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第一章
集合与常用逻辑用语
1.3
集合的基本运算
第1课时
并集和交集
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集和交集.
2.能使用Venn图表达集合的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
数学运算一会求两个集合的并集和交集，能根据两个集合的交集求参数的值（或取值范围）.
自主学习·必备知识
要点一
并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合的元素组成的集合，称为集合
与
的并集，记作
（读作“
并
”），即
①
，可用
图表示.
要点二
交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合
与
的交集，记作
（读作“
交
”），即
②
，可用
图表示.
自主思考
1.若
，
，则
中有几个元素？
答案：提示
，所以
中有4个元素.
2.
中有几个元素？
答案：提示因为
中没有元素，所以
，即
中有0个元素.
名师点睛
1.
仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成.“或”的数学含义如图，若集合
和
中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在
中仅出现一次.
2.并集的性质
（1）
，即两个集合的并集满足交换律.
（2）
，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身.
（3）
，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
（4）
，
，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集.
（5）若
，则
，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集等于这个集合本身.
3.交集的性质
（1）
，即两个集合的交集满足交换律.
（2）
，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身.
（3）
，即任何集合与空集的交集等于空集.
（4）
，
，即两个集合的交集是其中任一集合的子集.
（5）若
，则
，反之也成立，即若
是
的子集，则
，
的交集是
.
互动探究·关键能力
探究点一
并集的运算
精讲精练
例设集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
，
，故
，故选D.
解题感悟
求两个集合的并集的方法
（1）两个集合用列举法给出：①依定义，直接观察，求出并集；②借助Venn图求出并集.
（2)两个集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助教轴，求出并集.
迁移应用
1.设集合
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
，
，所以
.故选D.
2.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
，所以
.故选B.
探究点二
交集的运算
精讲精练
例（1）若
，
，则图中阴影部分表示的集合为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）设集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：（1）
（2）
解析：（1）易知
，
，所以题图中阴影部分表示的集合为
，故选A.
（2）在数轴上表示出集合
与
，如图所示.
则由交集的定义知，
.
解题感悟
求两个集合的交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可.
（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.
迁移应用
1.若集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
，
，所以
，故选A.
探究点三
交集、并集运算的性质及综合应用
精讲精练
例已知集合
，集合
，且
，试求
的取值范围.
答案：①当
，即
时，
，满足
.
②当
时，要使
，
只需
解得
.
综上可知，
.
解题感悟
利用集合交集、并集的运算性质解题的技巧
（1）在进行集合运算时，若条件中出现
或
，则应转化为
，然后用集合间的关系解决问题，并注意
的情况．
（2）集合运算常用的性质：①
；②
；③
迁移应用
1.已知集合
，
，
，则
；若
，则实数
的取值范围为
.
答案：
;
或
解析：因为
，
，所以
.
因为
，所以
.
①当
时，
，解得
，满足
；
②当
时，
解得
.
综上，
或
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：在数轴上标出集合
，B，如图所示，故
，故选C.
3.已知集合
，
，则图中阴影部分所表示的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
图可知，阴影部分所表示的集合是
.因为
，
，所以
.故选D.
4.已知集合
，
，则
.
答案：
5.若集合
，
，则
，
.
答案：
;
解析：如图，借助数轴可知
，
．
素养演练
数学运算——利用集合运算求参数问题
1.已知集合
，
，
，求实数
的值.
审：集合
与集合
的交集中的元素为3，即3是两个集合的公共元素，由此可以列出方程求参数
的值.
联：当已知两个集合的运算结果求参数的值时，一般要根据集合的运算性质列出方程求解，同时注意验证所求得的参数值是否满足集合中元素的互异性.
解：因为
，所以
，所以
，即
，解得
或
.
当
时，①
不满足集合中元素的互异性
，舍去；
当
时，
②
，
，符合题意.
综上，
.
解析：思：解答此类题目的思路是将集合中的运算结果转化为集合与元素之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到其关系；与不等式有关的集合，可利用数轴得到不同集合之间的关系.
迁移应用
1.若集合
，
，
，则满足条件的实数
有(
)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
答案：
解析：因为
，所以
，所以
或
或
，解得
或
或
或
.经检验，当
或
时满足题意，故选B.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020北京昌平高一检测）已知集合
，
，那么
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020北京第五中学高一测试）集合
，
，那么
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.设集合
，，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.集合
，
，若
，则实数
的值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.4
答案：
5.已知
，
两个集合分别用圆表示，则集合可用阴影表示为(
)
A.B.C.D.
答案：
6.（多选）
，
，则
，
，
之间的关系必有(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
7.（2020甘肃平凉高一期中）已知集合
，集合
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
8.（2020浙江金华高一期中）已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由题意得
解得
故
.故选C.
9.（2021安徽池州第一中学检测）已知集合
，
，若
，求实数
的取值范围.
答案：因为
，所以
，所以
解得
，
故实数m的取值范围为
.
10.已知集合
.若
，求实数
的取值范围.
答案：因为
，所以
，
当
时，
，解得
；
当
时，
所以
，
综上，
.所以实数
的取值范围是
.
素养提升练
11.（多选）（2020山东菏泽单县第五中学高一月考）集合
，
，则(
)
A.
B.
C.
D.集合
的真子集个数为8
答案：
;
解析：因为
，所以A选项正确，B选项不正确；
，所以C选项正确；集合A的真子集个数为
，所以D选项不正确.故选AC.
12.（2021江西吉安高一检测）设集合
，
，则使
成立的
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
得
，则
①当
时，
，解得
，满足条件.
②当
时，
解得
.
综合①②可知，使
成立的
的取值范围为
.
13.已知集合
，集合
，若
，则实数
；若
，则实数
.
答案：-2;
2或4
解析：因为集合
，集合
，
，所以
.若
，所以
或
，所以
或
（舍去）或
.
14.满足
的所有集合
的个数是
.
答案：4
解析：由
，知
，且
中至少有一个元素为5，从而
中其余元素可以是集合
的子集中的元素.而
有4个子集，因此满足条件的
有4个，它们分别是
，
，
，
.
15.设
，
，
，
.
（1）求
，
的值及
，
；
（2）求
.
答案：（1）因为
，所以
，
，即
，
，
所以
，
.
（2）由（1）知
，
，
所以
.
创新拓展练
16.已知集合
，
，试问是否存在
使
，
同时满足下列三个条件：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
解析：命题分析
本题考查集合的运算，集合间的关系，考查运算求解及逻辑推理能力，考查逻辑推理的核心素养.
答题要领
先求集合
，由条件（1）、（2）得出
，由条件（3）得出
，然后对集合
分类讨论得出结论.
答案：详细解析
不存在.理由：
假设存在
使得
，
满足条件，
由题意得
.因为
，所以
，即
或
.
由
，可知
.
又因为
，所以
，即
或
.
当
时，代入得
，即
或
.
经检验
时，
，与
矛盾，舍去；
时，
，与
矛盾，舍去.
当
时，代入得
.即
或
.
经检验
时，
，与
矛盾，舍去；
时，
，与
矛盾，舍去.
综上所述，不存在实数
使得
，
满足条件.
方法感悟
，
可能为空集；
，
可能为空集.解决集合间的关系问题时应注意子集与真子集的区别，注意分类讨论和数形结合思想的应用.
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第一章
集合与常用逻辑用语
1.3
集合的基本运算
第1课时
并集和交集
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集和交集.
2.能使用Venn图表达集合的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
数学运算一会求两个集合的并集和交集，能根据两个集合的交集求参数的值（或取值范围）.
自主学习·必备知识
要点一
并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合的元素组成的集合，称为集合
与
的并集，记作
（读作“
并
”），即
①
，可用
图表示.
要点二
交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合
与
的交集，记作
（读作“
交
”），即
②
，可用
图表示.
自主思考
1.若
，
，则
中有几个元素？
2.
中有几个元素？
名师点睛
1.
仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成.“或”的数学含义如图，若集合
和
中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在
中仅出现一次.
2.并集的性质
（1）
，即两个集合的并集满足交换律.
（2）
，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身.
（3）
，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
（4）
，
，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集.
（5）若
，则
，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集等于这个集合本身.
3.交集的性质
（1）
，即两个集合的交集满足交换律.
（2）
，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身.
（3）
，即任何集合与空集的交集等于空集.
（4）
，
，即两个集合的交集是其中任一集合的子集.
（5）若
，则
，反之也成立，即若
是
的子集，则
，
的交集是
.
互动探究·关键能力
探究点一
并集的运算
精讲精练
例设集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
迁移应用
1.设集合
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
探究点二
交集的运算
精讲精练
例（1）若
，
，则图中阴影部分表示的集合为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）设集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
迁移应用
1.若集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
探究点三
交集、并集运算的性质及综合应用
精讲精练
例已知集合
，集合
，且
，试求
的取值范围.
迁移应用
1.已知集合
，
，
，则
；若
，则实数
的取值范围为
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
3.已知集合
，
，则图中阴影部分所表示的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知集合
，
，则
.
5.若集合
，
，则
，
.
素养演练
数学运算——利用集合运算求参数问题
1.已知集合
，
，
，求实数
的值.
审：集合
与集合
的交集中的元素为3，即3是两个集合的公共元素，由此可以列出方程求参数
的值.
迁移应用
1.若集合
，
，
，则满足条件的实数
有(
)
A.1个B.2个
C.3个D.4个
课时评价作业
基础达标练
1.（2020北京昌平高一检测）已知集合
，
，那么
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020北京第五中学高一测试）集合
，
，那么
(
)
A.
B.
C.
D.
3.设集合
，，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为(
)
A.
B.
C.
D.
4.集合
，
，若
，则实数
的值为(
)
A.0
B.1
C.2
D.4
5.已知
，
两个集合分别用圆表示，则集合可用阴影表示为(
)
A.B.C.D.
6.（多选）
，
，则
，
，
之间的关系必有(
)
A.
B.
C.
D.
7.（2020甘肃平凉高一期中）已知集合
，集合
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
8.（2020浙江金华高一期中）已知集合
，
，则
(
)
A.
B.
C.
D.
9.（2021安徽池州第一中学检测）已知集合
，
，若
，求实数
的取值范围.
10.已知集合
.若
，求实数
的取值范围.
素养提升练
11.（多选）（2020山东菏泽单县第五中学高一月考）集合
，
，则(
)
A.
B.
C.
D.集合
的真子集个数为8
12.（2021江西吉安高一检测）设集合
，
，则使
成立的
的取值范围为(
)
A.
B.
C.
D.
13.已知集合
，集合
，若
，则实数
；若
，则实数
.
14.满足
的所有集合
的个数是
.
15.设
，
，
，
.
（1）求
，
的值及
，
；
（2）求
.
创新拓展练
16.已知集合
，
，试问是否存在
使
，
同时满足下列三个条件：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
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