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第一章
集合与常用逻辑用语
1.4
充分条件与必要条件
1.4.1
充分条件与必要条件
课标解
读
课标要求
素养要求
1.理解充分条件，必要条件的概念.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
逻辑推理——能通过充分性、必要性解决简单的问题.
自主学习·必备知识
一般地，“若
，则
”为①
，是指由
通过推理可以得出
.这时，我们就说，有
可以推出
，记作②
，并且说，
是
的充分条件，
是
的必要条件.
如果“若
，则
”为③
，那么由条件
不能推出结论
，记作④
.此时，我们就说，
不是
的充分条件，
不是
的必要条件.
自主思考
1.若
是
的充分条件，这样的条件
唯一吗？
2.用“
”“
”填空.
①四边形是平行四边形
四边形是正方形；
②
；
③
.
互动探究·关键能力
探究点一
充分条件、必要条件的判断
精讲精练
例（1）下列命题中，
是
的充分条件的是
（填序号）.
①
，
；
②
两个三角形面积相等，
两个三角形全等；
③
，
方程
无实根.
（2）下列“若
，则
”形式的命题中，
是
的必要条件的有
（填序号）.
①若
，则
；
②若
为有理数，则
为有理数；
③若
，则
.
迁移应用
1.下列选项中，p是
的必要条件的是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
探究点二
根据充分条件或必要条件求参数的取值范围
精讲精练
例
已知
实数
满足
，其中
；
实数
满足
.若
是
的充分条件，求实数
的取值范围.
迁移应用
1.集合
，
.若“
”是“
”的充分条件，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
2.已知
，“
”是“
”的必要条件，则实数
的取值范围是
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的
.
2.已知
，则“
”是“
”的
条件.
3.若
，
，则
是
的
条件.
4.分析下列命题中
与
的关系.
（1）
为锐角，
；
（2）
，
.
素养演练
数学建模——探索性问题的转化
1.已知
或
和
或
，是否存在实数
，使
是
的充分条件但不是必要条件?若存在，求出最小的正整数
；若不存在，请说明理由.
迁移应用
1.是否存在实数
，使“
”是“
或
”的充分条件？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020辽宁营口第二高级中学高一月考）下列是“
”的必要条件的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）使
成立的充分条件可以是(
)
A.
，
B.
C.
，
D.
，
3.下列“若
，则
”形式的命题中，
是
的充分条件的是(
)
A.若
，则
B.若
，则
C.若
，则
D.若
，则
4.若“
”是“
”的必要条件，则
的一个值可以是(
)
A.0B.2C.4D.16
5.（2020海南海口高一检测）已知集合
，
，则“
”是“
”的(
)
A.充分条件
B.必要条件
C.不是充分条件，也不是必要条件
D.无法判断
6.（多选）下列命题中，p是
的充分条件的是(
)
A.
是无理数，
是无理数
B.
四边形为等腰梯形，
四边形的对角线相等
C.
，
D.
，
7.设命题
，
，命题
一次函数
的图象交
轴于负半轴，交
轴于正半轴，则
是
的
条件；
是
的
条件．（用“充分”或“必要”填空）
8.下列说法不正确的是
.（只填序号）
①“
”是“
”的充分条件；
②“
”是“
且
”的充分条件；③“
”是“
”的充分条件.
9.指出下列命题中，
是
的充分条件，还是必要条件.
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
.
素养提升练
10.（多选）对任意实数a，
，
，下列命题中是真命题的是(
)
A.“
”是“
”的必要条件
B.“
”是“
”的必要条件
C.“
”是“
”的充分条件
D.“
”是“
”的充分条件
11.已知集合
，
，若“
”成立的一个充分条件是“
”，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
12.已知
或
，
或
.若
是
的必要条件，则实数
的取值范围为
.
13.若
，
，且
是
的充分条件，则实数
的取值范围为
.
14.已知集合
，
，若“
”是“
”的必要条件，求实数
的取
创新拓展练
15.（1）是否存在实数
，使
是“
或
”的充分条件？
（2）是否存在实数
，使
是“
或
”的必要条件？
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第一章
集合与常用逻辑用语
1.4
充分条件与必要条件
1.4.1
充分条件与必要条件
课标解
读
课标要求
素养要求
1.理解充分条件，必要条件的概念.
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.
逻辑推理——能通过充分性、必要性解决简单的问题.
自主学习·必备知识
一般地，“若
，则
”为①
真命题
，是指由
通过推理可以得出
.这时，我们就说，有
可以推出
，记作②
，并且说，
是
的充分条件，
是
的必要条件.
如果“若
，则
”为③
假命题
，那么由条件
不能推出结论
，记作④
.此时，我们就说，
不是
的充分条件，
不是
的必要条件.
自主思考
1.若
是
的充分条件，这样的条件
唯一吗？
答案：提示不唯一.例如“
”是“
”的充分条件，
可以是“
”“
”“
”等.
2.用“
”“
”填空.
①四边形是平行四边形
四边形是正方形；
②
；
③
.
答案：提示
;
;
名师点睛
1.若
，则
是
的充分条件.所谓充分，就是条件是充足的，条件是足以保证的，即“有之必成立，无之未必不成立”.
2.若
，则
是
的必要条件.所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，即“有之未必成立，无之必不成立”.
3.若
，则
不是
的充分条件，
不是
的必要条件，也可以称为
是
的不充分条件，
是
的不必要条件.
互动探究·关键能力
探究点一
充分条件、必要条件的判断
精讲精练
例（1）下列命题中，
是
的充分条件的是
（填序号）.
①
，
；
②
两个三角形面积相等，
两个三角形全等；
③
，
方程
无实根.
（2）下列“若
，则
”形式的命题中，
是
的必要条件的有
（填序号）.
①若
，则
；
②若
为有理数，则
为有理数；
③若
，则
.
答案：（1）③（2）①③
解析：（1）①因为
，所以
或
，不能推出
，所以
不是
的充分条件.②因为两个三角形面积相等不能推出两个三角形全等，所以
不是
的充分条件.③因为
，所以
，所以方程
无实根，所以
是
的充分条件.
（2）①因为命题“若
，则
”是真命题，所以
是
的必要条件.
②当
时，
是有理数，但
无意义，所以
不是有理数，所以
不是
的必要条件.
③因为
，等号左右两边平方后，等式依然成立，所以
，所以
是
的必要条件.
解题感悟
充分条件、必要条件的判断方法
（1）判断
是
的什么条件，主要判断
成立时，能否推出
成立，反过来，
成立时，能否推出
成立：若
为真，则
是
的充分条件，若
为真，则
是
的必要条件.
（2）除了用定义判断充分条件、必要条件之外，还可以利用集合间的关系判断，若
构成的集合为
，
构成的集合为
，
，则
是
的充分条件，
是
的必要条件.
迁移应用
1.下列选项中，p是
的必要条件的是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案：
解析：要满足
是
的必要条件，即
，只有
符合题意，故选D.
探究点二
根据充分条件或必要条件求参数的取值范围
精讲精练
例已知
实数
满足
，其中
；
实数
满足
.若
是
的充分条件，求实数
的取值范围.
答案：
，记集合
，由题意知，
.
，记集合
.
因为
，所以
，
所以
解得
，即实数
的取值范围是
.
解题感悟
利用充分性与必要性求参数的值或取值范围问题的步骤：先把
，
等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
迁移应用
1.集合
，
.若“
”是“
”的充分条件，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
，
.
因为“
”是“
”的充分条件，所以
或
，即
.
2.已知
，“
”是“
”的必要条件，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：因为“
”是“
”的必要条件，所以
，
所以
解得
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的
.
答案：必要条件
2.已知
，则“
”是“
”的
条件.
答案：充分
3.若
，
，则
是
的
条件.
答案：必要
4.分析下列命题中
与
的关系.
（1）
为锐角，
；
（2）
，
.
答案：（1）由于
，故p是
的必要条件，
是
的充分条件.
（2）由于
，故p是
的充分条件，
是
的必要条件.
素养演练
数学建模——探索性问题的转化
1.已知
或
和
或
，是否存在实数
，使
是
的充分条件但不是必要条件?若存在，求出最小的正整数
；若不存在，请说明理由.
审：本题是探索性问题，要根据
与
的关系求
的取值.
联：
是
的充分条件但不是必要条件，即
，且
.可以联想集合间的关系.
解：存在.由题意知
.由
或
，可设集合
，由
或
，可设集合
.
要使
是
的充分条件但不是必要条件，
则①
，应有
或
解得
.
令
，则
，故
.
即②
，且③
，
所以存在最小的正整数
，满足题意.
解析：思：解答此类问题的关键是“
是
的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个集合间的包含关系建立不等关系求解，过程中体现了数学建模的核心素养.
迁移应用
1.是否存在实数
，使“
”是“
或
”的充分条件？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案：存在.令集合
，集合
.
由题意知，
，
即
，解得
.
故当
时，
“
”是“
或
”的充分条件.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020辽宁营口第二高级中学高一月考）下列是“
”的必要条件的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（多选）使
成立的充分条件可以是(
)
A.
，
B.
C.
，
D.
，
答案：
;
;
3.下列“若
，则
”形式的命题中，
是
的充分条件的是(
)
A.若
，则
B.若
，则
C.若
，则
D.若
，则
答案：
4.若“
”是“
”的必要条件，则
的一个值可以是(
)
A.0B.2C.4D.16
答案：
5.（2020海南海口高一检测）已知集合
，
，则“
”是“
”的(
)
A.充分条件
B.必要条件
C.不是充分条件，也不是必要条件
D.无法判断
答案：
6.（多选）下列命题中，p是
的充分条件的是(
)
A.
是无理数，
是无理数
B.
四边形为等腰梯形，
四边形的对角线相等
C.
，
D.
，
答案：
;
7.设命题
，
，命题
一次函数
的图象交
轴于负半轴，交
轴于正半轴，则
是
的
条件；
是
的
条件．（用“充分”或“必要”填空）
答案：充分;
必要
解析：当
，
时，函数
的图象如图所示，
此时一次函数
的图象交
轴于负半轴，交
轴于正半轴，
所以
是
的充分条件，
是
的必要条件．
8.下列说法不正确的是
.（只填序号）
①“
”是“
”的充分条件；
②“
”是“
且
”的充分条件；③“
”是“
”的充分条件.
答案：②
解析：由
不能推出
且
，则②不正确；易知①③正确.
9.指出下列命题中，
是
的充分条件，还是必要条件.
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
.
答案：（1）因为
，
，所以
是
的必要条件.
（2）因为
，
所以
是
的充分条件.
（3）因为
且
，
，所以
是
的充分条件.
素养提升练
10.（多选）对任意实数a，
，
，下列命题中是真命题的是(
)
A.“
”是“
”的必要条件
B.“
”是“
”的必要条件
C.“
”是“
”的充分条件
D.“
”是“
”的充分条件
答案：
;
解析：对
，当
时，“
”
“
”，所以
中命题是假命题；
对
，“
”
“
”
“
”
“
，”所以“
”是“
”的必要条件，所以
中命题是真命题；
对
，“
”
“
”，因为
，所以
，即
，所以“”“
”是“
”的充分条件，所以
中命题是真命题；
对
，当
时，“
”
“
”，所以D中命题是假命题.故选BC.
11.已知集合
，
，若“
”成立的一个充分条件是“
”，则实数
的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为“
”成立的一个充分条件是“
”，所以
，所以
，即
.故选A.
12.已知
或
，
或
.若
是
的必要条件，则实数
的取值范围为
.
答案：
解析：因为
或
，所以
.
因为
是
的必要条件，所以
，
所以
解得
.
13.若
，
，且
是
的充分条件，则实数
的取值范围为
.
答案：
解析：因为
是
的充分条件，所以
，所以
或
，所以实数
的取值范围是
.
14.已知集合
，
，若“
”是“
”的必要条件，求实数
的取值范围．
答案：因为“
”是“
”的必要条件，所以
，
当
时，
，解得
，
当
时，
此时
不存在，
当
时，
此时
不存在，
当
时，
此时
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
创新拓展练
15.（1）是否存在实数
，使
是“
或
”的充分条件？
（2）是否存在实数
，使
是“
或
”的必要条件？
解析：命题分析
本题考查根据充分条件、必要条件求参数的取值范围，考查逻辑推理能力，考查逻辑推理的核心素养.
答题要领
（1）问题转化为
.
（2）问题转化为
.
答案：（1）要使
是
或
的充分条件，
则只要
，
即只要
，所以
.
故存在实数
，使
是
或
的充分条件．
（2）要使
是
或
的必要条件，则只要
，显然不成立.
故不存在实数m，使
是
或
的必要条件．
方法感悟
解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．
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