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第一章
集合与常用逻辑用语
1.1
集合的概念
第2课时
集合的表示法
课标解读
课标要求
素养要求
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合.
1.数学抽象——能够用简洁的语言准确地表述出研究对象.
2.数学运算——能够进行描述法与列举法之间的转化.
自主学习·必备知识
要点一
列举法
把集合的所有元素①
出来，并用花括号“{
}”括起来表示集合的方法叫做
.
要点二
描述法
一般地，设
是一个集合，我们把集合
中所有具有②
特征
的元素
所组成的集合表示为
，这种表示集合的方法称为
.
自主思考
1.分析列举法的优点与缺点各有哪些?
2.描述法的特点有哪些?
名师点睛
1.使用列举法表示集合的四个注意点
（1）元素间用“，”分隔开，其一般形式为
；
（2）元素不重复，满足元素的互异性；
（3）元素无顺序，满足元素的无序性；
（4）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
2.用描述法表示集合时的三个注意点
（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.
（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.
互动探究·关键能力
探究点一
列举法的应用
精讲精练
例
用列举法表示下列集合：
（1）方程
的所有实数解组成的集合；
（2）直线
与
轴的交点所组成的集合；
（3）不大于8的正整数构成的集合；
（4）15的正约数组成的集合.
迁移应用
1.用列举法表示下列集合：
（1）小于10的质数组成的集合
；
（2）方程
的实数根组成的集合
；
（3）直线
与直线
的交点组成的集合D.
探究点二
描述法的应用
精讲精练
例
用描述法表示下列集合：
（1）比1大且比10小的实数组成的集合；
（2）不等式
的所有解组成的集合；
（3）到两坐标轴距离相等的点组成的集合；
（4）正奇数集
.
迁移应用
1.用描述法表示下列集合：
（1）被3除余2的正整数组成的集合
；
（2）
；
（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合
.
探究点三
集合表示方法的综合应用
精讲精练
例
集合
，若集合
中只有一个元素，求实数
的值组成的集合.
迁移应用
1.已知集合
.
（1）若集合
中只有一个元素，求实数
的值；
（2）若集合
中至少有一个元素，求实数
的取值范围；
（3）若集合
中至多有一个元素，求实数
的取值范围.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列四个集合中，不同于另外三个的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）由大于-3且小于1的偶数所组成的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
3.若
，
用列举法表示集合
为
.
4.图中阴影部分（含边界）所表示的点的集合用描述法表示为
.
5.给出下列说法：
①直角坐标平面内，第一、三象限的点组成的集合为
；
②方程
的解集为
；
③集合
与
是相等的．
其中正确的是
（填写所有正确说法的序号）．
素养演练
1.数学抽象——描述法中点集与数集的区别
下面三个集合：
；
；
.
问：（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们各自的含义是什么？
迁移应用
1.（2021山东济南高一期末）下列集合与集合
相等的是(
)
A.(1,3)B.
C.
D.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020湖南怀化高一期末）如果集合
，那么(
)
A.
B.
C.
D.
2.集合
的另一种表示法是(
)
A.
B.
C.
D.
3.用描述法表示函数
的图象上的所有点为(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2020山东枣庄十六中高一期中）方程组
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
5.下列集合中恰有2个元素的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
6.设集合
，若
，则用列举法表示集合
为
.
7.（2020首都师范大学附属中学高一期中）用列举法可以将集合
表示为
.
8.已知集合
，
，则集合
与
中有
个相同的元素，由这些相同元素组成的集合为
．
9.用适当的方法表示下列集合：
（1）一年中有31天的月份的全体；
（2）大于-3.5且小于12.8的整数的全体；
（3）梯形的全体；
（4）所有能被3整除的数；
（5）不等式
的解集．
素养提升练
10.（多选）下列命题中正确的是(
)
A.集合
中有两个元素
B.集合
中没有元素
C.
D.
与
是同一个集合
11.（多选）（2020海南第四中学高一月考）下列表示同一个集合的是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
12.集合
用列举法表示为
.
13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集.集合
（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集
.
创新拓展练
14.已知集合
，
，
.若
，则是否存在
，
，使
成立？
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第一章
集合与常用逻辑用语
1.1
集合的概念
第2课时
集合的表示法
课标解读
课标要求
素养要求
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合.
1.数学抽象——能够用简洁的语言准确地表述出研究对象.
2.数学运算——能够进行描述法与列举法之间的转化.
自主学习·必备知识
要点一
列举法
把集合的所有元素①
一一列举
出来，并用花括号“{
}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
要点二
描述法
一般地，设
是一个集合，我们把集合
中所有具有②
共同
特征
的元素
所组成的集合表示为
，这种表示集合的方法称为描述法.
自主思考
1.分析列举法的优点与缺点各有哪些?
答案：提示
优点：集合中的元素一目了然，适合表示元素较少的集合.
缺点：不易看出元素所具有的特征，有的集合不能用列举法表示.
2.描述法的特点有哪些?
答案：提示
运算的规律
与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.
名师点睛
1.使用列举法表示集合的四个注意点
（1）元素间用“，”分隔开，其一般形式为
；
（2）元素不重复，满足元素的互异性；
（3）元素无顺序，满足元素的无序性；
（4）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
2.用描述法表示集合时的三个注意点
（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.
（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.
互动探究·关键能力
探究点一
列举法的应用
精讲精练
例
用列举法表示下列集合：
（1）方程
的所有实数解组成的集合；
（2）直线
与
轴的交点所组成的集合；
（3）不大于8的正整数构成的集合；
（4）15的正约数组成的集合.
答案：（1）方程
的解是
，所以方程的解组成的集合为
．
（2）将
代入
，得
，即直线与y轴的交点是（0，2021），故直线与y轴的交点组成的集合是
．
（3）不大于8的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，故所求集合为
．
（4）15的正约数有1，3，5，15，故所求集合为
.
解题感悟
用列举法表示集合的步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如
.
迁移应用
1.用列举法表示下列集合：
（1）小于10的质数组成的集合
；
（2）方程
的实数根组成的集合
；
（3）直线
与直线
的交点组成的集合D.
答案：（1）因为小于10的质数包括2，3，5，7，所以
.
（2）方程
的实数根为3，-1，
所以
.
（3）
得
所以直线
与直线
的交点为（1，3），所以
.
探究点二
描述法的应用
精讲精练
例
用描述法表示下列集合：
（1）比1大且比10小的实数组成的集合；
（2）不等式
的所有解组成的集合；
（3）到两坐标轴距离相等的点组成的集合；
（4）正奇数集
.
答案：（1）可以表示成
．
（2）可以表示成
，即
．
（3）可以表示成
．
（4）设
，故全体奇数可用式子
，
表示，但此题要求为正奇数，故
，所以正奇数集
.
解题感悟
描述法的一般形式为
，其中的
表示集合中的代表元素，
指的是元素的取值范围；
则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“
”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合中元素
的取值范围
需写明确，但若从上下文的关系看，
是明确的，则
可以省略，只写元素
.
迁移应用
1.用描述法表示下列集合：
（1）被3除余2的正整数组成的集合
；
（2）
；
（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合
.
答案：（1）设被3除余2的正整数为
，
则
，
，
所以被3除余2的正整数组成的集合
.
（2）
（3）易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，
即
，
，
故平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合
.
探究点三
集合表示方法的综合应用
精讲精练
例
集合
，若集合
中只有一个元素，求实数
的值组成的集合.
答案：①当
时，方程
变为
，解得
，即
，满足题意；
②当
时，要使集合
中只有一个元素，则方程
有两个相等的实数根，所以
，解得
，此时集合
，满足题意.
综上所述，
或
，故实数k的值组成的集合为
.
解题感悟
（1）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
（2）在学习过程中要注意数学思想的培养，如：数形结合思想、等价转化思想和分类讨论的思想.
迁移应用
1.已知集合
.
（1）若集合
中只有一个元素，求实数
的值；
（2）若集合
中至少有一个元素，求实数
的取值范围；
（3）若集合
中至多有一个元素，求实数
的取值范围.
答案：（1）当
时，原方程可化为
，得
，符合题意.当
时，方程
为一元二次方程，由题意得，
，得
.所以当
时，集合
中只有一个元素.
（2）由题意得，当
即
且
时，方程有两个实根，
又由（1）知，当
或
时，方程有一个实根.
所以
的取值范围是
.
（3）由（1）知，当
或
时，集合
中只有一个元素.
若集合
中没有元素，则
解得
.综上，
的取值范围是
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列四个集合中，不同于另外三个的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（多选）由大于-3且小于1的偶数所组成的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
3.若
，
用列举法表示集合
为
.
答案：
4.图中阴影部分（含边界）所表示的点的集合用描述法表示为
.
答案：
5.给出下列说法：
①直角坐标平面内，第一、三象限的点组成的集合为
；
②方程
的解集为
；
③集合
与
是相等的．
其中正确的是
（填写所有正确说法的序号）．
答案：①
解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点
，故①正确；
方程
等价于
即
所以方程的解为有序实数对(2,-2)，解集为
，或
，故②不正确；
集合
的代表元素是
，集合
的代表元素是
，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
素养演练
1.数学抽象——描述法中点集与数集的区别
下面三个集合：
；
；
.
问：（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们各自的含义是什么？
答案：（1）不是.在
三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
（2）集合
的代表元素是
满足
故
.
集合
的代表元素是
满足
的
故
.
集合
的代表元素是
，满足条件
，即表示满足
的实数对
，也可认为满足条件
的坐标平面上的点．
因此，
.
素养探究：对于描述法表示的集合，一看代表元素，如
表示数集，
表示点集；二看条件，即看代表元素满足什么条件（公共特性）.同一集合，描述法表示可以不唯一，体现了数学抽象的核心素养.
迁移应用
1.（2021山东济南高一期末）下列集合与集合
相等的是(
)
A.(1,3)B.
C.
D.
答案：
课时评价作业
基础达标练
1.（2020湖南怀化高一期末）如果集合
，那么(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.集合
的另一种表示法是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.用描述法表示函数
的图象上的所有点为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.（2020山东枣庄十六中高一期中）方程组
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
5.下列集合中恰有2个元素的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：选项A中的集合只有一个元素；选项B中集合
的代表元素是
，则集合
是方程
根的集合，即
；选项C，
中的集合中都有无数个元素．
6.设集合
，若
，则用列举法表示集合
为
.
答案：
解析：
，
，
，
.
7.（2020首都师范大学附属中学高一期中）用列举法可以将集合
表示为
.
答案：
解析：由题意可知集合A中的元素表示能使方程
有唯一实数解的
的值，
当
时，
，解得
，成立；
当
时，方程
有唯一实数解，则
，解得
，所以
.
8.已知集合
，
，则集合
与
中有
个相同的元素，由这些相同元素组成的集合为
．
答案：2;
解析：因为
，
，所以当
时，
；当
时，
；当
时，
.所以
，
．
所以集合
与
中有2个相同的元素，集合
，
中的相同元素组成的集合为
．
9.用适当的方法表示下列集合：
（1）一年中有31天的月份的全体；
（2）大于-3.5且小于12.8的整数的全体；
（3）梯形的全体；
（4）所有能被3整除的数；
（5）不等式
的解集．
答案：（1）
.
（2）
或
．
（3）
或{梯形}．
（4）
．
（5）
．
素养提升练
10.（多选）下列命题中正确的是(
)
A.集合
中有两个元素
B.集合
中没有元素
C.
D.
与
是同一个集合
答案：
;
解析：
；集合
中有一个元素，这个元素是0，
，
故
；根据集合中元素的无序性可知，
与
是同一个集合.所以选AD.
11.（多选）（2020海南第四中学高一月考）下列表示同一个集合的是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案：
;
;
解析：
中两个集合都是由元素2和5构成的，是同一个集合；
中集合
中的元素是点
，集合
中的元素是点(5,2)，不相同，不是同一个集合；
中两个集合都是由所有奇数组成的，是同一个集合；
中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一个集合.故选ACD.
12.集合
用列举法表示为
.
答案：
解析：集合中的元素满足
，
，则：当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
，故集合为
.
13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集.集合
（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集
.
答案：不是;
（答案不唯一）
解析：由于2的倒数
不在集合A中，故集合A不是可倒数集.
若集合中有三个元素，则必有一个元素
，即
，故可取的集合有
，
等.
创新拓展练
14.已知集合
，
，
.若
，则是否存在
，
，使
成立？
答案：存在.
因为
，
，
所以分别存在
使得
，
所以
，
若
，则
，
，
所以要使
则
，
，
即当
为偶数时，存在
，
使
成立.
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