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第一章
集合与常用逻辑用语
1.3
集合的基本运算
加练课1
集合的综合运算
学习目标
1.进一步掌握集合的概念、集合间的关系.
2.进一步掌握并集、交集与补集的运算法则.
3.进一步熟悉数学语言（文字语言、符号语言和图形语言）.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为
.(
×
)
2.任意一个集合必有两个或两个以上的真子集.(
×
)
3.若
，则
.(
×
)
二、夯实基础，自我检测
4.（2020山西运城高一月考）下列所给对象能构成集合的是(
)
A.2020年全国Ⅰ卷数学试题的所有难题
B.比较接近2的全体正数
C.未来世界的高科技产品
D.所有整数
答案：
5.（2020山东济南第十一中学高一期中）下列关系正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
6.（2020北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一期中）设
，
，若
，则实数
的取值范围是(
)
A.
或
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
，且
，
所以
此不等式组无解.故选D.
7.已知
，
．若
，则
的取值范围为
.
答案：
解析：在数轴上标出集合
、
，如图．
若
，则
解得
.
互动探究·关键能力
探究点一
集合的概念与运算
精讲精练
类型1
正确理解、运用集合语言
例1能正确表示集合
和集合
关系的
图是(
)
A.B.C.D.
答案：
解析：由
得
或
，故
，易得
.故选B.
解题感悟
数学解题语言有三种：文字语言、符号语言和图形语言，解题时应灵活转化
图法和数轴图示法是进行交集、并集、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.
类型2
集合中元素的互异性
例2已知集合
，若
，则
的值为
.
答案：
解析：因为
，所以
或
.
当
，即
时，
，此时集合
中有重复元素3，所以
不符合题意，舍去；当
时，解得
（舍去），当
时，
，符合题意．综上，
.
解题感悟
集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所求结果是否正确.
类型3
空集
例3（2020天津静海一中高一调研）已知集合
，集合
．
（1）当
时，求
；
（2）若
，求实数
的取值范围；
（3）若
，求实数
的取值范围．
答案：（1）当
时，
.
（2）
知
解得
，
即
的取值范围是
.
（3）由
得，
①当
，即
时，
，
符合题意；
②当
，即
时，
需
或
解得
或
，即
．
综上可知，实数
的取值范围是
.
解题感悟
空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，根据集合间的包含关系求解参数范围时，要注意分析集合为空集的可能.
迁移应用
1.已知集合
，
，
之间的关系如图所示，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020辽宁省实验中学高一检测）已知集合
，
.
（1）是否存在实数
，使
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
（2）若
，求实数
的取值范围.
答案：（1）
，所以
且
中不含除0，2，4以外的实数，即
，解得
.
验证：此时
，所以不存在实数
，使
.
（2）由
得
，即
只可能为
，
，
，
.
①
，即
且
，解得
；
②
，即
此方程组无解；
③
中方程只有一个根：当
时，
解得
，此时
，符合题意；当
时，由
，解得
，
此时
，不符合题意.
综上所述，
.
探究点二
集合中的创新问题
精讲精练
类型1
新定义集合的概念
例1当
时，若
且
，则称
为
的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合
中“孤立元素”组成的“孤星集”为
.
答案：
解析：根据“孤立元素”的定义逐一验证
中的元素即可.0有1相伴，1，2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立元素”，从而集合
中“孤立元素”组成的“孤星集”为
．
解题感悟
解决与集合有关的新定义问题，首先要分析新定义的特点与本质，认清新定义对集合、元素的要求，进而将新定义的问题转化为熟悉的问题，从而使问题得到解决，也就是“以旧带新”法.
类型2
新定义集合的性质
例2若集合
具有以下性质：
①
，
；
②若
，
，则
，且
时，
，
则称集合
是“好集”.给出下列说法：①集合
是“好集”；②有理数集
是“好集”；③设集合
是“好集”，若
，则
.
其中，正确说法的个数是(
)
A.0B.1C.2D.3
答案：
解析：假设集合
是“好集”，因为
，
，所以
，这与
矛盾，所以集合B不是“好集”，故①中说法错误.
因为
，
，对任意的
，
，有
，且
时，
，所以有理数集
是“好集”，故②中说法正确.
因为集合
是“好集”，所以
，若
，
，则
，即
，所以
，即
，故③中说法正确.
解题感悟
以集合为背景的新定义问题，常以“问题”为核心，“探究”为途径，“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查学生对新概念的理解，充分体现了数学抽象的核心素养.
类型3
新定义集合的运算
例3设
、
是两个非空集合，定义
与
的差集为，则集合
.
答案：
解析：根据定义“
，且
”作出
图，如图所示，由图可知
.
解题感悟
求解集合创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案.将新定义问题转化到已学的知识中进行求解.注意并集、交集和补集的定义的运用
类型4
探索性问题
例4已知三个集合
，
，
，则同时满足
，
的实数
，
是否存在？若存在，求出
，
的所有值；若不存在，请说明理由.
答案：存在.
.
因为
，所以
.
又
，所以
，即
.
因为
，且
，
所以
为
或
或
或
.
当
时，
；
当
时，
，
即
，此时
，与
或
矛盾，故舍去；
当
时，
，即
.
综上可知，存在
，
或
满足题意.
解题感悟
探索性问题的解题思路
（1）要明确探索的目标是什么，其中哪一个集合是确定的，哪一个集合是需要探索的；
（2）要重视对空集的讨论；
（3）要依据集合间的关系对参数进行分类讨论；
（4）要对结果进行验证.
迁移应用
1.若数集
具有性质
：对任意的
，
，
与
两数中至少有一个属于A，则称集合
为“权集”，则(
)
A.
为“权集”
B.
为“权集”
C.“权集”中元素可以有0
D.“权集”中一定有元素1
答案：
2.定义集合运算：
，设
，
，则集合
的真子集个数为(
)
A.8B.7C.16D.15
答案：
解析：由
，
得，
中有
，
，
，
四种运算情况.由集合中元素的互异性可知，集合
中有3个元素：1，0，2，故集合
的真子集为
，
，
，
，
，
，
，共7个.
3.若
是一个集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足：①
属于
，
属于
；②
中任意多个元素的并集属于
；③
中任意多个元素的交集属于
，则称
是集合
上的一个拓扑.已知集合
，对于下面给出的四个集合
：
；
②
；
；
.
其中是集合
上的拓扑的集合的所有序号是
.
答案：②④
解析：因为
，所以①不是集合
上的一个拓扑.
因为
，所以③不是集合
上的一个拓扑.
易知②④均是集合
上的拓扑.故答案为②④.
4.已知集合
，集合
.
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）若
，求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
答案：
（1）因为
，所以
或
解得
或
.故a的取值范围是
.
（2）因为
，所以
解得
.
（3）因为
，所以
且
.由（1）（2）的结论可知，不存在实数
，使得
.
评价检测·素养提升
1.（2020天津静海第六中学高一检测）一次函数
与
的图象的交点组成的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
解得
所以两函数图象的交点组成的集合是
.故选D.
2.（2021北京第五中学高一段考）设
是至少含有两个元素的集合，在
上定义了一个二元运算“
”：
，且若对任意的
，有
，则下列等式不恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：根据定义，对任意的
，有
可知，
对于A选项，
不满足新定义的形式，故其不一定恒成立，故A选项不正确；
对于B选项，
，故B选项正确；
对于C选项，
满足定义，故C选项正确；
对于D选项，把
看成一个整体，故
，故D选项正确.故选A.
3.（2020天津第四十七中学高一月考）设集合
，
，若
，则实数
.
答案：-3
解析：因为集合
，
，所以
，故
.
4.若
，则
，就称
是“伙伴关系集合”，集合
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是
.
答案：3
解析：符合题意的元素有-1，
，2，所以具有伙伴关系的集合有
，
，
，共3个.
课时评价作业
基础达标练
1.下列给出的对象中，能组成集合的是(
)
A.一切很大的数B.好心人
C.漂亮的小女孩D.方程
的实数根
答案：
2.（2020辽宁葫芦岛第八高中高一月考）集合
中含有的元素个数为(
)
A.4B.6C.8D.12
答案：
3.下面关于集合的表示中正确的个数是(
)
①
；
②
；
③
；
④
.
A.0B.1C.2D.3
答案：
4.已知全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
5.（2020天津静海一中高一调研）有下列四个命题：
①
是空集；
②若
，则
有2个；
③若集合
，则集合
中所有元素之和为-2；
④集合
是有限集.
其中正确的命题的个数是(
)
A.0B.1C.2D.3
答案：
6.（2020海南临高二中高一月考）已知全集，
，
则
.
答案：
解析：由题意得
，所以
.
7.当
，
是非空集合，定义运算，若
，
，则
.
答案：
解析：画出数轴如图，
所以
8.设
，
为两个数集，
中含有0，2，5三个元素，
中含有1，2，6三个元素，定义集合
中的元素是
，其中
，
，则
中元素的个数为
.
答案：8
解析：当
时，由
可得
的值为1，2，6；
当
时，由
可得
的值为3，4，8；
当
时，由
可得
的值为6，7，11.
由集合元素的互异性可知，
中的元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个.
9.（2020山东滕州一中高一月考）已知集合
，则实数
的取值集合为
.
答案：
解析：由
，得
或
，所以
，
因为
，所以
，
当
时，方程
无解，则
，
当
时，即
，方程
的解为
，
因为
，所以
或
，解得
或
，
所以实数
的取值集合为
.
素养提升练
10.（多选）（2021山东菏泽单县第五中学高一月考）给定数集
，若对于任意
，有
，且
，则称集合
为闭集合，则下列说法中不正确的是(
)
A.集合
为闭集合
B.集合
为闭集合
C.正整数集
为闭集合
D.若集合
，
为闭集合，则
为闭集合
答案：
;
;
解析：对于
，当集合
时，
，所以集合
不为闭集合.
对于
，当
时，设
，
，
，则
，
，所以集合
为闭集合.
对于
，设
，
是任意的两个正整数，当
时，
，不是正整数，所以正整数集不为闭集合.
对于
，设
，
，则
和
均是闭集合，且
，
，而
，此时
不为闭集合.故选ACD.
11.（2021河北保定易县中学高一期末）设，则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：依题意知
，
，
，所以
.故选D.
12.（2020北京人大附中高一段考）设集合
，在
上定义运算“
”为
，其中
为
被4除的余数，
，
0，1，2，3，4，5，则满足关系式
的
的个数为
.
答案：3
解析：当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
时，
；
当
时，
当
时，
则满足关系式
的
的个数为3.
13.（2021北京海淀高一月考）已知非空集合
，
满足以下两个条件：①
，
；②
的元素个数不是
中的元素，
的元素个数不是
中的元素.求有序集合对
的个数.
答案：已知
的元素个数不是
中的元素，
的元素个数不是
中的元素.
当集合
中只有一个元素时，集合
中有四个元素，则
且
，故可能结果为
，共1种.
当集合
中有两个元素时，集合
中有三个元素，则
且
，此时集合
中必有一个元素为3，集合B中必有一个元素为2，故可能结果为
，
；
，
；
，
，共3种.
当集合
中有三个元素时，集合
中有两个元素，则
且
，此时集合
中必有一个元素为2，集合B中必有一个元素为3，故可能结果为
，
；
，
；
，
，共3种.
当集合
中有四个元素时，集合
中有一个元素，则
且
，故可能结果为
，
，共1种.
综上所述，有序集合对
的个数为8.
创新拓展练
14.在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数
存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.
问题：已知集合
，
，是否存在实数
，使得
？
解析：命题分析
本题是开放性问题，也是探究性问题，考查集合间的关系，集合的交集和补集运算，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
答题要领
化简集合
，分
，
，
三种情况讨论得到集合
，再求实数
的取值范围.
答案：详细解析
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
若选择①
，则
，
当
时，
，
则
，所以
；
当
时，
，满足题意；
当
时，
不满足题意，
所以实数
的取值范围是
.
若选择②
，
当
时，
，
，满足题意.
当
时，
，不满足题意；
当
时，
，
，不满足题意.
所以实数
的取值范围是
.
若选择③
，
当
时，
，
，而
，不满足题意；
当
时，
，
，而
，满足题意；
当
时，
，
，而
，
，且
满足题意.
所以实数
的取值范围是
.
方法感悟
求解开放性问题需要运用所学知识，发挥自身的数学思维能力以及创新能力，得到相应的结果.注意数学思想方法的运用.
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第一章
集合与常用逻辑用语
1.3
集合的基本运算
加练课1
集合的综合运算
学习目标
1.进一步掌握集合的概念、集合间的关系.
2.进一步掌握并集、交集与补集的运算法则.
3.进一步熟悉数学语言（文字语言、符号语言和图形语言）.
自主检测·必备知识
一、概念辨析，判断正误
1.用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为
.(
)
2.任意一个集合必有两个或两个以上的真子集.(
)
3.若
，则
.(
)
二、夯实基础，自我检测
4.（2020山西运城高一月考）下列所给对象能构成集合的是(
)
A.2020年全国Ⅰ卷数学试题的所有难题
B.比较接近2的全体正数
C.未来世界的高科技产品
D.所有整数
5.（2020山东济南第十一中学高一期中）下列关系正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2020北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一期中）设
，
，若
，则实数
的取值范围是(
)
A.
或
B.
C.
D.
7.已知
，
．若
，则
的取值范围为
.
互动探究·关键能力
探究点一
集合的概念与运算
精讲精练
类型1
正确理解、运用集合语言
例1能正确表示集合
和集合
关系的
图是(
)
A.B.C.D.
类型2
集合中元素的互异性
例2已知集合
，若
，则
的值为
.
类型3
空集
例3（2020天津静海一中高一调研）已知集合
，集合
．
（1）当
时，求
；
（2）若
，求实数
的取值范围；
（3）若
，求实数
的取值范围．
迁移应用
1.已知集合
，
，
之间的关系如图所示，则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020辽宁省实验中学高一检测）已知集合
，
.
（1）是否存在实数
，使
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
（2）若
，求实数
的取值范围.
探究点二
集合中的创新问题
精讲精练
类型1
新定义集合的概念
例1当
时，若
且
，则称
为
的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合
中“孤立元素”组成的“孤星集”为
.
类型2
新定义集合的性质
例2若集合
具有以下性质：
①
，
；
②若
，
，则
，且
时，
，
则称集合
是“好集”.给出下列说法：①集合
是“好集”；②有理数集
是“好集”；③设集合
是“好集”，若
，则
.
其中，正确说法的个数是(
)
A.0B.1C.2D.3
类型3
新定义集合的运算
例3设
、
是两个非空集合，定义
与
的差集为，则集合
.
类型4
探索性问题
例4已知三个集合
，
，
，则同时满足
，
的实数
，
是否存在？若存在，求出
，
的所有值；若不存在，请说明理由.
迁移应用
1.若数集
具有性质
：对任意的
，
，
与
两数中至少有一个属于A，则称集合
为“权集”，则(
)
A.
为“权集”
B.
为“权集”
C.“权集”中元素可以有0
D.“权集”中一定有元素1
2.定义集合运算：
，设
，
，则集合
的真子集个数为(
)
A.8B.7C.16D.15
3.若
是一个集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足：①
属于
，
属于
；②
中任意多个元素的并集属于
；③
中任意多个元素的交集属于
，则称
是集合
上的一个拓扑.已知集合
，对于下面给出的四个集合
：
；
②
；
；
.
其中是集合
上的拓扑的集合的所有序号是
.
4.已知集合
，集合
.
（1）若
，求实数
的取值范围；
（2）若
，求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
评价检测·素养提升
1.（2020天津静海第六中学高一检测）一次函数
与
的图象的交点组成的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021北京第五中学高一段考）设
是至少含有两个元素的集合，在
上定义了一个二元运算“
”：
，且若对任意的
，有
，则下列等式不恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020天津第四十七中学高一月考）设集合
，
，若
，则实数
.
4.若
，则
，就称
是“伙伴关系集合”，集合
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是
.
课时评价作业
基础达标练
1.下列给出的对象中，能组成集合的是(
)
A.一切很大的数B.好心人
C.漂亮的小女孩D.方程
的实数根
2.（2020辽宁葫芦岛第八高中高一月考）集合
中含有的元素个数为(
)
A.4B.6C.8D.12
3.下面关于集合的表示中正确的个数是(
)
①
；
②
；
③
；
④
.
A.0B.1C.2D.3
4.已知全集
，
，
，则图中阴影部分表示的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2020天津静海一中高一调研）有下列四个命题：
①
是空集；
②若
，则
有2个；
③若集合
，则集合
中所有元素之和为-2；
④集合
是有限集.
其中正确的命题的个数是(
)
A.0B.1C.2D.3
6.（2020海南临高二中高一月考）已知全集，
，
则
.
7.当
，
是非空集合，定义运算，若
，
，则
.
8.设
，
为两个数集，
中含有0，2，5三个元素，
中含有1，2，6三个元素，定义集合
中的元素是
，其中
，
，则
中元素的个数为
.
9.（2020山东滕州一中高一月考）已知集合
，则实数
的取值集合为
.
素养提升练
10.（多选）（2021山东菏泽单县第五中学高一月考）给定数集
，若对于任意
，有
，且
，则称集合
为闭集合，则下列说法中不正确的是(
)
A.集合
为闭集合
B.集合
为闭集合
C.正整数集
为闭集合
D.若集合
，
为闭集合，则
为闭集合
11.（2021河北保定易县中学高一期末）设，则
(
)
A.
B.
C.
D.
12.（2020北京人大附中高一段考）设集合
，在
上定义运算“
”为
，其中
为
被4除的余数，
，
0，1，2，3，4，5，则满足关系式
的
的个数为
.
13.（2021北京海淀高一月考）已知非空集合
，
满足以下两个条件：①
，
；②
的元素个数不是
中的元素，
的元素个数不是
中的元素.求有序集合对
的个数.
创新拓展练
14.在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数
存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.
问题：已知集合
，
，是否存在实数
，使得
？
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