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第一章
集合与常用逻辑用语
1.4
充分条件与必要条件
1.4.2
充要条件
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解充要条件的意义.
2.会判断一些简单问题的充要条件.
3.能对充要条件进行证明.
1.数学抽象——会用定义判断充要条件.
2.数学运算——能用充要条件求解相关问题.
自主学习·必备知识
如果“若
，则
”和它的逆命题“①
”均是真命题，即既有
，又有
，就记作②
.此时，
既是
的充分条件，又是
的必要条件，我们说
是
的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果
是
的充要条件，那么
也是
的充要条件.概括地说，如果
，那么
与
互为充要条件.
自主思考
1.由“
”是“
”的充要条件，能否得出
？
互动探究·关键能力
探究点一
充要条件的判断
精讲精练
例
指出下列各题中，
是
的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.
（1）
，
；
（2）
能被6整除，
能被3整除；
（3）
两个角都是直角，
两个角不相等；
（4）
，
.
迁移应用
1.设
，
，
是三个集合，且
，
则“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.指出下列各题中
是
的什么条件.
（1）
两个三角形相似；
两个三角形全等；
（2）
一个四边形是矩形；
四边形的对角线相等.
探究点二
充要条件的证明
精讲精练
例
求证：
是等边三角形的充要条件是
.（这里
，
，
是
的三边边长）
迁移应用
1.求证：一次函数
的图象过原点的充要条件是
.
探究点三
求参数的取值范围
精讲精练
例
已知
，
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
迁移应用
1.设
，
或
.若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
评价检测·素养提升
1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的(
)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知
，
，则“
”是“
”的
条件.
4.函数
的图象关于直线
对称的充要条件是
.
5.若
是
的充分不必要条件，
是
的充要条件，
是
的必要不充分条件，则
是
的什么条件？
课时评价作业
基础达标练
1.（2020辽宁盘锦第二高级中学高一段考）若
，
，则
是
的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2.（2020山东济宁微山二中高一检测）“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.（2020辽宁阜新第二高级中学高一月考）设
，
是两个集合，则“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.（2021山东滨州高一期末）“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.（2021天津静海第六中学高一检测）已知集合
，
及元素
，则“
或
”是“
”的(
)
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.（2020天津四合庄中学高一月考）若命题
，则命题
的一个充分不必要条件为(
)
A.
B.
C.
D.
7.对于集合
，
及元素
，若
，则
是
的
条件.
8.（2020安徽太和中学高一检测）已知条件
：
条件
；条件
.若
是
的充要条件，则
.若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是
.
9.指出下列各组命题中，
是
的什么条件（从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选）．
（1）
，
；
（2）
，
且
；
（3）
，：
；
（4）
是自然数，
是正数．
素养提升练
10.（2020山东济宁邹城第一中学高一月考）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(
)
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
11.（多选）下列论述正确的是(
)
A.若
，则“
”是“
”的必要不充分条件
B.在
中，“
”是“
为直角三角形”的充要条件
C.“
”是“
”的充要条件
D.若
，
，则“
”是“
，
不全为0”的充要条件
12.（2020北京大学附属实验中学高一月考）设
或
，
或
，
，
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是
.
13.设
，则一元二次方程
有整数根的充要条件是
.
14.已知
，
，
，
.判断“
”是“二次方程
有一根为-1”的什么条件？并说明理由．
创新拓展练
15.已知
，证明：
成立的充要条件是
.
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第一章
集合与常用逻辑用语
1.4
充分条件与必要条件
1.4.2
充要条件
课标解读
课标要求
素养要求
1.理解充要条件的意义.
2.会判断一些简单问题的充要条件.
3.能对充要条件进行证明.
1.数学抽象——会用定义判断充要条件.
2.数学运算——能用充要条件求解相关问题.
自主学习·必备知识
如果“若
，则
”和它的逆命题“①
若
，则
”均是真命题，即既有
，又有
，就记作②
.此时，
既是
的充分条件，又是
的必要条件，我们说
是
的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果
是
的充要条件，那么
也是
的充要条件.概括地说，如果
，那么
与
互为充要条件.
自主思考
1.由“
”是“
”的充要条件，能否得出
？
答案：提示可以提出
.若
，则
，反之
，故
.
名师点睛
1.命题
与
的四个关系
（1）若
，则
与
互为充要条件.
（2）若
，但
，则
是
的充分不必要条件.
（3）若
，但
，则
是
的必要不充分条件.
（4）若
，且
，则
是
的既不充分也不必要条件.
2.注意区别
是
的充分不必要条件（
且
）；与
的充分不必要条件是（
且
）两者的不同.
3.“
是
的充要条件”与“
的充要条件是
”的区别：
（1）
是
的充要条件说明
是条件，
是结论.
（2）
的充要条件是
说明
是条件，
是结论.
互动探究·关键能力
探究点一
充要条件的判断
精讲精练
例
指出下列各题中，
是
的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.
（1）
，
；
（2）
能被6整除，
能被3整除；
（3）
两个角都是直角，
两个角不相等；
（4）
，
.
答案：（1）
，
则
或
，
，
故
，
，
故p是
的必要不充分条件.
（2）
能被6整除，故也能被3和2整除，
能被3整除，故
，
，
故p是
的充分不必要条件.
（3）
两个角都是直角，则这两个角相等，
两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，
即
，
，
故p是
的既不充分也不必要条件.
（4）因为
，
所以
是
的充要条件.
解题感悟
充要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同类型的问题，定义法适用于定义、定理判断性命题，而集合法适用于命题中涉及求字母的取值范围的推断命题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.
迁移应用
1.设
，
，
是三个集合，且
，
则“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
解析：
，
“
”是“
”的充要条件，故选C.
2.指出下列各题中
是
的什么条件.
（1）
两个三角形相似；
两个三角形全等；
（2）
一个四边形是矩形；
四边形的对角线相等.
答案：（1）因为两个三角形相似
两个三角形全等，但两个三角形全等
两个三角形相似，
所以
是
的必要不充分条件.
（2）因为矩形的对角线相等，所以
.
又对角线相等的四边形不一定是矩形，所以
，所以
是
的充分不必要条件.
探究点二
充要条件的证明
精讲精练
例
求证：
是等边三角形的充要条件是
.（这里
，
，
是
的三边边长）
答案：证明
必要性：
因为
是等边三角形，所以
，
所以
，所以必要性成立；
充分性：
由
两边同时乘2得，
，即
，所以
，所以
是等边三角形，所以充分性成立.
综上，
是等边三角形的充要条件是
.
解题感悟
充要条件证明的策略
（1）要证明
是
的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若
，则
”为真且“若
，则
”为真.
（2）在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，即证明
与
的解集是相同的.提醒:证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
迁移应用
1.求证：一次函数
的图象过原点的充要条件是
.
答案：证明
①充分性：如果
，那么
，
当
时，
，该函数的图象过原点.
②必要性：因为
的图象过原点，
所以当
时，
，
则
，
所以
.
综上，一次函数
的图象过原点的充要条件是
.
探究点三
求参数的取值范围
精讲精练
例
已知
，
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
答案：设
，
，因为
是
的必要不充分条件，所以
是
的充分不必要条件，
即
，
故
或
解得
.
又
，所以实数
的取值范围是
.
解题感悟
利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是在将问题转化为集合问题后找出集合间的包含关系，要注意范围的边界值.
迁移应用
1.设
，
或
.若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
答案：设
，
.
因为
是
的充分不必要条件，
所以
，所以
或
，
即
或
.
又因为
，所以
或
，
即实数
的取值范围为
.
评价检测·素养提升
1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的(
)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
2.“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
解析：由
得
，则当
时，
成立，但当
时，
不一定成立.故
是
的必要不充分条件.
3.已知
，
，则“
”是“
”的
条件.
答案：必要不充分
4.函数
的图象关于直线
对称的充要条件是
.
答案：
5.若
是
的充分不必要条件，
是
的充要条件，
是
的必要不充分条件，则
是
的什么条件？
答案：命题的充分性、必要性具有传递性，所以
，但
，
，
，故
是
的充分不必要条件.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020辽宁盘锦第二高级中学高一段考）若
，
，则
是
的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：
2.（2020山东济宁微山二中高一检测）“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件B.充要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案：
3.（2020辽宁阜新第二高级中学高一月考）设
，
是两个集合，则“
”是“
”的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：
4.（2021山东滨州高一期末）“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：
解析：等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，因此“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件.
5.（2021天津静海第六中学高一检测）已知集合
，
及元素
，则“
或
”是“
”的(
)
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案：
6.（2020天津四合庄中学高一月考）若命题
，则命题
的一个充分不必要条件为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：将充分不必要条件转化为集合关系判断.
7.对于集合
，
及元素
，若
，则
是
的
条件.
答案：充要
解析：由
，可得
；反之由
可得
，所以
是
的充要条件.
8.（2020安徽太和中学高一检测）已知条件
：
条件
；条件
.若
是
的充要条件，则
.若
是
的必要不充分条件，则实数
的取值范围是
.
答案：2;
解析：由条件
可得
，因为
是
的充要条件，所以
解得
.
因为
是
的必要不充分条件，所以
解得
.
9.指出下列各组命题中，
是
的什么条件（从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选）．
（1）
，
；
（2）
，
且
；
（3）
，：
；
（4）
是自然数，
是正数．
答案：（1）当
时，
成立；
当
时，
或
.
所以
是
的充分不必要条件．
（2）因为
且
，
所以
是
的充要条件．
（3）由
，
得
，且
，又
，
故p是
的必要不充分条件．
（4）0是自然数，但0不是正数，故
，
是正数，但
不是自然数，
故
.故p是
的既不充分也不必要条件．
素养提升练
10.（2020山东济宁邹城第一中学高一月考）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(
)
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
答案：
11.（多选）下列论述正确的是(
)
A.若
，则“
”是“
”的必要不充分条件
B.在
中，“
”是“
为直角三角形”的充要条件
C.“
”是“
”的充要条件
D.若
，
，则“
”是“
，
不全为0”的充要条件
答案：
;
解析：
对于
，因为
，但
，所以A中论述正确；对于B，“
”特指
为直角，但“
为直角三角形”的直角不一定是A，故B中论述错误；对于C，“
”“
”两者不能相互推出，故C中论述错误；对于D，由
不全为0，反之，由
，
不全为
，故D中论述正确.故选AD.
12.（2020北京大学附属实验中学高一月考）设
或
，
或
，
，
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：设
，
，
因为
是
的充分不必要条件，所以
，即
或
解得
.
13.设
，则一元二次方程
有整数根的充要条件是
.
答案：3或4
解析：解
得
，
因为
是整数，所以
为整数，
所以
为整数，且
，
又
，所以
.
验证可得
或
时符合题意，
所以由
或
可以推出一元二次方程
有整数根．
14.已知
，
，
，
.判断“
”是“二次方程
有一根为-1”的什么条件？并说明理由．
答案：“
”是“二次方程
有一根为-1”的充要条件．
理由如下：
当
，
，
，
.时，
若
，则-1满足二次方程
，即二次方程
有一根为-1，
故“
”是“二次方程
有一根为-1”的充分条件.
若二次方程
有一根为-1，则
，
故“
”是“二次方程
有一根为-1”的必要条件.
综上所述，“
”是“二次方程
有一根为-1”的充要条件．
创新拓展练
15.已知
，证明：
成立的充要条件是
.
答案：充分性：若
，则
，即充分性成立.
必要性：若
，则
.
，
，即
，
必要性成立.
综上，
成立的充要条件是
.
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