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第一章
集合与常用逻辑用语
1.2
集合间的基本关系
课标
解读
课标要求
素养要求
1.理解集合之间包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.会用子集与真子集的定义求解相关问题.
1.数学抽象——能够用集合之间包含与相等的含义以及子集,真子集的概念判断两个集合间的关系.
2.数学运算——会用子集和真子集的定义求参数的取值范围.
自主学习·必备知识
要点一
子集
一般地,对于两个集合
，
，如果集合
中①
都是集合
中的元素,就称集合
为集合
的子集,记作
（或②
）
,读作“
包含于
”(或“
包含
”）.
要点二
图
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为
图.
要点三
集合
与集合
相等
一般地,如果集合
的任何一个元素都是集合
的元素,同时集合
的任何一个元素都是集合
的元素,那么集合
与集合
相等,记作③
.也就是说,若
,且
,则
.
要点四
真子集
如果集合
,但存在元素
,且
,就称集合
是集合
的真子集,记作
（或④
）
,读作“
真包含于
”(或“
真包含
”）.
要点五
空集
一般地,我们把⑤
的集合叫做空集,记为
,并规定:空集是任何集合的⑥
.
要点六
两个重要结论
1.任何一个集合是它本身的子集,即
.
2.对于集体
，
，
,如果
,且
,那么
.
自主思考
1.
用
图怎么表示？
2.若
，
，则
吗？
3.
与
的含义相同吗？
4.
与
有什么区别?
5.若集合
只有一个子集,则集合
是什么集合?
6.已知
,则满足
的集合
有几个?
互动探究·关键能力
探究点一
集合间关系的判断
精讲精练
例
判断下列各组中集合之间的关系:
（1）
，;
（2）
，
，
;
（3）
，
.
迁移应用
1.判断下列各组集合之间的关系：
（1）
;
（2）
;
（3）
（4）集合
集合
探究点二
求集合的子集（真子集）及其个数
精讲精练
例
（1）写出集合
的所有子集,并求出真子集的个数;
（2）写出满足
的所有集合
.
迁移应用
1.已知集合
,试写出
的所有子集.
精讲精练
例
已知集合
，
,若
,求实数
的取值范围.
迁移应用
1.（2021湖北武汉武昌检测）已知集合
，
,若
,求实数
的取值范围.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.集合
的子集有(
)
A.4个B.3个
C.2个D.1个
2.下列表述正确的有(
)
①空集没有子集;②任何集合都有至少两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若
,则
.
A.0个B.1个
C.2个D.3个
3.已知集合
,若
,则实数
.
4.（2020江西宜春宜丰第二中学检测）已知集合
，
,若
,则实数
的取值范围是
．
素养演练
数学运算——利用分类讨论思想解决集合间的关系问题
1.已知集合
，
，且
求实数
的所有取值组成的集合.
迁移应用
1.已知集合
，
.
（1）若
为非空集合,求实数
的取值范围;
（2）若
,求实数
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.若
,则(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
2.下列图形中,表示
的是(
)
A.B.
C.D.
3.满足关系
的集合的个数是(
)
A.4B.6C.8D.9
4.已知集合
,则下列正确的有(
)
①
;②
;③
;④
.
A.4个B.3个C.2个D.1个
5.（2020山东济宁邹城一中高一期中）已知集合
，
,则(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2020陕西渭南临渭检测）若集合
,且
中至少含有一个奇数,则这样的集合
有
个.
7.集合
有且仅有两个子集,则实数
的取值为
．
8.（2020黑龙江哈尔滨宾县第一中学高一期中）已知集合
,若
,则
;
的真子集有
个.
9.已知集合
，
.
（1）若
,求
的取值范围;
（2）若
,求
的取值范围.
素养提升练
10.若集合
,集合
,则(
)
A.
B.
C.
D.以上均不对
11.（2020四川泸县第一中学检测）设集合
,集合
,若
，
,则
(
)
A.-1B.0C.1D.
12.设集合
和
,那么
与
的关系为
.
13.已知集合
,则集合
.若集合
满足
,则集合
.
14.设
，
．
（1）若
,试判定集合
与
的关系;
（2）若
,求实数
组成的集合
.
创新拓展练
15.已知集合
,集合
.
（1）是否存在实数
,使得对于任意实数
都有
若存在,求出对应的
的值,若不存在,说明理由;
（2）若
成立,求出对应的实数对
.
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第一章
集合与常用逻辑用语
1.2
集合间的基本关系
课标
解读
课标要求
素养要求
1.理解集合之间包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.会用子集与真子集的定义求解相关问题.
1.数学抽象——能够用集合之间包含与相等的含义以及子集,真子集的概念判断两个集合间的关系.
2.数学运算——会用子集和真子集的定义求参数的取值范围.
自主学习·必备知识
要点一
子集
一般地,对于两个集合
，
，如果集合
中①
任意一个元素
都是集合
中的元素,就称集合
为集合
的子集,记作
（或②
）
,读作“
包含于
”(或“
包含
”）.
要点二
图
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为
图.
要点三
集合
与集合
相等
一般地,如果集合
的任何一个元素都是集合
的元素,同时集合
的任何一个元素都是集合
的元素,那么集合
与集合
相等,记作③
.也就是说,若
,且
,则
.
要点四
真子集
如果集合
,但存在元素
,且
,就称集合
是集合
的真子集,记作
（或④
）
,读作“
真包含于
”(或“
真包含
”）.
要点五
空集
一般地,我们把⑤
不含任何元素
的集合叫做空集,记为
,并规定:空集是任何集合的⑥
子集
.
要点六
两个重要结论
1.任何一个集合是它本身的子集,即
.
2.对于集体
，
，
,如果
,且
,那么
.
自主思考
1.
用
图怎么表示？
答案：提示
2.若
，
，则
吗？
答案：提示
，集合
、
中的元素是同一个一元二次方程的解，所以
.
3.
与
的含义相同吗？
答案：提示
不同,
表示集合
是集合
的真子集,
表示集合
是集合
的真子集.
4.
与
有什么区别?
答案：提示
是不含任何元素的集合;
是含有一个元素的集合,
.
5.若集合
只有一个子集,则集合
是什么集合?
答案：提示
是
.
6.已知
,则满足
的集合
有几个?
答案：提示
2个,即
或
.
名师点睛
1.“
”可以理解为集合
中的任何一个元素都是集合
的元素,即对于任意
都能推出
.不能把“
”理解为“
是
中部分元素组成的集合”,因为集合
可能是空集,也可能是集合
.
2.空集只有一个子集,即它本身,即
;若
,则
.
3.在真子集的定义中,
首先要满足
,其次至少有一个
,但
.若
不是
的子集,则
一定不是
的真子集.
4.若
,且
,则
;反之,若
,则
,且
.这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证
,只需证
与
同时成立即可．若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素的排列顺序无关.
互动探究·关键能力
探究点一
集合间关系的判断
精讲精练
例
判断下列各组中集合之间的关系:
（1）
，;
（2）
，
，
;
（3）
，
.
答案：（1）若
是12的约数,则
必是36的约数,反之不成立,所以
.
（2）易知集合
，
集合
，
集合
,所以
.
（3）易知
中的元素都是
中的元素,但在B中的元素不一定属于A,如
,但
,故
.
解题感悟
判断集合间关系的方法
（1）观察法:一一列举然后观察.
（2）元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断集合间的关系.
（3）数形结合法:利用数轴或
图.
提醒：若
和
同时成立,则
更能准确表达集合
,
之间的关系.
迁移应用
1.判断下列各组集合之间的关系：
（1）
;
（2）
;
（3）
（4）集合
集合
答案：（1）集合
的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与
之间无包含关系．
（2）集合
,用数轴表示集合
,
,如图所示,由图可知
.
（3）由列举法知
，
，故
.
（4）因为
，
,所以
.
探究点二
求集合的子集（真子集）及其个数
精讲精练
例
（1）写出集合
的所有子集,并求出真子集的个数;
（2）写出满足
的所有集合
.
答案：（1）集合
的所有子集:
，
，
，
，
，
，
，
，
其中除
外,都是
的真子集,共7个.
（2）由题意知,集合
中一定含有元素3,4,
并且是至少含有三个元素的集合,
因此所有满足题意的集合
有
，
，
，
，
，
，
.
解题感悟
1.求集合子集或真子集的3个步骤
2.与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合
中含有
个元素,则：
（1）
的子集有
个;
（2）
的非空子集有
个;
（3）
的真子集有
个;
（4）
的非空真子集有
个.
迁移应用
1.已知集合
,试写出
的所有子集.
答案：因为
,所以
.
所以
的所有子集：
，
，
，
，
，
，
，
.
探究点三
集合间关系的应用
精讲精练
例
已知集合
，
,若
,求实数
的取值范围.
答案：当
时,如图所示．
所以
或
解这两个不等式组,得
.
当
时,
由
,得
.
综上可得,
的取值范围是
．
解题感悟
利用集合间的关系求参数问题
（1）利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合（含参数）,另一个为静集合（具体的）,解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.
（2）空集是任何集合的子集,因此在解
的含参数的问题时,要注意讨论
和
两种情况,前者常被忽视,造成漏解的现象.
迁移应用
1.（2021湖北武汉武昌检测）已知集合
，
,若
,求实数
的取值范围.
答案：因为
,所以可分为
和
两种情况,
当
时,
,
解得
,
当
时,应满足
解得
.
综上所述,
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.集合
的子集有(
)
A.4个B.3个
C.2个D.1个
答案：
2.下列表述正确的有(
)
①空集没有子集;②任何集合都有至少两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若
,则
.
A.0个B.1个
C.2个D.3个
答案：
3.已知集合
,若
,则实数
.
答案：4
解析：因为
，
,所以
,所以
.
4.（2020江西宜春宜丰第二中学检测）已知集合
，
,若
,则实数
的取值范围是
．
答案：
解析：因为
所以
素养演练
数学运算——利用分类讨论思想解决集合间的关系问题
1.已知集合
，
，且
求实数
的所有取值组成的集合.
解析：审：结论是求实数
的取值范围,注意已知集合
,
是方程的解集.
联：集合
是一元二次方程的解集,集合
是一元一次方程的解集,但未知数
前含有参数,因此需要分类讨论.
答案：解：由
,得
或
,
所以集合
.
当
时,
,满足①
.
当
时,
,则
.
因为
,所以②
或
,
解得
或
.
综上可知,实数
的所有取值组成的集合为③
.
解析：
思：涉及“
”或“
”的问题,一定要分
和
两种情况讨论,不要忽视空集的情况,过程中体现了数学运算的核心素养.
迁移应用
1.已知集合
，
.
（1）若
为非空集合,求实数
的取值范围;
（2）若
,求实数
的取值范围.
答案：（1）若
,
则有
,解得
,
所以实数
的取值范围是
.
（2）当
时有以下三种情况:
①
,即
,解得
;②
且
则有
无解;
③
且
则有
解得
.
综上,实数
的取值范围是
.
课时评价作业
基础达标练
1.若
,则(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案：
2.下列图形中,表示
的是(
)
A.B.
C.D.
答案：
3.满足关系
的集合的个数是(
)
A.4B.6C.8D.9
答案：
4.已知集合
,则下列正确的有(
)
①
;②
;③
;④
.
A.4个B.3个C.2个D.1个
答案：
5.（2020山东济宁邹城一中高一期中）已知集合
，
,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.（2020陕西渭南临渭检测）若集合
,且
中至少含有一个奇数,则这样的集合
有
个.
答案：6
解析：集合
的子集共有8个,其中至少含有一个奇数的有
，
，
，
，
，
,共6个.
7.集合
有且仅有两个子集,则实数
的取值为
．
答案：1或
解析：由集合有两个子集可知,该集合是单元素集,当
时,满足题意．当
时,由
可得
,故
或
.
8.（2020黑龙江哈尔滨宾县第一中学高一期中）已知集合
,若
,则
;
的真子集有
个.
答案：0或-1;
7
解析：因为集合
,
所以
或
解得
或
.所以集合
,故A的真子集有
个.
9.已知集合
，
.
（1）若
,求
的取值范围;
（2）若
,求
的取值范围.
答案：（1）若
,由图可知,
.
故实数a的取值范围为
.
（2）若
,由图可知,
.
故实数a的取值范围为
.
素养提升练
10.若集合
,集合
,则(
)
A.
B.
C.
D.以上均不对
答案：
解析：因为
，
,
又
为奇数,
为整数,所以
.
11.（2020四川泸县第一中学检测）设集合
,集合
,若
，
,则
(
)
A.-1B.0C.1D.
答案：
解析：当
时,
有两个相等的实根,为-1,即
,经检验,符合题意;
当
时,
有两个相等的实根,为1,即
,经检验,符合题意;
当
时,不成立．故
.
12.设集合
和
,那么
与
的关系为
.
答案：
解析：因为
,所以
，
同号,又
,所以
，
,即集合
表示第三象限内的点,又因为集合
也表示第三象限内的点,所以
.
13.已知集合
,则集合
.若集合
满足
,则集合
.
答案：
;
解析：解方程
,得
或
,所以集合
.因为集合
满足
,所以集合
.
14.设
，
．
（1）若
,试判定集合
与
的关系;
（2）若
,求实数
组成的集合
.
答案：（1）
，
当
时,
,所以
.
（2）当
时,
,因为
,所以
;
当
时,
,因为
，
,所以
或
,则
或
.所以
.
创新拓展练
15.已知集合
,集合
.
（1）是否存在实数
,使得对于任意实数
都有
若存在,求出对应的
的值,若不存在,说明理由;
（2）若
成立,求出对应的实数对
.
解析：命题分析
本题是探索性问题,主要考查含绝对值方程的解法,集合间的关系,考查运算求解能力,考查数学运算的核心素养.
答题要领（1）依题意,当且仅当集合A中的元素为1,2时,对任意实数
都有
.（2）若
,则
中的两个元素肯定有一个对应元素b.列出方程组,并求解.
答案：详细解析
（1）不存在.理由：
当且仅当集合
中的元素为1,2时,对于任意实数
都有
.
因为
,
所以
或
无解.
所以不存在实数
,使得对于任意实数
都有
（2）由（1）易知,若
,则
中的两个元素肯定有一个对应元素
,
则
或
或
或
解得
或
或
或
所以所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3,-7)或(-2,-6),
方法感悟
（1）注意区分子集与真子集的概念;
（2）存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在.注意分类讨论思想的运用.
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