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2.1
等式性质与不等式性质
第1课时
不等关系与不等式
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.
1.数学抽象——会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.数学运算——能用作差法比较两个实数的大小.
自主学习·必备知识
要点一
实数
,
大小的比较
关于实数
大小的比较,有以下基本事实：
如果
是正数,那么①
;如果
等于0,那么②
;如果
是负数,那么③
.反过来也对.
这个基本事实可以表示为
；
;
.
要点二
重要不等式
一般地，
有
④
,当且仅当⑤
时,等号成立.
自主思考
1.
与
两式都随
的变化而变化,其大小关系并不明显,你能想个办法比较
与
的大小吗
2.教材
图2.1-4中的小正方形面积如何用
表示？
名师点睛
1.不等关系强调的是关系,可用符号“＞”“＜”“
”“
”或“
”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用式子“
”“
”“
”“
”或“
”表示,不等关系是可以通过不等式来体现的.
2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换：
文字语言
大于,高于,超过
小于,低于,少于
大于等于,至少,不低于
小于等于,至多,不多于,不超过
符号语言
＞
＜
互动探究·关键能力
探究点一
用不等式（组）表示不等关系
精讲精练
例
某钢铁厂要把长度为
的钢管截成
和
两种,按照生产的要求,
钢管的数量不能超过
钢管数量的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
迁移应用
1.李辉准备存零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元．设
个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数
的不等式是(
)
A.
B.
C.
D.
2.一辆汽车原来每天行驶
,如果该汽车每天行驶的路程均比原来多
,那么在8天内它行驶的路程将超过
,用不等式表示为
.
探究点二
作差法比较大小
精讲精练
例
已知
,比较
与
的大小.
迁移应用
1.比较
与
的大小.
迁移应用
1.已知
均为正实数,证明：
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列能表示“
不比
小”的不等关系的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.
某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩
不低于95分,文化课总分
高于380分,体育成绩
超过45分,则用不等式组表示为(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020黑龙江宾县第一中学高一期中）设
,则
与
的大小关系是
.
4.设
,证明：
.
5.用一段长为
的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长
,要求菜园的面积不小于
,靠墙的一边长为
,试用不等式组表示其中的不等关系．
素养演练
数学建模——不等关系的实际应用
1.某公司有20名技术人员,计划开发
两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值（万元/件）
类
7.5
类
6
现欲使总产值最高,则应开发
类电子器件
件,最高产值为
万元.
迁移应用
1.为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角
个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出所有符合题意的组建方案.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列说法正确的是(
)
A.某人的月收入
元不高于2000元可表示为"
"
B.小明的身高为
,小华的身高为
,则小明比小华矮可表示为"
"
C.变量
不小于
可表示为"
"
D.变量
不超过
可表示为"
"
2.据天气预报可知某天白天的最高温度为
,则该天白天的气温
（单位：
）与
之间存在的不等关系是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020湖南师大附中高一月考）设
,则(
)
A.
B.
C.
D.
与
的大小关系与
有关
4.（2020安徽滁州定远高一月考）某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的
套与票面2元的
套用不等式(组)表示为(
)
A.
B.
C.
D.
5.不等式
中等号成立的条件为
.
6.某商品的包装上标有质量
克,若用
表示商品的质量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为
.
7.比较大小：
.（填“＞”“＜”或“=”）
素养提升练
8.若
,则
、
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
或
D.
9.（2021安徽滁州高一期末）已知
,给出下列不等式：①
;②
;③
;④
,其中正确的有(
)
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.（2020南京师范大学附属实验学校高一月考）如图,在一块长为
,宽为
的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行）,剩余部分修建草坪,要求草坪的面积不小于
.设道路的宽为xm,根据题意可列出的不等式为(
)
A.
B.
C.
D.
11.已知
满足
,比较
的大小.
创新拓展练
12.甲打算从
地出发至
地,现有两种方案.
第一种：前一半路程按速度
前进,后一半路程按速度
前进,平均速度为
;
第二种：前一半时间按速度
前进,后一半时间按速度
前进,平均速度为
.
则
的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.无法确定
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2.1
等式性质与不等式性质
第1课时
不等关系与不等式
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.
1.数学抽象——会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.数学运算——能用作差法比较两个实数的大小.
自主学习·必备知识
要点一
实数
,
大小的比较
关于实数
大小的比较,有以下基本事实：
如果
是正数,那么①
;如果
等于0,那么②
;如果
是负数,那么③
.反过来也对.
这个基本事实可以表示为
；
;
.
要点二
重要不等式
一般地，
有
④
,当且仅当⑤
时,等号成立.
自主思考
1.
与
两式都随
的变化而变化,其大小关系并不明显,你能想个办法比较
与
的大小吗
答案：提示
作差,因为
，所以
.
2.教材
图2.1-4中的小正方形面积如何用
表示？
答案：提示
小正方形的面积为
.
名师点睛
1.不等关系强调的是关系,可用符号“＞”“＜”“
”“
”或“
”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用式子“
”“
”“
”“
”或“
”表示,不等关系是可以通过不等式来体现的.
2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换：
文字语言
大于,高于,超过
小于,低于,少于
大于等于,至少,不低于
小于等于,至多,不多于,不超过
符号语言
＞
＜
互动探究·关键能力
探究点一
用不等式（组）表示不等关系
精讲精练
例
某钢铁厂要把长度为
的钢管截成
和
两种,按照生产的要求,
钢管的数量不能超过
钢管数量的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
答案：设截得
的钢管
根,截得
的钢管
根,
依题意,可得不等式组：
，
即
解题感悟
将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数字符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.
迁移应用
1.李辉准备存零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元．设
个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数
的不等式是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
个月后他至少有400元,可表示为
.故选B.
2.一辆汽车原来每天行驶
,如果该汽车每天行驶的路程均比原来多
,那么在8天内它行驶的路程将超过
,用不等式表示为
.
答案：
解析：因为该汽车每天行驶的路程比原来多
,所以汽车每天行驶的路程为
,则在8天内它行驶的路程为
,因此,不等关系“在8天内它行驶的路程将超过
”可以用不等式表示为
.
探究点二
作差法比较大小
精讲精练
例
已知
,比较
与
的大小.
答案：
.
因为
,所以
,
所以
,所以
.
解题感悟
作差法比较
,
大小的基本步骤
迁移应用
1.比较
与
的大小.
答案：
.
因为
,所以当
时,
,即
.
当
时,
,即
.
当
时,
,
.
探究点三
利用作差法证明不等式
精讲精练
例
已知
,求证：
.
答案：证明
.
解题感悟
用作差法证明不等式的关键是对差式进行变形,通过配方、通分、分解因式等方式确定等式的符号,从而证明不等式.
迁移应用
1.已知
均为正实数,证明：
.
答案：证明
.
当
时,
,则
;
当
时,
,
因为
均为正实数,所以
,
则
.
综上所述,
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列能表示“
不比
小”的不等关系的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.
某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩
不低于95分,文化课总分
高于380分,体育成绩
超过45分,则用不等式组表示为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020黑龙江宾县第一中学高一期中）设
,则
与
的大小关系是
.
答案：
解析：由作差法,可得
,所以
.
4.设
,证明：
.
答案：证明
,所以
.
5.用一段长为
的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长
,要求菜园的面积不小于
,靠墙的一边长为
,试用不等式组表示其中的不等关系．
答案：由于矩形菜园靠墙的一边长为
,且墙长为
,所以
,矩形菜园的另一条边长为
.
因此菜园面积
.
依题意有
,
即
,
故题中的不等关系可用不等式组表示为
.
素养演练
数学建模——不等关系的实际应用
1.某公司有20名技术人员,计划开发
两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值（万元/件）
类
7.5
类
6
现欲使总产值最高,则应开发
类电子器件
件,最高产值为
万元.
答案：20;
330
解析：设应开发
类电子器件
件,总产值为
万元,则开发
类电子器件
件,
由
,解得
.
由题意,得总产值
,当且仅当
时,
取得最大值,且最大值为330.
所以应开发
类电子器件20件,最高产值为330万元.
素养探究：（1）根据实际问题列不等式（组）的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.
（2）根据实际问题列出不等式（组）,应从实际意义出发,而不能拘于某一种形式.
迁移应用
1.为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角
个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出所有符合题意的组建方案.
答案：因为组建中型图书角
个,所以组建小型图书角
个,
则
，
解得
所以
的取值是18,19,20.
当
时,
;
当
时,
;
当
时,
.
故有三种符合题意的组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列说法正确的是(
)
A.某人的月收入
元不高于2000元可表示为"
"
B.小明的身高为
,小华的身高为
,则小明比小华矮可表示为"
"
C.变量
不小于
可表示为"
"
D.变量
不超过
可表示为"
"
答案：
;
2.据天气预报可知某天白天的最高温度为
,则该天白天的气温
（单位：
）与
之间存在的不等关系是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由气温
不超过最高温度可得结果.
3.（2020湖南师大附中高一月考）设
,则(
)
A.
B.
C.
D.
与
的大小关系与
有关
答案：
解析：作差后与0比较,得出
、
的大小关系.
4.（2020安徽滁州定远高一月考）某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的
套与票面2元的
套用不等式(组)表示为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：购买两种票面的邮票共用金额应小于或等于50元,同时注意
，且
.
5.不等式
中等号成立的条件为
.
答案：
6.某商品的包装上标有质量
克,若用
表示商品的质量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为
.
答案：
7.比较大小：
.（填“＞”“＜”或“=”）
答案：＞
解析：
，
故
.
素养提升练
8.若
,则
、
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
或
D.
答案：
解析：
.故选B.
9.（2021安徽滁州高一期末）已知
,给出下列不等式：①
;②
;③
;④
,其中正确的有(
)
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案：
解析：
,
因为
,所以
,
所以
,即
,故①正确;
,
因为
,所以
,
所以
,即
,故②正确;
时,
,
所以
，故③错误;
,
因为
,所以
,
所以
,即
,故④正确.所以正确的有①②④.
故选C.
10.（2020南京师范大学附属实验学校高一月考）如图,在一块长为
,宽为
的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行）,剩余部分修建草坪,要求草坪的面积不小于
.设道路的宽为xm,根据题意可列出的不等式为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,草坪面积为
,
因为草坪的面积不小于
,所以
.故选B.
11.已知
满足
,比较
的大小.
答案：
,
.
由题意得方程组
解得
,
.
创新拓展练
12.甲打算从
地出发至
地,现有两种方案.
第一种：前一半路程按速度
前进,后一半路程按速度
前进,平均速度为
;
第二种：前一半时间按速度
前进,后一半时间按速度
前进,平均速度为
.
则
的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.无法确定
答案：
解析：第一种方案：设总路程为
,则
,
第二种方案：设总时间为
,
则
,
.故选B.
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