2.1.1 椭圆的定义与标准方程(1) 教案-湘教版数学选修2-1（Word版）

椭圆的定义及标准方程教学设计
学 习 目 标 （1）掌握椭圆的定义、标准方程的推导和应用；
通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握
解决几何问题的方法-----坐标法
通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住
问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想。
教学重点难点 重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程
难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
情景引入
由圆的定义引入椭圆的定义
（1）取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。
（2）如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图纸的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？ 通过已有的知识，迁移到新知识，方便学生探索新知识。
概念形成 椭圆的定义 问题1：引例中画出的曲线有何特点？如何定义这一曲线？
生：（讨论并给出结论）把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数。
师：我们把平面内与两个定点的点的距离的和等于常数（大于）的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
通过实例的演示，让学生对椭圆的特征有初步认识，在让学生给椭圆的定义就水到渠成。
概念的深化 概念中应说明的两点：
在平面内
常数 学生开始只强调主要几何特征----到两定点的距离的和等于常数，教师在演示中要从两个方面加以强调：
师：
将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到不是椭圆，而是椭球形，式学生认识到加限制条件“在平面内”的必要性。
这里的常数有什么限制？
教师边演示边提醒学生注意：
若，则是线段，
若，则轨迹不存在，
若，则轨迹为椭圆。 结合实际模型演示，形象直观地说明椭圆定义中的必要条件。
椭圆标准方程的推导 椭圆的标准方程
建系设点
点的集合
代数方程
化简方程
两种标准方程的比较 问题2：轨迹方程的求法？
生：（1）建系设点（2）点的集合
（3）代数方程（4）化简方程
问题3：观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆方程简单？
生：1.以经过椭圆两焦点的直线为
轴，线段的垂直平分线为
轴，建立直角坐标系。
2.设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c，那么焦点的坐标为，。又设与的距离的和等于。
师：引导学生推导椭圆的标准方程。
问题3：如何用集合来表示椭圆上的点所满足的几何特征？
生：
因为

得方程为了化简这个式子，将左边的根号移到右边，
将这个式子两边平方，得，
整理得，
上式两边再平方，得
整理得
两边同除，得 ①
由椭圆的定义，，即，所以。
问题4：观察右图，你能从中找出的线段么？
令
①式为
焦点在轴上的椭圆。
问题5：如图，如果焦点在轴上，且的坐标分别为，的意义同上，那么椭圆的方程式什么？
焦点在轴上的椭圆。
椭圆的定义
（用数学语言表示）
图形
标准方程
焦点坐标
a,b,c的关系

由于已经熟悉了曲线的轨迹方程求解步骤，可以比较熟练地按照步骤写出过程，便于培养学生严谨规范地解决数学问题。
培养学生善于观察分析、从整体上把握问题。
图形认识，提高学生的图形识别能力以及数形的联系。
让学生体会问题的本质所在只是位置不同，图形
是一致的。
应用举例
例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程.
焦点为(-2,0),(2,0),且经过（用两种方法解答）
法一：（定义法）
因为椭圆的焦点在x轴上,所以它的标准方程为
由椭圆定义可知：
所以
又因为所以
所以,椭圆的标准方程为
法二：（待定系数法）
设椭圆的标准方程为
因为过,所以
即所以即椭圆方程为
,焦点在x轴上；
,焦点在y轴上；
已知椭圆焦点在坐标轴上，且焦距为4,且经过,求其标准方程.
或
应用举例，熟练掌握椭圆标准方程的求法，并且区别焦点位置不同对曲线形式的影响。
课堂小结 定义：椭圆是平面内与两定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。
标准方程：
图象如图所示：
焦点：
数形结合和待定系数法 学生回顾本节内容，对所学知识进行总结归纳，教师对思想方法进行指导、提炼。 让学生学会学习，学会反思，学会总结。
课下作业 详细见附件：椭圆及其标准方程课后练习
巩固知识，培养自觉学习。
板书设计
情景引入 概念形成 标准方程的推导
应用举例
例1：
课堂小结
课下作业