2.1.1 椭圆的定义与标准方程 教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

椭圆的定义与标准方程
一、教材分析
本节课是湘教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》第一节椭圆的第一课时，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识。解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科。
从知识上讲，本节是在必修二直线和圆的方程的基础上，对用坐标法研究几何问题有初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，椭圆的学习为进一步研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上，在研究椭圆的定义与标准方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路。因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容。
二、教学目标
知识与技能
掌握椭圆的定义，导出椭圆的标准方程，根据条件会求椭圆的标准方程，初步学会用坐标法解决几何问题。
过程与方法
经历用坐标法建立椭圆的标准方程的过程，研究用椭圆的定义，待定系数法求椭圆的标准方程的方法。培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
情感、态度和价值观
认识椭圆的定义，让学生体会数学的对称美、简洁美，形成数形结合的数学思想。
数学学科素养
观察发现生活中的椭圆，学会用数学的眼光观察现实世界；坐标法导出椭圆的标准方程，学会用数学的语言表达现实世界；定义法、待定系数法求椭圆的标准方程，学会用数学的思维思考现实世界。在学习的过程中，培养学生的直观想象、数学建模、数学运算等数学学科素养。
三、学情分析
学生已有认知基础：学生已经学习了圆的概念及其方程，初步认识了解析几何课程的特征，即是一门借助坐标法研究几何的学科，并且已经初步体验到了数形结合的基本思想；学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生有建立圆的概念和方程的经历。
已有基础与本节课所需要求之间的差异：椭圆概念的获得，学生容易通过几何图形发现轨迹上的点的特征。但不易形成概念体系并用精准的语言描述。在概括椭圆的定义时，需要教师作适当的启发，再用数学语言进行精确的描述。推导椭圆标准方程时会遇到两个困难，首先是坐标系如何建立才能使椭圆方程更简单，需要类比圆的方程的方法，根据椭圆的对称性建立直角坐标系。其次是如何化简方程使其最简洁，学生已有的知识与能力不能完全胜任独立解决的要求，需要教师作适当的讲解。求解椭圆的标准方程时有定义法和待定系数法，在选择和技巧上需要教师作适当的讲解和归纳。
教学的重难点：
1、重点：（1）椭圆的定义和椭圆的标准方程；
（2）会用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。
2、难点：（1）椭圆标准方程的推导；（2）用椭圆的定义求椭圆的标准方程。
四、教学策略
基于教学内容的实际特点，课程标准的基本要求，针对本节课的特点教学分析如下：
1.为了充分调动学生学习数学的积极性，促进学生主动思考，采用问题引导探究活动，以问题作为引领，诱导学生积极思考；
2.利用手工制作的教具和现代教学手段，把教学内容与教具及现代教学手段合理整合。利用椭圆画图视频感受动态过程，提高课堂效率；
3.在探究椭圆概念时，学生分组合作画椭圆，在此基础上抽象概括椭圆的定义，配合问题引导，加深对椭圆概念的理解；
4.在探究椭圆标准方程时，引导学生回忆求圆的方程的一般步骤。用类比法建立合理的直角坐标系。在列出式子进行化简时会遇到比较复杂的双根式化简问题，及时介入，帮助学生顺利导出方程。
5、在求解椭圆标准方程时，针对典例进行恰当变式，引导学生根据题目提供的不同条件灵活选择不同的解题方法和解题思路。通过对比，掌握本质。
根据以上分析，本节课采用启发探究式的教学方式。在启发探究式教学过程中，以问题引导学生的思维活动。教学中结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。
五、教学过程
课前准备：观看微课《椭圆的标准方程》，预习课本相关知识，准备道具。
1、创设情景、引入概念
（道具演示）展示圆锥模型，不同平面截圆锥，学生直观观察圆锥曲线的几种类型，初步了解圆锥曲线。点出本节课的学习内容——椭圆。
(多媒体演示)先展示嫦娥探月轨道图，引出椭圆的形状。接着展示两座标志性建筑—鸟巢和国家大剧院，直观体会椭圆的美。最后展示生活中的椭圆—鹅卵石、鸡蛋、装饰品、桥墩等。引导学生用数学的眼光观察发现生活中的椭圆。
教师：刚才我们用数学的眼光观察发现生活中的椭圆，接下去我们来用数学的言语来表达椭圆。接下去我们先来做两个探究。
2、合作探究、形成概念
探究1：取一条定长的细绳，将它的两端都固定在同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的图形的轨迹是什么？
学生动手画图。教师针对学生的答案进行归纳总结并引出第二个探究。
探究2：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形的轨迹又是什么？
学生拿出课前准备好的道具动手画图，教师用希沃授课助手展示学生的成果，并进一步引导启发学生，当距离变化时，得到的图形的轨迹是不一样的。
教师与学生一起总结归纳探究成果：1、若绳长大于两点间距，则点M的轨迹是椭圆；2、若绳长等于两点间距，则点M的轨迹是以两点为端点的线段；3、若绳长等于两点间距，则点M的轨迹不存在。
教师启发、提问，并与学生一起归纳出椭圆的定义。
定义：平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于定值 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。
（多媒体演示）播放视频《椭圆的画法》，学生观看多种椭圆画法，并引导学生课后动手尝试，培养学生的动手能力以及引发学生探究椭圆的兴趣。
教师：刚才我们图形语言来表达椭圆并引出椭圆的定义，接下去我们尝试用符号语言来表达椭圆，探究椭圆的标准方程。
提问：圆的标准方程的推导步骤？
学生思考回答：推导步骤如下：1、建立适当的坐标系；2、设曲线上任一点的坐标M （x,y）以及给出相应各点的坐标; 3、寻找点M （x,y）的限制条件 P（M）；4、将坐标代入条件P（M），列出方程 ; 5、化方程为最简形式。
教师：这是直接法求动点的轨迹方程的一般步骤，我们叫它“建设现代化”。
3、椭圆的标准方程的推导
依据“建设现代化”的五个步骤来探究椭圆的标准方程：
(1) 建：以经过椭圆的焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xoy。
(2) 设: 设椭圆的焦距为 2c，椭圆上任一点M（x，y）到两焦点的距离之和为常数 2a（a > c） 。故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)
(3)现（限）:由椭圆的定义得：|MF1|+|MF2|=2a，（a > c）。唯一的限制条件。
(4) 代：
(5) 化：教师带领学生一起化简：（一边引导一边板书）
教师：遇到双根式方程如何化简？
学生思考得出：移项平方，再移项再平方的方法。
移项得：
平方化简得：
再平方化简：
两边同时除以得：
教师指出：此方程形式还不够简洁，不符合数学的对称美和简洁美，仍需要变形。
探究3：观察左图， 从中找出长度为c 、 a 的线段，并思考a 2-c2 有什么几何意义？
学生思考并回答：线段|F1F2|=2c，原点O为中点，可知|OF1|=|OF2|=c，
由椭圆定义得|MF1|+|MF2|=2a，当点M位于y轴时|MF1|=|MF2|，故可知|PF1|=|PF2|=a。在直角三角形POF2中，由勾股定理可得：
教师：令，则方程可化为：
教师强调：其中a > b > 0且
教师指出：方程叫做椭圆的标准方程，其焦点在x轴上。
探究4：刚才得到了焦点在x轴上的椭圆的标准方程，焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
学生思考并回答：仿照刚才“建设现代化”的思路步骤，以经过椭圆焦点F1，F2 的直线为y 轴，线段F1 F2的中垂线为x轴，建立平面直角坐标系xoy.
学生回答：焦点在y轴上的椭圆的标准方程：
教师指出：上述方法可以推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程，具体推导过程课后学生独立完成。接下去我们来看课本33页为我们提供的另一种方法：对称法。
学生阅读课本的解法，并由教师讲解对称法的核心思路：
教师：刚才我们学习了焦点在x、y轴两种类型的椭圆的标准方程，接下去我们对这两类标准方程进行一个比较。独立完成下表：
教师带领学生一起完成表格，并重点强调：含的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上。
快速练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆,说出焦点在那个轴上？
1、 2、 3、 4、 5、
学生回答，教师进行点评，并指出解题的重点是先转化为标准方程。
4、椭圆标准方程的求解
教师：我们刚才用数学的眼光观察现实中的椭圆，用数学的语言（图形语言和符号语言）表达椭圆，接下去我们尝试用数学的思维来思考椭圆问题：
学生独立完成，并回答。教师点评并归纳总结解题的关键是根据条件寻找三个参数进而确定椭圆的方程。提醒学生要关注焦点所在的坐标轴。
学生独立完成，并回答。关注学生的不同解法，教师板演、点评并归纳总结：
1、定义法是求椭圆标准方程的一种重要方法，由椭圆的定义确定参数a,进而确定椭圆方程，在解题时需关注焦点所在的坐标轴。
2、本题可用待定系数法，将点坐标代入标准方程，列出方程组求解，但因运算量较大，不作推荐。

学生独立思考并回答。学生的解法与变式1类似，定义法求解。教师点评并介绍第二种方法：待定系数法，但需巧设方程，共焦点的椭圆系方程。


教师板演，并讲解解法的巧妙和注意事项，最终得出巧设方程的一般式。
归纳总结：求解椭圆标准方程的两种方法：
定义法：确定焦点所在的坐标轴，设相应的标准方程，由题意寻找条件求出三个参数a、b、c中的两个，进而确定椭圆的标准方程。
待定系数法：通常需要列出方程组求出三个参数a、b、c，若遇无法确定焦点所在坐标轴或解方程组运算量较大时，需灵活巧设椭圆方程。
5、课堂小结
1、一个方程：椭圆的标准方程（分x型和y型）
2、两种方法：求解椭圆的标准方程的两种解法：定义法和待定系数法
3、三大素养：直观想象、数学建模、数学运算
6、作业：
（1）课后作业：P34练习1、2
（2）课前预习：探究2.1.2椭圆的简单几何性质
7、赠言：
东北师范大学史宁中教授：
数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
六、板书
椭圆 定义
标准方程
求解方法 椭圆标准方程的求解 椭圆标准方程的推导