22.2 二次函数与一元二次方程课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
22.2二次函数与一元二次方程
人教版
九年级上
教学目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.（重点）
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
回顾旧知
我们已经知道，一元二次方程根的情况与“△=b2-4ac”有关：
1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根,
2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根,
3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
x1=x2=-
.
本节课我们将从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系，一起开启知识的旅程吧！
情境导入
问题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
合作探究
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程
15=20t?5t2，
t2?4t+3=0,
t1=1，t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？
h=20t?5t2
合作探究
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
O
h
t
20
2
解方程：
20=20t?5t2,
t2?4t+4=0,
t1=t2=2.
∴当球飞行2s时，它的高度为20m.
h=20t?5t2
合作探究
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
O
h
t
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗?
20.5
解方程：
20.5=20t?5t2,
t2?4t+4.1=0,
因为(?4)2?4
×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5m.
h=20t?5t2
合作探究
从上面发现，二次函数与一元二次方程密切相关。求二次函数h=20t?5t2的函数值分别为15、20、20.5时所对应的自变量的值就相当于求一元二次方程20t?5t2=15、
20t?5t2
=20、
20t?5t2
=20.5的根；
反过来，求一元二次方程20t?5t2=15、
20t?5t2
=20、
20t?5t2
=20.5的根就相当于求二次函数h=20t?5t2的函数值分别为15、20、20.5时所对应的自变量的值。
下面，我们利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0
合作探究
思考：如图是二次函数
(1)y＝x2＋x－2；
(2)y＝x2－6x＋9；
(3)y＝x2－x＋1.
的图象如图所示。观察并回答：
（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
探究一：二次函数与一元二次方程之间的关系
合作探究
（1）y＝x2＋x－2
抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
合作探究
（2）y＝x2－6x＋9
抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
合作探究
（3）y＝x2－x＋1.
抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.即函数值不可能等于0.
由此得出方程x2－x＋1=0没有实数根.
合作探究
1
y
=
x2－6x＋9
y
=
x2－x＋1
y
=
x2＋x－2
抛物线与x轴公共点个数
公共点
横坐标
相应的一元二次方程的根
y
=
x2－x＋1
y
=
x2－6x＋9
y
=
x2＋x－2
0个
1个
2个
x2?x+1=0无解
3
x2?6x+9=0，x1=x2=3
-2,
1
x2+x?2=0，x1=?2，x2=1
合作探究
判别式Δ=b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c
（a>0）的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x2
x1
x
y
O
O
x1=
x2
x
y
x
O
y
Δ>0
Δ＝0
Δ＜0
x1
；
x2
x1
=x2
＝－b/2a
没有实数根
归纳总结：
趁热打铁
1.若一元二次方程y＝x2－2x＋5无实根，则抛物线y＝x2－2x＋5
图
象位于（
）
A.X轴下方
B.第一、二、三象限
C.x轴上方
D.第二、三、四象限
C
2.二次函数y＝ax2－4x＋1的图象与x轴有交点，则a的取值范围是
(　　)
A．a<4
B．a<4且a≠0
C．a≤4
D．a≤4且a≠0
D
趁热打铁
3.若二次函数y=?x2+2x+c的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程?x2+2x+c=0的一个解x1=4，则另一个解x2=
.
?2
y
O
x
1
4
4.一元二次方程
3x2+bx?8=0的两个根是x1=?2
，x2=
，那么二次函数
y=
3x2+bx?8与x轴的交点坐标是
.
(?2，0)
(
，0)
合作探究
探究二：利用二次函数求一元二次方程的近似解
分析：一元二次方程
x??2x?2=0
的根就是抛物线
y=x??2x?2
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
例
利用函数图象求方程x2?2x?2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
合作探究
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)
它与x轴的公共点的横坐标大约是-
0.7,2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根
为
x1≈-0.7，x2≈2.7.
合作探究
先求位于?1到0之间的根，由图象可估计这个根是?0.8或?0.7，利用计算器进行探索，见下表：
x
…
?0.8
?0.7
…
y
…
0.24
?0.11
…
观察上表可以发现，当x分别取?0.8和?0.7时，对应的y由负变正，可见在?0.8与?0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2?2x?2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=?0.8或x=?0.7都符合要求.但当x=?0.7时更为接近0.故x1≈?0.7.
同理可得另一近似值为x2≈2.7.
合作探究
归纳总结：一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1)用描点法作二次函数的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与x轴有两个交点,其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围
；
(3)确定方程的解；
由此可知，使二次函数的函数值更接近0的数，即为方程的近似解.
趁热打铁
判断方程
ax2+bx+c
=0
(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（
）
A.
2<
x
<
2.33
B.
2.33
<
x
<
2.34
C.
2.34
2.35
D.
2.35
2.36
x
2.33
2.34
2.35
2.36
y=ax2+bx+c
?0.05
?0.01
0.01
0.06
C
1.根据下列表格的对应值:
综合演练
1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的交点个数是（
　)
A．3
B．2
C．1
D．0
B
2.抛物线y=x2-5x+4与x轴的两个交点的坐标是（
　)
A.（1,0），（4,0）
B.（-1,0），（-4,0）
C.（-1,
）
D.（4,
）
A
3.函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么关于x一元
二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（
　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个同号的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
A
综合演练
4.二次函数y=-x2+4x+m的部分图象如图所示，则关于x
的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为
。
5
x1
=5，x2
=-1
5.如图，二次函数y=-x2+2x+k（k
＜
0）与x轴相较于A（
x1，0），B（
x2，0
），点A在点B的左侧，当x=
x2
-2时，y
0（填“＞”“=”或“＜”）
x=2
x
y
0
A
B
＜
综合演练
6、已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0.
∴此抛物线与x轴总有交点.
综合演练
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
所以正整数m的值为1.
解得
x1＝1，x2＝
所以
x－1＝0或mx－2＝0，
当m为正整数1时，x2为整数，即抛物线与x轴总
有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
综合演练
7.已知函数y＝(k?3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．
∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，
∴k＝3；
当k≠3时，y＝(k?3)x2＋2x＋1是二次函数．
∵二次函数y＝(k?3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2?4ac≥0.
∵b2?4ac＝22?4(k?3)＝?4k＋16，
∴?4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
知识拓展
1.已知抛物线y=x2-4x+3
（1）求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当x取何值时，y＞0？
解：（1）∵y=x?-4x+3=（x-1)(x-3）
∴该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）；
知识拓展
1.已知抛物线y=x2-4x+3
（1）求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当x取何值时，y＞0？
（2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）
∵y=x2-4x+3=（x-2）?-1，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，-1），且抛物
线的开口方向向上，大致图象如图所示：
∴当x＜1或x＞3时，y＞0．
课堂总结
说一说二次函数与一元二次方程的根的关系？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题22.2
P47页：1、3、5
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