口大小相同，可知|a|一样，方向相反，可知互为相反数，由此可得.
试题解析：（1）∵y=ax2过点(-3，2)，∴2=a×(-3)2，则a=，
∴解析式为y=x2；
（2）∵y=ax2与抛物线y=x2开口大小相同，方向相反，
∴a=-
，
∴解析式为.
【点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线解析式，关键是要正确进行计算.
二、能力提升
10.二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】C
【解析】
关于二次函数y=x2和y=2x2，
①它们的图象都是开口向上，正确；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)，正确；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大，正确；④它们开口的大小是一样的，错误，开口大小与|a|的绝对值有关，|a|的绝对值越大，开口越小，所以正确的有3个，
故选C.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键.
11.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越小”分析可得：
.
故选A.
点睛：（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小.
12.若二次函数y=m的图象开口向下，则m=____
【答案】m=－1
【解析】
本题考查二次函数性质和二次函数的概念,根据二次函数的概念可得:,解得,再由二次函数开口向下可得:m<0,因此m=－1.
13.二次函数y=-6x2，当x1＞x2＞0时，y1与y2的大小关系为____.
【答案】y1＜y2
【解析】
试题分析：由函数的解析式可知a=-6，函数的开口线下，在x＞0时，y随x增大而减小，因此可知当x1＞x2＞0时，y1＜y2.
故答案为
y1＜y2
三、课外拓展
14.已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
【答案】2
【解析】
∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，
∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S△OAB=×2×2=2，
故答案为2．
15.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
【答案】(1)
a=1，m=1；(2)二次函数的表达式：y=x2，当x>0时，y随x的增大而增大；(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数发先求出m的值，然后再代入求出a的值；
（2）根据函数解析式和图像的性质直接可写出；
（3）根据函数的图形与性质求出顶点和对称轴即可.
试题解析：(1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以Ｐ点坐标为(1，1).
将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12，
得a=1.
即a=1,m=1.
(2)二次函数的表达式：y=x2，
当x>0时，y随x的增大而增大.
(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
【此处有视频，请去附件查看】
四、中考链接
16.已知≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）
解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．
故选C．
点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
【此处有视频，请去附件查看】
17.定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有__（填上所有正确答案的序号）
①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2（x＞0）；
【答案】①③
【解析】
y=2x，2＞0，y随x的增大而增大，符合增函数的定义，∴①是增函数；
y=﹣x+1，﹣1＜0，y随x的增大而减小，不符合增函数的定义，∴②不是增函数；
y=x2，对称轴是y轴，开口向上，当x＞0时，y随x的增大而增大，符合增函数的定义，∴③是增函数，
故答案为①③．
【点睛】本题考查了新定义问题，正确地理解定义并掌握一次函数、二次函数相关性质是解题的关键.22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
一、夯实基础
1.下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y=-2x2的图象上的是____.
2.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共同性质是(
)
A.
开口向上
B.
对称轴是y轴
C.
都有最高点
D.
y随x的增大而增大
3.关于函数y=x2的性质表达正确的一项是（??
）
A.
无论x为任何实数，y值总为正
B.
当x值增大时，y的值也增大
C.
它的图象关于y轴对称
D.
它的图象在第一、三象限内
4.已知点(-1，y1)，(2，y2)，(-3，y3)都在函数y=x2的图象上，则(
)
A.
y1B.
y1C.
y3D.
y25.写出图象经过点(-1，1)的一个二次函数解析式是____.
6.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1，-).
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；
(2)请说出这个二次函数顶点坐标、对称轴.
7.已知二次函数y=(m-2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是____
8.下列四个二次函数：①y=x2，②y=-2x2，③y=x2，④y=3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是____
9.分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式：
(1)经过点(-3，2)；
(2)与y=x2开口大小相同，方向相反.
二、能力提升
10.二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有(
)
A
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
11.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为
A.
B.
C.
D.
12.若二次函数y=m的图象开口向下，则m=____
13.二次函数y=-6x2，当x1＞x2＞0时，y1与y2大小关系为____.
三、课外拓展
14.已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
15.二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
四、中考链接
16.已知≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2图象有可能是（
）
A.
B.
C.
D.
17.定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有__（填上所有正确答案的序号）
①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2（x＞0）；
