4.2.1对数的运算性质（第一课时）课件（共29张PPT）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.2.1对数的运算性质
北师大（2019）必修一
第一课时
1.巩固对数的定义及基本运算性质.
2.学会证明对数的运算律,树立从概念出发分析问题的思想.
3.会求简单的对数值.
看看这一节学什么
环节一
复习对数的概念
复习对数函数的概念和基本性质
对数式与指数式的互化
?
?
?
底数
底数
幂
真数
指数
对数
?
0
?
1
?
?
?
N
?
N
环节二
对数的运算性质推导
回顾指数运算性质
am+n=am·an
????????????=????????????
?
????????????=????????????????
?
那么对于对数又有哪些运算性质呢？
loga(M·N)=？
我们知道am+n=am·an,那么loga(M·N)=logaM·logaN正确吗?举例说明.
不正确,例如log24=log2(2×2)=2,而log22·log22=1×1=1.
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0，证明： loga(M·N)=logaM+logaN
令am=M,an=N,则M·N=am·an=am+n.
于是有m+n=loga(M·N).又由对数的定义,知logaM=m,logaN=n,
∴loga(M·N)=logaM+logaN.
在loga(M·N)=logaM+logaN中，令M=N，得到什么结论？
logaMn=？
????????????????????????=????????????????????????
?
这个结论一般化会不会是这样一个等式
????????????????????????=????????????????????????（????∈????）
?
????????????????????????=????????????????????????（????∈????）证明过程
?
证明：当????≠????时，令????=????????????????????????，则????????=????????
?
????=????????????.令????=??????????????????????,,则????=????????????
?
????????????=????????????,N=b,所以， ????????????????????????=????????????????????????
?
????=????，显然也成立。
?
????????????????????????=？
?
????????????????????????= ????????????????????×????????=????????????????????+???????????????? ????????
= ????????????????????+?????????????????????????=?????????????????????????????????????M
?
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝　　　　　　　　　
(2)logaMn＝　　　　　(n∈R)；
(3)loga＝　　　　　　　　　.
对数的运算性质汇总
?
logaM＋logaN
nlogaM
logaM－logaN
积的对数=对数的和
商的对数=对数的差
一个数n次方的对数=这个数的对数的n倍
环节三
对数的运算性质运用
对数的运算性质理解
?
例1. 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若M·N>0,则loga(M·N)=logaM+logaN.( × )
(2)logax+logay=loga(x+y).( × )
(3)对数的运算性质loga(M·N)=logaM+logaN能推广为loga(a1·a2·…·an)=logaa1+logaa2+…+logaan(a>0,且a≠1, ai>0, i=1,2,…,n,n∈N+).( √ )
(4)loga????????=????????????????????????????????????????.( × ) (5)logaM-logaN=loga(M-N).( × )
?
？
？
？
？
？
对数的运算性质理解
?
例2. 若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；
③lg ＝lg ；④lg (ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是(　　)
A．①②③④　　　　　 B．①②
C．③④ D．③
解析∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴＞0，lg ＝×2lg ＝lg ，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg (ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.
式子运算
例3.求下列各式的值.
(1)lg????+lg????;
(2)log345-log35;
(3)log2(23×45);
(4)4lg 2+3lg 5-lg????????;
?
解:(1)lg????+lg????=lg(????×????)=lg????????=????????.
?
loga(M·N)=logaM+logaN的逆用
????????????????????????=????????????????????????
?
式子运算
例3.求下列各式的值.
(1)lg????+lg????;
(2)log345-log35;
(3)log2(23×45);
(4)4lg 2+3lg 5-lg????????;
?
解(2)log345-log35=log3????????????=log39=2.
?
????????????????????????=????????????????????????
?
????????????????????????= ?????????????????????????????????????M
?
式子运算
例3.求下列各式的值.
(1)lg????+lg????;
(2)log345-log35;
(3)log2(23×45);
(4)4lg 2+3lg 5-lg????????;
?
（3)log2(23×45)=log223+log245=3+5log24=3+5log222=3+5×2=13.
loga(M·N)=logaM+logaN
????????????????????????=????????????????????????
?
????????????????????????=????????????????????????
?
????????????????????????=????????????????????????
?
式子运算
例3.求下列各式的值.
(1)lg????+lg????;
(2)log345-log35;
(3)log2(23×45);
(4)4lg 2+3lg 5-lg????????;
?
解(4)原式=lg????????×????????????????=lg(24×54)=lg(2×5)4=4.
?
????????????????????????=????????????????????????
?
????????????????????????= ?????????????????????????????????????M和loga(M·N)=logaM+logaN 的逆用
?
求下列各式的值．
2log32－log3＋log38＋3log5.
式子运算练习
[解]原式＝log34－log3＋log38－3log55＝log3－3＝log39－3＝2－3＝－1.
经验一
对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
对数表示
例4. 用logax,logay,logaz表示下列各式(其中a>0,且a≠1,x>0,y>0,z>0):
(1)loga(x2yz);(2)loga????????????????;(3)loga????????????????.
?
解:(1)loga(x2yz)=logax2+logay+logaz=2logax+logay+logaz.
(2)loga????????????????=logax2-loga(yz)=2logax-(logay+logaz)=2logax-logay-logaz.
(3)loga????????????????=loga????-loga(y2z)=????????logax-2logay-logaz.
?
对数表示练习
用logax,logay,logaz表示下列各式(其中a>0,且a≠1,x>0,y>0,z>0): (1)loga????????????;(2)loga????????????????????.
?
解:(1)loga????????????=loga(xy)-logaz=logax+logay-logaz.
(2)loga????????????????????=loga(x2????)-loga????????
=logax2+loga????-loga????????
=2logax+????????logay-????????logaz.
?
经验二
用已知对数表示其他对数时,关键是应用对数的运算性质,将真数“拆”成已知对数的真数形式.
课堂限时考
一、计算
(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25；2.31＋log3；
3. log2(23×45)
二、表示
已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________．(用m，n表示)
一、1.(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋(lg 5)2＝lg 2·lg 100＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5=2；
2.31＋log3＝3×3log3＝3×＝3；
3.log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2213
＝13log22＝13×1＝13..
课堂限时考的答案
二、loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n
环节四
小结
课堂小结
1．核心要点
1.对数运算性质
2.证明与计算（简单运算和对数表示）
2．数学素养
树立从概念出发分析问题的思想.
谢谢观看