2020-2021学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期末数学试卷（word版含解析）

2020-2021学年安徽省合肥市瑶海区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题，满分40分）.
1．抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为（　　）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝2
2．若反比例函数的图象经过（2，﹣2），（m，1），则m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
3．如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝6，则AC的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝54°，则∠BAC的度数为（　　）
A．27° B．28° C．36° D．54°
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x经变换后得到抛物线y＝x2﹣4x，则这个变换可以是（　　）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
7．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（　　）
A．3m B．m C．m D．4m
8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝，则劣弧AB的长是（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
9．抛物线y＝ax2﹣1与双曲线y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
10．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x+1﹣2a与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且﹣1＜x1＜0，0＜x2＜，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞ B．a＜ C．a＞或a＜ D．＜a＜
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题：　 　．
12．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　 　．
13．如图，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），则的值为　 　．
14．如图，点Q是△ABC内一点，且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠α．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，∠α＝　 　．
（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形（其中∠ACB＝90°）时，△QAC、△QBA、△QCB的面积之比是　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：cos230°+sin245°﹣tan60°?tan30°
16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），求抛物线的解析式及其顶点C的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2．
18．已知：如图，在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，延长DE、BC交于点F．求证：BF?EC＝CF?AE．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
20．如图，点A在反比例函数y＝的图象位于第一象限的分支上，过点A作AB⊥y轴于点C，S△AOB＝2．
（1）求该反比例函数的表达式，
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由．
六、（本大题满分12分）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O直径是5，AE＝3.2，求BD的长．
七、（本大题满分12分）
22．安徽盒子健康公司不断加大科技投入，现投资500万元购进一条灭新冠病毒专用口罩生产线，2020年12月份投产后若不计维修保养、捐赠口罩成本等费用，每月可创利100万元．实际生产过程中，第n月的维修保养、捐赠口罩成本等费用满足下表：
第n月 第1月 第2月
维修保养、捐赠口罩成本等费用（万元） 3 5
若从第1月到第n月的维修保养与损耗等费用累计为y（万元），且y＝an2+bn．
（1）求出y的解析式；
（2）设该公司第n月的利润为w（万元），求w与n之间的函数关系式，并指出在第几月w取得最大值，最大值是多少？
（3）该公司在2021年哪月份能收回投资？
八、（本大题满分14分）
23．如图，点E是正方形ABCD内部一点，△AEF、△BEG均为等腰直角三角形，∠EAF＝∠EBG＝90°，连接AG、FC．
（1）已知正方形的边长为5，E、F、G三点在同一条直线上（如图1）．
①若△AEF与△BEG的相似比为2：1，求△EAB的面积；
②求D、E两点之间距离的最小值．
（2）如图2，当E、F、G三点不在同一条直线上时，求证：AG∥CF．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题每小题4分，满分40分）
1．抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为（　　）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝2
解：
∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴为x＝1，
故选：C．
2．若反比例函数的图象经过（2，﹣2），（m，1），则m＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
解：设反比例函数解析式y＝，
将（2，﹣2）代入得﹣2＝，
∴k＝﹣4，
即函数解析式为y＝﹣，
将（m，1）代入解析式得1＝﹣，
∴m＝﹣4．
故选：D．
3．如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得，AE＝3，
故选：C．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝6，则AC的长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AB＝6，
∴cosA＝＝＝，
∴AC＝4，
故选：C．
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝54°，则∠BAC的度数为（　　）
A．27° B．28° C．36° D．54°
解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝54°，
∴∠BAC＝∠BOC＝27°．
故选：A．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x经变换后得到抛物线y＝x2﹣4x，则这个变换可以是（　　）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
解：y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4，顶点坐标是（﹣2，﹣4）．
y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，顶点坐标是（2，﹣4）．
所以将抛物线y＝x2+4x向右平移4个单位得到抛物线y＝x2﹣4x，
故选：B．
7．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（　　）
A．3m B．m C．m D．4m
解：∵sin∠CAB＝＝＝，
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝＝，
解得：B′C′＝3．
故选：B．
8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝，则劣弧AB的长是（　　）
A．2π B．3π C．4π D．6π
解：连接OC、OB，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∵OD＝3，
∴OC＝3，
∵tan∠OAB＝，
∴∠A＝∠B＝30°，OA＝2OC＝6，
∴∠AOB＝120°，
∴劣弧AB的长是：＝4π．
故选：C．
9．抛物线y＝ax2﹣1与双曲线y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
解：由抛物线y＝ax2﹣1可知，抛物线与y轴的正半轴相交，故A、C不合题意，
B、由抛物线开口向下可知a＜0，由双曲线在第一、三象限可知a＞0，两结论相矛盾，故B选项不合题意；
D、由抛物线开口向下可知a＜0，由双曲线在第二、四象限可知a＜0，两结论一致，故D选项符合题意．
故选：D．
10．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x+1﹣2a与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且﹣1＜x1＜0，0＜x2＜，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＞ B．a＜ C．a＞或a＜ D．＜a＜
解：∵抛物线y＝x2+（2a﹣1）x+1﹣2a与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1，x2是方程x2+（2a﹣1）x+1﹣2a＝0的两个根，
∴x1+x2＝1﹣2a，x1x2＝1﹣2a，
∵﹣1＜x1＜0，0＜x2＜，
∴﹣＜1﹣2a＜0，
∴＜a＜，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题：　对角互补的四边形是圆内接四边形　．
解：命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：对角互补的四边形是圆内接四边形，
故答案为：对角互补的四边形是圆内接四边形．
12．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　　．
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ADC＝90°，由勾股定理得：
AC＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝．
故答案为：．
13．如图，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），则的值为　　．
解：∵反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（a，b），
∴b＝，b＝a﹣2，
∴ab＝6，a﹣b＝2，
∴＝＝﹣＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．
14．如图，点Q是△ABC内一点，且满足∠QAB＝∠QBC＝∠QCA＝∠α．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，∠α＝　30°　．
（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形（其中∠ACB＝90°）时，△QAC、△QBA、△QCB的面积之比是　1：2：2　．
解：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠4＝∠5＝∠6，
∴△ACQ≌△BAQ（ASA），
∴CQ＝AQ，同法可证CQ＝BQ，
∴QA＝QB＝QC，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝30°
故答案为30°，
（2）作CH⊥AQ交AQ的延长线于H，如图2，
设QC＝m．
∵∠AQC＝180°﹣∠3﹣∠CAQ＝135°，
∴∠CQH＝45°，
∴CH＝m，
∵△ACQ∽△BAQ，
∴，
∴AQ＝m，BQ＝2m，
∵S△AQC＝?AQ?CH＝m2，
S△ABQ＝AQ?BQ?＝m2，
∵∠AQC＝∠AQB＝135°，
∴∠CQB＝90°，
S△BCQ＝?BQ?CQ＝m2，
∴S△AQC：S△ABQ：S△BCQ＝m2：m2：m2＝1：2：2，
故答案为：1：2：2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：cos230°+sin245°﹣tan60°?tan30°
解：原式＝（）2+（）2﹣?
＝+﹣1
＝．
16．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），求抛物线的解析式及其顶点C的坐标．
解：把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣（x+1）2+4，
∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．
（1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°得到菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2．
解：（1）如图，菱形OA1B1C1即为所求作，B1（8，8）；
（2）如图，菱形OA2B2C2即为所求作．
18．已知：如图，在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，延长DE、BC交于点F．求证：BF?EC＝CF?AE．
解：作DG∥BC交AC于点G，DH∥AC交BC于点H，
∵D为AB中点，
∴G为AC中点，H为BC中点，BC＝2DG，AC＝2AG，
∵DG∥BC，
∴△DGE∽△FCE，
∴＝，
∴2×＝2×，即＝，
∴+1＝+1，
即＝，
∵EG+EC＝GC＝AG，
∴EG+EG+EC＝EG+AG＝AE，
∴＝，即＝，
∴BF?EC＝CF?AE．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
解：∵顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°，
在Rt△ABD中，AB＝16m，tan30°＝＝，
∴AD＝AB＝16（m），
∵在一楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，
∴CD＝AD?tan65°≈16×2.14≈59.2（m）．
答：该古塔的高度约为59.2米．
20．如图，点A在反比例函数y＝的图象位于第一象限的分支上，过点A作AB⊥y轴于点C，S△AOB＝2．
（1）求该反比例函数的表达式，
（2）若P（x1，y1）、Q（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点P、Q各位于哪个象限，并简要说明理由．
解：（1）由题意可知，S△AOB＝|k|＝2．
∴|k|＝4，
∵k＞0，
∴；
（2）结论：P在第三象限，Q在第一象限．
理由：∵k＝4＞0，
∴反比例函数y在每个象限y随x的增大而减小，
∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＞y2，
∴P、Q在不同的象限，
∴P在第三象限，Q在第一象限．
六、（本大题满分12分）
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是的中点，过点D作EF⊥AC的延长线于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O直径是5，AE＝3.2，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵D是的中点，
∴＝．
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵EF⊥AE，
∴∠E＝90°．
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
又∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴，
∵AB＝5，AE＝3.2，
∴AD2＝AB?AE＝16，
∴AD＝4（负值舍去），
∴BD＝＝3．
七、（本大题满分12分）
22．安徽盒子健康公司不断加大科技投入，现投资500万元购进一条灭新冠病毒专用口罩生产线，2020年12月份投产后若不计维修保养、捐赠口罩成本等费用，每月可创利100万元．实际生产过程中，第n月的维修保养、捐赠口罩成本等费用满足下表：
第n月 第1月 第2月
维修保养、捐赠口罩成本等费用（万元） 3 5
若从第1月到第n月的维修保养与损耗等费用累计为y（万元），且y＝an2+bn．
（1）求出y的解析式；
（2）设该公司第n月的利润为w（万元），求w与n之间的函数关系式，并指出在第几月w取得最大值，最大值是多少？
（3）该公司在2021年哪月份能收回投资？
解：（1）第1月到第2月的累积费用为：3+5＝8（万元），
将，代入y＝an2+bn，
得，
解得，
∴解析式为y＝n2+2n；
（2）由题意得：
w＝100n﹣（n2+2n）﹣500
＝﹣n2+98n﹣500
＝﹣（n﹣49）2+1901，
∴投产后第49个月，利润最大，最大利润为1901万元；
（3）∵w＝﹣n2+98n﹣500，当n＝5时，w＝﹣35（万元）＜0；n＝6时，w＝52（万元）＞0；
∴在2021年6月收回成本．
八、（本大题满分14分）
23．如图，点E是正方形ABCD内部一点，△AEF、△BEG均为等腰直角三角形，∠EAF＝∠EBG＝90°，连接AG、FC．
（1）已知正方形的边长为5，E、F、G三点在同一条直线上（如图1）．
①若△AEF与△BEG的相似比为2：1，求△EAB的面积；
②求D、E两点之间距离的最小值．
（2）如图2，当E、F、G三点不在同一条直线上时，求证：AG∥CF．
解：（1）①∵△AEF与△BEG都是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠BEG＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∵△AEF与△BEG的相似比为2：1，
∴设AE＝2x，BE＝x，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴5x2＝25，
∴x＝，
∴AE＝2，BE＝，
∴△EAB的面积＝×AE×BE＝5；
②如图1，取AB中点O，连接OD，OE，DE，
∵∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆上运动，
∵点O是AB中点，
∴OE＝AO＝BO＝，
∴DO＝＝＝，
∵DE≥DO﹣OE，
∴当点E在线段OD上时，DE有最小值为﹣．
（2）连接GC、DF，
∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
又∵BC＝AB，EB＝GB，
∴△CGB≌△AEB（SAS），
∴CG＝AE，
∵△AFE是等腰直角三角形，
∴FA＝EA＝CG，
同理可证：△DFA≌△BEA，
∴DF＝EB＝BG，∠FDA＝∠3，
∵∠CDA＝∠EBG＝90°，
∴∠FDA+∠ADC＝∠3+∠EBG，
即∠FDC＝∠ABG，
又∵DC＝AB，
∴△FDC≌△BEA（SAS），
∴FC＝AG，
又∵AF＝GC，
∴四边形AFCG为平行四边形，
∴AG∥FC．