帮你归纳总结（三十八）：高中新课标数学考前回扣课本--函数性质部分

帮你归纳总结（三十八）：高中新课标数学考前回扣课本--函数性质部分
1. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
2. 函数的概念：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何 一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对 应关系f叫做定义在集合A上的函数．
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）
如：设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，下面的四个图形中，能表示集合M 到集合N的函数关系的有(　　)
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
如：下列各组函数是同一函数的是(　　)
A．y＝与y＝1 B．y＝|x－1|与y＝
C．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1 D．y＝与y＝x
3. 求函数的定义域有哪些常见类型？
(1)如果是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)若是偶次根式，则函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都 有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
4.如何求复合函数的定义域？
（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定 义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域， 相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。
如：(1)求函数y＝的定义域．
(2)已知函数y＝f(3x－1)的定义域为(－1,1)，求函数y＝f(log2x)的定义域．
5．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换 元法 ；⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意 义斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨
导数法
如：求下列函数的值域：（1）ｙ＝；（2）；（3）；
（4）(设；（5）
6.（1）单调性的定义：在区间上是增函数当时
；
在区间上是增（减）函数当时
；
⑵单调性的判定:①定义法：注意：一般要将式子化为几个因式作积或作
商的形式，以利于判断符号； ②根据图像；③利用已知函数的增减性；④利用导数：在
区间内，若总有，则为增函数，（在个别点上导数等于零，不影响 函数的单调性），反之也对，若？
如：已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是
⑤复合函数单调性判定方法：若
（外层）,（内层），则，
当内、外层函数单调性相同时，为
增函数，否则为减函数。
它的增减性如右表，规律：“同增异减”．
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
如：求的单调区间。
如：函数y＝f(|x＋2|)，若y＝f(x)在定义域R上是减函数，则函数y＝f(|x＋2|)
的单调减区间是(　　)
A．R B．(－2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
7. 判断函数的奇偶性一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称；
(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：
奇、偶函数的性质：
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的
单调性相反．
(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数、积函数分别是奇函数、偶函数；
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
（5）函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是 f(x)定义域关于原点对称
（6）若总成立为奇函数函数的图象关于原点对称；
若总成立为偶函数函数的图象关于轴对称；
如：若为奇函数，则实数
如：为定义域在上的奇函数，当时，
求在上的解析式。
如：设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函数　　 B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数
如：设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)， 则f(－1)＝(　　)
A．3　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D．－3
如：已知函数f(x)＝x3＋3x，且f(3a－2)＞f(a－1)，则实数a的取值范围为(　　)
A.　　B. C. D.
8. 你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数，在定义域内总有，则为周期函数，
T是一个周期。）
（1）周期函数常用的五个结论：
① 对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小 正数叫做函数的最小正周期；
②若T为函数的一个周期，则nT(n∈N*)也是函数的周期；
③若对任何x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；
④若对任意x∈D都有f(x＋a)＝，则f(x)是以2a为周期的函数；
⑤若函数f(x)有两条对称轴x＝a，x＝b(b＞a)，则f(x)是以2(b－a)为周期的函 数．的图象关于点中心对称周期为 ； 的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为 ；
（2）三角函数的周期
① ；② ；③；
④ ；⑤；
如：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函
数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(1)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
如．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋1)＋f(x)＝3，当x∈[0,1]时，
f(x)＝2－x，则f(－2 009.9)＝__________.
9. 函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法
⑵图象变换：
平移变换：ⅰ，———左“+”右“-”；
ⅱ———上“+”下“-”；
伸缩变换：
ⅰ（——纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍；
ⅱ（——横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍；
翻转变换：
ⅰ——右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；
ⅱ——上不动，下向上翻（||在下面无图象）；
对称变换：①；②；
③；
④函数与函数的图象关于直线___对称；
⑤函数与函数的图象关于点___对称；
⑥若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图像关于x＝成轴对称图
形．函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图像关于直线x＝(b－a)对称．
注意：f(a＋x)＝f(a－x)与f(x＋a)＝f(x－a)的区别，其中f(a＋x)＝f(a－x)说明函数
y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称，而f(x＋a)＝f(x－a)说明函数y＝f(x)为周 期函数，且2a为它的一个周期
如：已知，作出及。
如：设y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于(　　)
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
如：把函数y＝(－2x＋3)的图像向左平移1个单位长度得到函数__________
的图像．
如：已知函数f(x)＝|－4x＋3|，则函数f(x)的单调区间为__________。
10．函数图象（曲线）对称性的证明：
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴） 的对称点仍在图像上；
（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关 于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然；
注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x, y)=0;
如：已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x＋＋2的图像关于点A(0,1)对称．则f(x)的解析 式为 ，
11．（1）函数零点的定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做 函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)几个等价关系：
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图像与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
（3）函数零点的求法：⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.
i)二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼 近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
ii）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε.
第二步，求区间(a，b)的中点.
第三步，计算f()：
①若f()＝0，则就是函数的零点；
②若f(a)·f()＜0，则令b＝(此时零点x0∈(a，))；
③若f()·f(b)＜0，则令a＝(此时零点x0∈(，b))．
第四步，判断是否达到精确度ε；即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)．
否则重复第二、第三、第四步．
如．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1) ＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间 (　　)
A．(1.25,1.5)内　　　B．(1, 1.25)内 C．(1.5,2)内 D．不能确定
如：若函数f(x)＝＋－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考 数据如下：
则方程＋－2x－2＝0的一个近似根为 __________.
如：用二分法求方程lnx＝在[1,2]上的近似值，取中点c＝1.5，则下一个有根区间是_____．